Theorem clmvz 25067

Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvz.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvz.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvz.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvz	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmgrp 25024	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
3		clmvz.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		clmvz.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	grpidcl 18953	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑉)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		clmvz.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		clmvz.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	3, 9, 10, 11, 12	clmvsubval2 25066	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 0 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
14	1, 7, 8, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16	11, 15	clmneg1 25038	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	3, 11, 12, 15	clmvscl 25044	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
19	1, 17, 8, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
20	3, 9, 4	grprid 18956	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
21	2, 19, 20	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g‘𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
22	14, 21	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 − 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135  -cneg 11472  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  ℂModcclm 25018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-cnfld 21321  df-clm 25019

This theorem is referenced by: (None)