Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odbezout Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odbezout 18663
 Description: If 𝑁 is coprime to the order of 𝐴, there is a modular inverse 𝑥 to cancel multiplication by 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odbezout (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odbezout
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → 𝐴𝑋)
3 odmulgid.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 odmulgid.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
53, 4odcl 18642 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
62, 5syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12063 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
8 bezout 15868 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)))
91, 7, 8syl2anc 587 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)))
10 oveq1 7137 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) = (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴))
1110eqcoms 2829 . . . . . 6 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴))
12 simpll1 1209 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
131adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1513, 14zmulcld 12071 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ)
162adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
1716, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 12063 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
19 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2018, 19zmulcld 12071 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ)
21 odmulgid.3 . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
22 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
233, 21, 22mulgdir 18237 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
2412, 15, 20, 16, 23syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
2513zcnd 12066 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2614zcnd 12066 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10639 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑥 · 𝑁))
2827oveq1d 7145 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴))
293, 21mulgass 18242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
3012, 14, 13, 16, 29syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
3128, 30eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
32 dvdsmul1 15610 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦))
3318, 19, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦))
34 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐺) = (0g𝐺)
353, 4, 21, 34oddvds 18653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g𝐺)))
3612, 16, 20, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g𝐺)))
3733, 36mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g𝐺))
3831, 37oveq12d 7148 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g𝐺)(0g𝐺)))
393, 21mulgcl 18223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4012, 13, 16, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
413, 21mulgcl 18223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
4212, 14, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
433, 22, 34grprid 18112 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
4412, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
4538, 44eqtrd 2856 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
4624, 45eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
47 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1)
4847oveq1d 7145 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
493, 21mulg1 18213 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5016, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5148, 50eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 𝐴)
5246, 51eqeq12d 2837 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5311, 52syl5ib 247 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5453anassrs 471 . . . 4 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5554rexlimdva 3270 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5655reximdva 3260 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
579, 56mpd 15 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  ℕ0cn0 11875  ℤcz 11959   ∥ cdvds 15586   gcd cgcd 15820  Basecbs 16461  +gcplusg 16543  0gc0g 16691  Grpcgrp 18081  .gcmg 18202  odcod 18630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-od 18634 This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  19175
 Copyright terms: Public domain W3C validator