MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem6 21989
Description: Lemma for mdetuni 21994. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetunilem6.ph (๐œ“ โ†’ ๐œ‘)
mdetunilem6.ef (๐œ“ โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐น))
mdetunilem6.gh ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ป โˆˆ ๐พ))
mdetunilem6.i ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem6 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   + ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   0 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   1 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐œ“,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐น,๐‘Ž,๐‘   ๐บ,๐‘Ž   ๐ป,๐‘Ž   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐บ(๐‘)   ๐ป(๐‘)   ๐ผ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem mdetunilem6
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mdetuni.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 mdetuni.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mdetuni.0g . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘…)
6 mdetuni.pg . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘…)
7 mdetuni.tg . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 mdetuni.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
9 mdetuni.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10 mdetuni.ff . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
11 mdetuni.al . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
12 mdetuni.li . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
13 mdetuni.sc . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
14 mdetunilem6.ph . . . . 5 (๐œ“ โ†’ ๐œ‘)
15 mdetunilem6.ef . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐น))
1615simp1d 1143 . . . . 5 (๐œ“ โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐‘)
17 mdetunilem6.gh . . . . . . . 8 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ป โˆˆ ๐พ))
1817simprd 497 . . . . . . 7 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
19183adant2 1132 . . . . . 6 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
2017simpld 496 . . . . . . 7 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐พ)
21203adant2 1132 . . . . . 6 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐พ)
22 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2314, 9, 223syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
253, 6grpcl 18764 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐ป โˆˆ ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ป + ๐บ) โˆˆ ๐พ)
2624, 18, 20, 25syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ป + ๐บ) โˆˆ ๐พ)
27263adant2 1132 . . . . . . 7 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ป + ๐บ) โˆˆ ๐พ)
28 mdetunilem6.i . . . . . . 7 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐พ)
2927, 28ifcld 4536 . . . . . 6 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ) โˆˆ ๐พ)
3019, 21, 293jca 1129 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ป โˆˆ ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ ๐พ โˆง if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ) โˆˆ ๐พ))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30mdetunilem5 21988 . . . 4 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) = ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ))))))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28mdetunilem2 21985 . . . 4 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) = 0 )
3315simp2d 1144 . . . . . . . 8 (๐œ“ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘)
3419, 28ifcld 4536 . . . . . . . . 9 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ) โˆˆ ๐พ)
3519, 21, 343jca 1129 . . . . . . . 8 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ป โˆˆ ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ ๐พ โˆง if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ) โˆˆ ๐พ))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35mdetunilem5 21988 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) = ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))))
3715simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (๐œ“ โ†’ ๐ธ โ‰  ๐น)
3837necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ ๐น โ‰  ๐ธ)
3933, 16, 383jca 1129 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐น โ‰  ๐ธ))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28mdetunilem2 21985 . . . . . . . 8 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) = 0 )
4140oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))) = ( 0 + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))))
4237neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ“ โ†’ ยฌ ๐ธ = ๐น)
43 eqtr2 2757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น) โ†’ ๐ธ = ๐น)
4442, 43nsyl 140 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ“ โ†’ ยฌ (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น))
45443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ยฌ (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น))
46 ifcomnan 4546 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))
4847mpoeq3dva 7438 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))
4948fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))))
5014, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
5114, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ“ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5221, 28ifcld 4536 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ) โˆˆ ๐พ)
5319, 52ifcld 4536 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)) โˆˆ ๐พ)
541, 3, 2, 51, 23, 53matbas2d 21795 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))) โˆˆ ๐ต)
5550, 54ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ)
5649, 55eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ)
573, 6, 4grplid 18788 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ) โ†’ ( 0 + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))))
5823, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ ( 0 + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))))
5936, 41, 583eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))))
60 ifcomnan 4546 . . . . . . . . 9 (ยฌ (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))
6145, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))
6261mpoeq3dva 7438 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ))))
6362fveq2d 6850 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, ๐ผ)))))
6459, 63, 493eqtr4d 2783 . . . . 5 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))))
6521, 28ifcld 4536 . . . . . . . . 9 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ) โˆˆ ๐พ)
6619, 21, 653jca 1129 . . . . . . . 8 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ป โˆˆ ๐พ โˆง ๐บ โˆˆ ๐พ โˆง if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ) โˆˆ ๐พ))
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66mdetunilem5 21988 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) = ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ))))))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28mdetunilem2 21985 . . . . . . . 8 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) = 0 )
6968oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ))))) = ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) + 0 ))
70 ifcomnan 4546 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))
7145, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))
7271mpoeq3dva 7438 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ))))
7372fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))))
7419, 28ifcld 4536 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ) โˆˆ ๐พ)
7521, 74ifcld 4536 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)) โˆˆ ๐พ)
761, 3, 2, 51, 23, 75matbas2d 21795 . . . . . . . . . 10 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ))) โˆˆ ๐ต)
7750, 76ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ)
7873, 77eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ)
793, 6, 4grprid 18789 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) + 0 ) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))))
8023, 78, 79syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) + 0 ) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))))
8167, 69, 803eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))))
82 ifcomnan 4546 . . . . . . . . 9 (ยฌ (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘Ž = ๐น) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))
8345, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)) = if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))
8483mpoeq3dva 7438 . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ))))
8584fveq2d 6850 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, ๐ผ)))))
8681, 85, 733eqtr4d 2783 . . . . 5 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))))
8764, 86oveq12d 7379 . . . 4 (๐œ“ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, (๐ป + ๐บ), ๐ผ))))) = ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ))))))
8831, 32, 873eqtr3rd 2782 . . 3 (๐œ“ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ))))) = 0 )
89 eqid 2733 . . . . 5 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
903, 6, 4, 89grpinvid1 18810 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ โˆง (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) โ†” ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ))))) = 0 ))
9123, 55, 77, 90syl3anc 1372 . . 3 (๐œ“ โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) โ†” ((๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ)))) + (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ))))) = 0 ))
9288, 91mpbird 257 . 2 (๐œ“ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))))
9392eqcomd 2739 1 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐บ, if(๐‘Ž = ๐น, ๐ป, ๐ผ)))) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐ป, if(๐‘Ž = ๐น, ๐บ, ๐ผ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3911  ifcif 4490  {csn 4590   ร— cxp 5635   โ†พ cres 5639  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   โˆ˜f cof 7619  Fincfn 8889  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  1rcur 19921  Ringcrg 19972   Mat cmat 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-ring 19974  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  21990
  Copyright terms: Public domain W3C validator