Theorem clmvz 25432

Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvz.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvz.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvz.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvz	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmgrp 25389	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		clmvz.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		clmvz.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 19176	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		clmvz.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		clmvz.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	3, 9, 10, 11, 12	clmvsubval2 25431	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
14	1, 7, 8, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16	11, 15	clmneg1 25403	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	3, 11, 12, 15	clmvscl 25409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
19	1, 17, 8, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
20	3, 9, 4	grprid 19179	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
21	2, 19, 20	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
22	14, 21	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201  -cneg 11542  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  ℂModcclm 25383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-cnfld 21679  df-clm 25384

This theorem is used by: (None)