Theorem strlem3a 30614

Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))

Assertion

Ref	Expression
strlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
2		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3		pjhcl 29763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5		normcl 29487	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 13965	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
8	6	sqge0d 13966	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
9		normge0 29488	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
11		pjnorm 30086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
12	1, 2, 11	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
13		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘𝑢) = 1)
14	12, 13	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15		2nn0 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		exple1 13894	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
17	15, 16	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
18	6, 10, 14, 17	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19		elicc01 13198	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
20	7, 8, 18, 19	syl3anbrc 1342	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21		strlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
22	20, 21	fmptd 6988	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1))
23		helch 29605	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
24	21	strlem2 30613	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26		pjch1 30032	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
27	26	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
28	27	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘𝑢)↑2))
29		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = (1↑2))
30		sq1 13912	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = 1)
32	28, 31	sylan9eq 2798	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
33	25, 32	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34		pjcjt2 30054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
35	34	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
36	35	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢)) = (normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
37	36	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2))
38		pjopyth 30082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))))
39	38	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
40	37, 39	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
41		chjcl 29719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
42	41	3adant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
44	21	strlem2 30613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
46		3simpa 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
48	21	strlem2 30613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2))
49	21	strlem2 30613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
52	40, 45, 51	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))
53	52	3exp1 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
54	53	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
55	54	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
56	55	ralrimdv 3105	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
57	56	ralrimiv 3102	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))
58		isst 30575	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
59	22, 33, 57, 58	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  [,]cicc 13082  ↑cexp 13782   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282  norm_ℎcno 29285   C_ℋ cch 29291  ⊥cort 29292   ∨_ℋ chj 29295  proj_ℎcpjh 29299  Statescst 29324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-chj 29672  df-pjh 29757  df-st 30573

This theorem is referenced by:  strlem3  30615