Theorem odbezout 19533

Description: If 𝑁 is coprime to the order of 𝐴, there is a modular inverse 𝑥 to cancel multiplication by 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odbezout	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odbezout

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		odmulgid.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		odmulgid.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5	3, 4	odcl 19511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12549	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
8		bezout 16512	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)))
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)))
10		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
11	10	eqcoms 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
12		simpll1 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
13	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ)
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	16, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
19		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	18, 19	zmulcld 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ)
21		odmulgid.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	3, 21, 22	mulgdir 19082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
24	12, 15, 20, 16, 23	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
25	13	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	14	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27	25, 26	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑥 · 𝑁))
28	27	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴))
29	3, 21	mulgass 19087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
30	12, 14, 13, 16, 29	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
31	28, 30	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
32		dvdsmul1 16246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦))
33	18, 19, 32	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35	3, 4, 21, 34	oddvds 19522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
36	12, 16, 20, 35	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
37	33, 36	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	31, 37	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
39	3, 21	mulgcl 19067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
40	12, 13, 16, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
41	3, 21	mulgcl 19067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
42	12, 14, 40, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
43	3, 22, 34	grprid 18944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
44	12, 42, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
45	38, 44	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
46	24, 45	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
47		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
48	47	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
49	3, 21	mulg1 19057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
50	16, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
51	48, 50	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 𝐴)
52	46, 51	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
53	11, 52	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
54	53	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
55	54	rexlimdva 3138	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
56	55	reximdva 3150	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
57	9, 56	mpd 15	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524   ∥ cdvds 16221   gcd cgcd 16463  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-od 19503

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  20052