Theorem strlem3a 32341

Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))

Assertion

Ref	Expression
strlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
2		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3		pjhcl 31490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2anr 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5		normcl 31214	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14078	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
8	6	sqge0d 14090	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
9		normge0 31215	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
11		pjnorm 31813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
12	1, 2, 11	syl2anr 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
13		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘𝑢) = 1)
14	12, 13	breqtrd 5098	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15		2nn0 12445	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		exple1 14130	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
17	15, 16	mpan2 697	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
18	6, 10, 14, 17	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19		elicc01 13410	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
20	7, 8, 18, 19	syl3anbrc 1350	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21		strlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
22	20, 21	fmptd 7055	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1))
23		helch 31332	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
24	21	strlem2 32340	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26		pjch1 31759	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
27	26	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
28	27	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘𝑢)↑2))
29		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = (1↑2))
30		sq1 14148	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = 1)
32	28, 31	sylan9eq 2794	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
33	25, 32	eqtrid 2786	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34		pjcjt2 31781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
35	34	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
36	35	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢)) = (normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
37	36	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2))
38		pjopyth 31809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))))
39	38	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
40	37, 39	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
41		chjcl 31446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
42	41	3adant3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
44	21	strlem2 32340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
46		3simpa 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
48	21	strlem2 32340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2))
49	21	strlem2 32340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
52	40, 45, 51	3eqtr4d 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))
53	52	3exp1 1359	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
54	53	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
55	54	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
56	55	ralrimdv 3137	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
57	56	ralrimiv 3130	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))
58		isst 32302	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
59	22, 33, 57, 58	syl3anbrc 1350	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  [,]cicc 13292  ↑cexp 14014   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009  norm_ℎcno 31012   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019   ∨_ℋ chj 31022  proj_ℎcpjh 31026  Statescst 31051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-lm 23212  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cfil 25240  df-cau 25241  df-cmet 25242  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-shs 31397  df-chj 31399  df-pjh 31484  df-st 32300

This theorem is referenced by:  strlem3  32342