Theorem odbezout 19340

Description: If 𝑁 is coprime to the order of 𝐴, there is a modular inverse 𝑥 to cancel multiplication by 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odbezout	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odbezout

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		odmulgid.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		odmulgid.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5	3, 4	odcl 19318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12525	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
8		bezout 16424	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)))
10		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
11	10	eqcoms 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
12		simpll1 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
13	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ)
16	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	16, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
19		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	18, 19	zmulcld 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ)
21		odmulgid.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	3, 21, 22	mulgdir 18908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
24	12, 15, 20, 16, 23	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
25	13	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	14	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27	25, 26	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑥 · 𝑁))
28	27	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴))
29	3, 21	mulgass 18913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
30	12, 14, 13, 16, 29	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
31	28, 30	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
32		dvdsmul1 16160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦))
33	18, 19, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35	3, 4, 21, 34	oddvds 19329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
36	12, 16, 20, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
37	33, 36	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	31, 37	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
39	3, 21	mulgcl 18893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
40	12, 13, 16, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
41	3, 21	mulgcl 18893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
42	12, 14, 40, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
43	3, 22, 34	grprid 18781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
44	12, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
45	38, 44	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
46	24, 45	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
47		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
48	47	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
49	3, 21	mulg1 18883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
50	16, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
51	48, 50	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 𝐴)
52	46, 51	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
53	11, 52	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
54	53	anassrs 468	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
55	54	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
56	55	reximdva 3165	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
57	9, 56	mpd 15	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499   ∥ cdvds 16136   gcd cgcd 16374  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  ._gcmg 18872  odcod 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-od 19310

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  19854