Theorem clmvz 25037

Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvz.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvz.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvz.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvz	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmgrp 24994	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		clmvz.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		clmvz.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 18921	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		clmvz.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		clmvz.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	3, 9, 10, 11, 12	clmvsubval2 25036	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
14	1, 7, 8, 13	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16	11, 15	clmneg1 25008	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	3, 11, 12, 15	clmvscl 25014	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
19	1, 17, 8, 18	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
20	3, 9, 4	grprid 18924	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
21	2, 19, 20	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
22	14, 21	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11139  -cneg 11475  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18889  -_gcsg 18891  ℂModcclm 24988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-cnfld 21279  df-clm 24989

This theorem is referenced by: (None)