Theorem strlem3a 30515

Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))

Assertion

Ref	Expression
strlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3		pjhcl 29664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5		normcl 29388	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 13893	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
8	6	sqge0d 13894	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
9		normge0 29389	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
11		pjnorm 29987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
12	1, 2, 11	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
13		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘𝑢) = 1)
14	12, 13	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15		2nn0 12180	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		exple1 13822	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
17	15, 16	mpan2 687	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
18	6, 10, 14, 17	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19		elicc01 13127	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
20	7, 8, 18, 19	syl3anbrc 1341	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21		strlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
22	20, 21	fmptd 6970	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1))
23		helch 29506	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
24	21	strlem2 30514	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26		pjch1 29933	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
27	26	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
28	27	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘𝑢)↑2))
29		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = (1↑2))
30		sq1 13840	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = 1)
32	28, 31	sylan9eq 2799	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
33	25, 32	syl5eq 2791	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34		pjcjt2 29955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
36	35	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢)) = (normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
37	36	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2))
38		pjopyth 29983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))))
39	38	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
40	37, 39	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
41		chjcl 29620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
42	41	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
44	21	strlem2 30514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
46		3simpa 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
48	21	strlem2 30514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2))
49	21	strlem2 30514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
52	40, 45, 51	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))
53	52	3exp1 1350	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
54	53	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
56	55	ralrimdv 3111	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
57	56	ralrimiv 3106	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))
58		isst 30476	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
59	22, 33, 57, 58	syl3anbrc 1341	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  [,]cicc 13011  ↑cexp 13710   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183  norm_ℎcno 29186   C_ℋ cch 29192  ⊥cort 29193   ∨_ℋ chj 29196  proj_ℎcpjh 29200  Statescst 29225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-chj 29573  df-pjh 29658  df-st 30474

This theorem is referenced by:  strlem3  30516