MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem6 22623
Description: Lemma for mdetuni 22628. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem6.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem6.ef (𝜓 → (𝐸𝑁𝐹𝑁𝐸𝐹))
mdetunilem6.gh ((𝜓𝑏𝑁) → (𝐺𝐾𝐻𝐾))
mdetunilem6.i ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐼𝐾)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎   𝐻,𝑎   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑏)   𝐼(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem6
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mdetuni.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 mdetuni.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.0g . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1r𝑅)
6 mdetuni.pg . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 mdetuni.tg . . . . 5 · = (.r𝑅)
8 mdetuni.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
9 mdetuni.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 mdetuni.ff . . . . 5 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
11 mdetuni.al . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
12 mdetuni.li . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
13 mdetuni.sc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
14 mdetunilem6.ph . . . . 5 (𝜓𝜑)
15 mdetunilem6.ef . . . . . 6 (𝜓 → (𝐸𝑁𝐹𝑁𝐸𝐹))
1615simp1d 1143 . . . . 5 (𝜓𝐸𝑁)
17 mdetunilem6.gh . . . . . . . 8 ((𝜓𝑏𝑁) → (𝐺𝐾𝐻𝐾))
1817simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
19183adant2 1132 . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
2017simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
21203adant2 1132 . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
22 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2314, 9, 223syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝑅 ∈ Grp)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Grp)
253, 6grpcl 18959 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐻𝐾𝐺𝐾) → (𝐻 + 𝐺) ∈ 𝐾)
2624, 18, 20, 25syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑏𝑁) → (𝐻 + 𝐺) ∈ 𝐾)
27263adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻 + 𝐺) ∈ 𝐾)
28 mdetunilem6.i . . . . . . 7 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐼𝐾)
2927, 28ifcld 4572 . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼) ∈ 𝐾)
3019, 21, 293jca 1129 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻𝐾𝐺𝐾 ∧ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼) ∈ 𝐾))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30mdetunilem5 22622 . . . 4 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))))))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28mdetunilem2 22619 . . . 4 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = 0 )
3315simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜓𝐹𝑁)
3419, 28ifcld 4572 . . . . . . . . 9 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼) ∈ 𝐾)
3519, 21, 343jca 1129 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻𝐾𝐺𝐾 ∧ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼) ∈ 𝐾))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35mdetunilem5 22622 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))))
3715simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝜓𝐸𝐹)
3837necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝐹𝐸)
3933, 16, 383jca 1129 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐹𝑁𝐸𝑁𝐹𝐸))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28mdetunilem2 22619 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) = 0 )
4140oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))) = ( 0 + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))))
4237neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → ¬ 𝐸 = 𝐹)
43 eqtr2 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → 𝐸 = 𝐹)
4442, 43nsyl 140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹))
45443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → ¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹))
46 ifcomnan 4582 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
4847mpoeq3dva 7510 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))
4948fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
5014, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝐷:𝐵𝐾)
5114, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
5221, 28ifcld 4572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼) ∈ 𝐾)
5319, 52ifcld 4572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)) ∈ 𝐾)
541, 3, 2, 51, 23, 53matbas2d 22429 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))) ∈ 𝐵)
5550, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
5649, 55eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
573, 6, 4grplid 18985 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾) → ( 0 + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
5823, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜓 → ( 0 + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
5936, 41, 583eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
60 ifcomnan 4582 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
6145, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
6261mpoeq3dva 7510 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))
6362fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
6459, 63, 493eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))))
6521, 28ifcld 4572 . . . . . . . . 9 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼) ∈ 𝐾)
6619, 21, 653jca 1129 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻𝐾𝐺𝐾 ∧ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼) ∈ 𝐾))
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66mdetunilem5 22622 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28mdetunilem2 22619 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) = 0 )
6968oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + 0 ))
70 ifcomnan 4582 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
7145, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
7271mpoeq3dva 7510 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))
7372fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
7419, 28ifcld 4572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼) ∈ 𝐾)
7521, 74ifcld 4572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)) ∈ 𝐾)
761, 3, 2, 51, 23, 75matbas2d 22429 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))) ∈ 𝐵)
7750, 76ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
7873, 77eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
793, 6, 4grprid 18986 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + 0 ) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
8023, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + 0 ) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
8167, 69, 803eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
82 ifcomnan 4582 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
8345, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
8483mpoeq3dva 7510 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))
8584fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
8681, 85, 733eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))))
8764, 86oveq12d 7449 . . . 4 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))))
8831, 32, 873eqtr3rd 2786 . . 3 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))) = 0 )
89 eqid 2737 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
903, 6, 4, 89grpinvid1 19009 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾) → (((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ↔ ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))) = 0 ))
9123, 55, 77, 90syl3anc 1373 . . 3 (𝜓 → (((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ↔ ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))) = 0 ))
9288, 91mpbird 257 . 2 (𝜓 → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))))
9392eqcomd 2743 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626   × cxp 5683  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  Fincfn 8985  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  1rcur 20178  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ring 20232  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  22624
  Copyright terms: Public domain W3C validator