Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem3a 30026
 Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
Assertion
Ref Expression
strlem3a ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Distinct variable group:   𝑥,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝑥C𝑥C )
2 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3 pjhcl 29175 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
41, 2, 3syl2anr 599 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5 normcl 28899 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
76resqcld 13607 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
86sqge0d 13608 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
9 normge0 28900 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
11 pjnorm 29498 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
121, 2, 11syl2anr 599 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
13 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm𝑢) = 1)
1412, 13breqtrd 5075 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
16 exple1 13536 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
1715, 16mpan2 690 . . . . 5 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
186, 10, 14, 17syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19 elicc01 12844 . . . 4 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
207, 8, 18, 19syl3anbrc 1340 . . 3 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21 strlem3a.1 . . 3 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
2220, 21fmptd 6861 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆: C ⟶(0[,]1))
23 helch 29017 . . . 4 ℋ ∈ C
2421strlem2 30025 . . . 4 ( ℋ ∈ C → (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
2523, 24ax-mp 5 . . 3 (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26 pjch1 29444 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
2726fveq2d 6657 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = (norm𝑢))
2827oveq1d 7155 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((norm𝑢)↑2))
29 oveq1 7147 . . . . 5 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = (1↑2))
30 sq1 13554 . . . . 5 (1↑2) = 1
3129, 30syl6eq 2875 . . . 4 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = 1)
3228, 31sylan9eq 2879 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
3325, 32syl5eq 2871 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34 pjcjt2 29466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3534imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3635fveq2d 6657 . . . . . . . . . 10 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢)) = (norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3736oveq1d 7155 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2))
38 pjopyth 29494 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))))
3938imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
4037, 39eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
41 chjcl 29131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
42413adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4342adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4421strlem2 30025 . . . . . . . . 9 ((𝑧 𝑤) ∈ C → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
46 3simpa 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧C𝑤C ))
4746adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧C𝑤C ))
4821strlem2 30025 . . . . . . . . . 10 (𝑧C → (𝑆𝑧) = ((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2))
4921strlem2 30025 . . . . . . . . . 10 (𝑤C → (𝑆𝑤) = ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))
5048, 49oveqan12d 7159 . . . . . . . . 9 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5147, 50syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5240, 45, 513eqtr4d 2869 . . . . . . 7 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))
53523exp1 1349 . . . . . 6 (𝑧C → (𝑤C → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5453com3r 87 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5554adantr 484 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5655ralrimdv 3182 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → ∀𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5756ralrimiv 3175 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))
58 isst 29987 . 2 (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: C ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5922, 33, 57, 58syl3anbrc 1340 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   ⊆ wss 3918   class class class wbr 5049   ↦ cmpt 5129  ⟶wf 6334  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  ℝcr 10523  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   ≤ cle 10663  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  [,]cicc 12729  ↑cexp 13425   ℋchba 28693   +ℎ cva 28694  normℎcno 28697   Cℋ cch 28703  ⊥cort 28704   ∨ℋ chj 28707  projℎcpjh 28711  Statescst 28736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cc 9844  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602  ax-addf 10603  ax-mulf 10604  ax-hilex 28773  ax-hfvadd 28774  ax-hvcom 28775  ax-hvass 28776  ax-hv0cl 28777  ax-hvaddid 28778  ax-hfvmul 28779  ax-hvmulid 28780  ax-hvmulass 28781  ax-hvdistr1 28782  ax-hvdistr2 28783  ax-hvmul0 28784  ax-hfi 28853  ax-his1 28856  ax-his2 28857  ax-his3 28858  ax-his4 28859  ax-hcompl 28976 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-iin 4905  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20525  df-xmet 20526  df-met 20527  df-bl 20528  df-mopn 20529  df-fbas 20530  df-fg 20531  df-cnfld 20534  df-top 21490  df-topon 21507  df-topsp 21529  df-bases 21542  df-cld 21615  df-ntr 21616  df-cls 21617  df-nei 21694  df-cn 21823  df-cnp 21824  df-lm 21825  df-haus 21911  df-tx 22158  df-hmeo 22351  df-fil 22442  df-fm 22534  df-flim 22535  df-flf 22536  df-xms 22918  df-ms 22919  df-tms 22920  df-cfil 23850  df-cau 23851  df-cmet 23852  df-grpo 28267  df-gid 28268  df-ginv 28269  df-gdiv 28270  df-ablo 28319  df-vc 28333  df-nv 28366  df-va 28369  df-ba 28370  df-sm 28371  df-0v 28372  df-vs 28373  df-nmcv 28374  df-ims 28375  df-dip 28475  df-ssp 28496  df-ph 28587  df-cbn 28637  df-hnorm 28742  df-hba 28743  df-hvsub 28745  df-hlim 28746  df-hcau 28747  df-sh 28981  df-ch 28995  df-oc 29026  df-ch0 29027  df-shs 29082  df-chj 29084  df-pjh 29169  df-st 29985 This theorem is referenced by:  strlem3  30027
 Copyright terms: Public domain W3C validator