Theorem clmvz 25096

Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvz.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvz.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvz.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvz	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmgrp 25053	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		clmvz.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		clmvz.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 18932	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		clmvz.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		clmvz.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	3, 9, 10, 11, 12	clmvsubval2 25095	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
14	1, 7, 8, 13	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16	11, 15	clmneg1 25067	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	3, 11, 12, 15	clmvscl 25073	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
19	1, 17, 8, 18	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
20	3, 9, 4	grprid 18935	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
21	2, 19, 20	syl2an2r 691	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
22	14, 21	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  -cneg 11369  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  ℂModcclm 25047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-cnfld 21348  df-clm 25048

This theorem is referenced by: (None)