MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvz 24982
Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvz.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvz.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
clmvz.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
clmvz.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvz ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 βˆ’ 𝐴) = (-1 Β· 𝐴))

Proof of Theorem clmvz
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
2 clmgrp 24939 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Grp)
3 clmvz.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 clmvz.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
53, 4grpidcl 18891 . . . . 5 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝑉)
62, 5syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 ∈ 𝑉)
76adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ 𝑉)
8 simpr 484 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 eqid 2724 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
10 clmvz.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2724 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 clmvz.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
133, 9, 10, 11, 12clmvsubval2 24981 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 βˆ’ 𝐴) = ((-1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘Š) 0 ))
141, 7, 8, 13syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 βˆ’ 𝐴) = ((-1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘Š) 0 ))
15 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1611, 15clmneg1 24953 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1716adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
183, 11, 12, 15clmvscl 24959 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
191, 17, 8, 18syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
203, 9, 4grprid 18894 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉) β†’ ((-1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘Š) 0 ) = (-1 Β· 𝐴))
212, 19, 20syl2an2r 682 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((-1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘Š) 0 ) = (-1 Β· 𝐴))
2214, 21eqtrd 2764 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 βˆ’ 𝐴) = (-1 Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108  -cneg 11444  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  β„‚Modcclm 24933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-cnfld 21235  df-clm 24934
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator