HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem3a 30610
Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
Assertion
Ref Expression
strlem3a ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Distinct variable group:   𝑥,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝑥C𝑥C )
2 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3 pjhcl 29759 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
41, 2, 3syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5 normcl 29483 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
76resqcld 13963 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
86sqge0d 13964 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
9 normge0 29484 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
11 pjnorm 30082 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
121, 2, 11syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
13 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm𝑢) = 1)
1412, 13breqtrd 5105 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15 2nn0 12250 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
16 exple1 13892 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
1715, 16mpan2 688 . . . . 5 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
186, 10, 14, 17syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19 elicc01 13197 . . . 4 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
207, 8, 18, 19syl3anbrc 1342 . . 3 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21 strlem3a.1 . . 3 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
2220, 21fmptd 6985 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆: C ⟶(0[,]1))
23 helch 29601 . . . 4 ℋ ∈ C
2421strlem2 30609 . . . 4 ( ℋ ∈ C → (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
2523, 24ax-mp 5 . . 3 (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26 pjch1 30028 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
2726fveq2d 6775 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = (norm𝑢))
2827oveq1d 7286 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((norm𝑢)↑2))
29 oveq1 7278 . . . . 5 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = (1↑2))
30 sq1 13910 . . . . 5 (1↑2) = 1
3129, 30eqtrdi 2796 . . . 4 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = 1)
3228, 31sylan9eq 2800 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
3325, 32eqtrid 2792 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34 pjcjt2 30050 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3534imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3635fveq2d 6775 . . . . . . . . . 10 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢)) = (norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3736oveq1d 7286 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2))
38 pjopyth 30078 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))))
3938imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
4037, 39eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
41 chjcl 29715 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
42413adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4421strlem2 30609 . . . . . . . . 9 ((𝑧 𝑤) ∈ C → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
46 3simpa 1147 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧C𝑤C ))
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧C𝑤C ))
4821strlem2 30609 . . . . . . . . . 10 (𝑧C → (𝑆𝑧) = ((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2))
4921strlem2 30609 . . . . . . . . . 10 (𝑤C → (𝑆𝑤) = ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))
5048, 49oveqan12d 7290 . . . . . . . . 9 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5147, 50syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5240, 45, 513eqtr4d 2790 . . . . . . 7 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))
53523exp1 1351 . . . . . 6 (𝑧C → (𝑤C → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5453com3r 87 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5554adantr 481 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5655ralrimdv 3114 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → ∀𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5756ralrimiv 3109 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))
58 isst 30571 . 2 (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: C ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5922, 33, 57, 58syl3anbrc 1342 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wss 3892   class class class wbr 5079  cmpt 5162  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875  cle 11011  2c2 12028  0cn0 12233  [,]cicc 13081  cexp 13780  chba 29277   + cva 29278  normcno 29281   C cch 29287  cort 29288   chj 29291  projcpjh 29295  Statescst 29320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cc 10192  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952  ax-hilex 29357  ax-hfvadd 29358  ax-hvcom 29359  ax-hvass 29360  ax-hv0cl 29361  ax-hvaddid 29362  ax-hfvmul 29363  ax-hvmulid 29364  ax-hvmulass 29365  ax-hvdistr1 29366  ax-hvdistr2 29367  ax-hvmul0 29368  ax-hfi 29437  ax-his1 29440  ax-his2 29441  ax-his3 29442  ax-his4 29443  ax-hcompl 29560
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-acn 9701  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-lm 22378  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cfil 24417  df-cau 24418  df-cmet 24419  df-grpo 28851  df-gid 28852  df-ginv 28853  df-gdiv 28854  df-ablo 28903  df-vc 28917  df-nv 28950  df-va 28953  df-ba 28954  df-sm 28955  df-0v 28956  df-vs 28957  df-nmcv 28958  df-ims 28959  df-dip 29059  df-ssp 29080  df-ph 29171  df-cbn 29221  df-hnorm 29326  df-hba 29327  df-hvsub 29329  df-hlim 29330  df-hcau 29331  df-sh 29565  df-ch 29579  df-oc 29610  df-ch0 29611  df-shs 29666  df-chj 29668  df-pjh 29753  df-st 30569
This theorem is referenced by:  strlem3  30611
  Copyright terms: Public domain W3C validator