Theorem clmvz 24618

Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvz.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvz.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvz.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvz	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmgrp 24575	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		clmvz.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		clmvz.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 18846	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		clmvz.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		clmvz.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	3, 9, 10, 11, 12	clmvsubval2 24617	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
14	1, 7, 8, 13	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
15		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16	11, 15	clmneg1 24589	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	3, 11, 12, 15	clmvscl 24595	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
19	1, 17, 8, 18	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
20	3, 9, 4	grprid 18849	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
21	2, 19, 20	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
22	14, 21	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  -cneg 11441  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -_gcsg 18817  ℂModcclm 24569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-cnfld 20937  df-clm 24570

This theorem is referenced by: (None)