HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem3a 31773
Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
Assertion
Ref Expression
strlem3a ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Distinct variable group:   𝑥,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝑥C𝑥C )
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3 pjhcl 30922 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
41, 2, 3syl2anr 596 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5 normcl 30646 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
76resqcld 14095 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
86sqge0d 14107 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
9 normge0 30647 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
11 pjnorm 31245 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
121, 2, 11syl2anr 596 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
13 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm𝑢) = 1)
1412, 13breqtrd 5174 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15 2nn0 12494 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
16 exple1 14146 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
1715, 16mpan2 688 . . . . 5 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
186, 10, 14, 17syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19 elicc01 13448 . . . 4 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
207, 8, 18, 19syl3anbrc 1342 . . 3 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21 strlem3a.1 . . 3 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
2220, 21fmptd 7115 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆: C ⟶(0[,]1))
23 helch 30764 . . . 4 ℋ ∈ C
2421strlem2 31772 . . . 4 ( ℋ ∈ C → (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
2523, 24ax-mp 5 . . 3 (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26 pjch1 31191 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
2726fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = (norm𝑢))
2827oveq1d 7427 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((norm𝑢)↑2))
29 oveq1 7419 . . . . 5 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = (1↑2))
30 sq1 14164 . . . . 5 (1↑2) = 1
3129, 30eqtrdi 2787 . . . 4 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = 1)
3228, 31sylan9eq 2791 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
3325, 32eqtrid 2783 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34 pjcjt2 31213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3534imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢)) = (norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3736oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2))
38 pjopyth 31241 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))))
3938imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
4037, 39eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
41 chjcl 30878 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
42413adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4421strlem2 31772 . . . . . . . . 9 ((𝑧 𝑤) ∈ C → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
46 3simpa 1147 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧C𝑤C ))
4746adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧C𝑤C ))
4821strlem2 31772 . . . . . . . . . 10 (𝑧C → (𝑆𝑧) = ((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2))
4921strlem2 31772 . . . . . . . . . 10 (𝑤C → (𝑆𝑤) = ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))
5048, 49oveqan12d 7431 . . . . . . . . 9 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5147, 50syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5240, 45, 513eqtr4d 2781 . . . . . . 7 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))
53523exp1 1351 . . . . . 6 (𝑧C → (𝑤C → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5453com3r 87 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5554adantr 480 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5655ralrimdv 3151 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → ∀𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5756ralrimiv 3144 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))
58 isst 31734 . 2 (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: C ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5922, 33, 57, 58syl3anbrc 1342 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  cle 11254  2c2 12272  0cn0 12477  [,]cicc 13332  cexp 14032  chba 30440   + cva 30441  normcno 30444   C cch 30450  cort 30451   chj 30454  projcpjh 30458  Statescst 30483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-oc 30773  df-ch0 30774  df-shs 30829  df-chj 30831  df-pjh 30916  df-st 31732
This theorem is referenced by:  strlem3  31774
  Copyright terms: Public domain W3C validator