MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvz 25051
Description: Two ways to express the negative of a vector. (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvz.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvz.m = (-g𝑊)
clmvz.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmvz.0 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvz ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 𝐴) = (-1 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvz
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2 clmgrp 25008 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
3 clmvz.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 clmvz.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4grpidcl 18922 . . . . 5 (𝑊 ∈ Grp → 0𝑉)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 0𝑉)
76adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → 0𝑉)
8 simpr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
9 eqid 2728 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 clmvz.m . . . 4 = (-g𝑊)
11 eqid 2728 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12 clmvz.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
133, 9, 10, 11, 12clmvsubval2 25050 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 0𝑉𝐴𝑉) → ( 0 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g𝑊) 0 ))
141, 7, 8, 13syl3anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 𝐴) = ((-1 · 𝐴)(+g𝑊) 0 ))
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1611, 15clmneg1 25022 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1716adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
183, 11, 12, 15clmvscl 25028 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
191, 17, 8, 18syl3anc 1369 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉)
203, 9, 4grprid 18925 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (-1 · 𝐴) ∈ 𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
212, 19, 20syl2an2r 684 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ((-1 · 𝐴)(+g𝑊) 0 ) = (-1 · 𝐴))
2214, 21eqtrd 2768 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 𝐴) = (-1 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140  -cneg 11476  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  -gcsg 18892  ℂModcclm 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-cnfld 21280  df-clm 25003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator