MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odbezout Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odbezout 18325
Description: If 𝑁 is coprime to the order of 𝐴, there is a modular inverse 𝑥 to cancel multiplication by 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odbezout (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odbezout
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1252 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 simpl2 1250 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → 𝐴𝑋)
3 odmulgid.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 odmulgid.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
53, 4odcl 18305 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
62, 5syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11807 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
8 bezout 15632 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)))
91, 7, 8syl2anc 581 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)))
10 oveq1 6911 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) = (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴))
1110eqcoms 2832 . . . . . 6 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴))
12 simpll1 1275 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
131adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 simprl 789 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1513, 14zmulcld 11815 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ)
162adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
1716, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 11807 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
19 simprr 791 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2018, 19zmulcld 11815 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ)
21 odmulgid.3 . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
22 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
233, 21, 22mulgdir 17924 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
2412, 15, 20, 16, 23syl13anc 1497 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
2513zcnd 11810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2614zcnd 11810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑥 · 𝑁))
2827oveq1d 6919 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴))
293, 21mulgass 17929 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
3012, 14, 13, 16, 29syl13anc 1497 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
3128, 30eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
32 dvdsmul1 15379 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦))
3318, 19, 32syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦))
34 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐺) = (0g𝐺)
353, 4, 21, 34oddvds 18316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g𝐺)))
3612, 16, 20, 35syl3anc 1496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g𝐺)))
3733, 36mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g𝐺))
3831, 37oveq12d 6922 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g𝐺)(0g𝐺)))
393, 21mulgcl 17911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4012, 13, 16, 39syl3anc 1496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
413, 21mulgcl 17911 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
4212, 14, 40, 41syl3anc 1496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
433, 22, 34grprid 17806 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
4412, 42, 43syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
4538, 44eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
4624, 45eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
47 simplr 787 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1)
4847oveq1d 6919 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
493, 21mulg1 17901 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5016, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5148, 50eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 𝐴)
5246, 51eqeq12d 2839 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5311, 52syl5ib 236 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5453anassrs 461 . . . 4 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5554rexlimdva 3239 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
5655reximdva 3224 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂𝐴) · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
579, 56mpd 15 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3117   class class class wbr 4872  cfv 6122  (class class class)co 6904  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256  0cn0 11617  cz 11703  cdvds 15356   gcd cgcd 15588  Basecbs 16221  +gcplusg 16304  0gc0g 16452  Grpcgrp 17775  .gcmg 17893  odcod 18294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-dvds 15357  df-gcd 15589  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-od 18298
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  18827
  Copyright terms: Public domain W3C validator