Theorem strlem3a 32234

Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
strlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))

Assertion

Ref	Expression
strlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3		pjhcl 31383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5		normcl 31107	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14034	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
8	6	sqge0d 14046	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
9		normge0 31108	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)))
11		pjnorm 31706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
12	1, 2, 11	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ (normℎ‘𝑢))
13		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘𝑢) = 1)
14	12, 13	breqtrd 5119	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15		2nn0 12405	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		exple1 14086	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
17	15, 16	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
18	6, 10, 14, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19		elicc01 13368	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
20	7, 8, 18, 19	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
21		strlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
22	20, 21	fmptd 7053	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1))
23		helch 31225	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
24	21	strlem2 32233	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
26		pjch1 31652	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
27	26	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
28	27	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘𝑢)↑2))
29		oveq1 7359	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = (1↑2))
30		sq1 14104	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘𝑢)↑2) = 1)
32	28, 31	sylan9eq 2788	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
33	25, 32	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
34		pjcjt2 31674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
36	35	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢)) = (normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
37	36	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2))
38		pjopyth 31702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))))
39	38	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘(((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
40	37, 39	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
41		chjcl 31339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
42	41	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
44	21	strlem2 32233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((normℎ‘((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))↑2))
46		3simpa 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ))
48	21	strlem2 32233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2))
49	21	strlem2 32233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝑧)‘𝑢))↑2) + ((normℎ‘((projℎ‘𝑤)‘𝑢))↑2)))
52	40, 45, 51	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))
53	52	3exp1 1353	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
54	53	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))))
56	55	ralrimdv 3131	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
57	56	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤))))
58		isst 32195	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑆‘𝑤)))))
59	22, 33, 57, 58	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   ≤ cle 11154  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  [,]cicc 13250  ↑cexp 13970   ℋchba 30901   +_ℎ cva 30902  norm_ℎcno 30905   C_ℋ cch 30911  ⊥cort 30912   ∨_ℋ chj 30915  proj_ℎcpjh 30919  Statescst 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093  ax-hilex 30981  ax-hfvadd 30982  ax-hvcom 30983  ax-hvass 30984  ax-hv0cl 30985  ax-hvaddid 30986  ax-hfvmul 30987  ax-hvmulid 30988  ax-hvmulass 30989  ax-hvdistr1 30990  ax-hvdistr2 30991  ax-hvmul0 30992  ax-hfi 31061  ax-his1 31064  ax-his2 31065  ax-his3 31066  ax-his4 31067  ax-hcompl 31184

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30475  df-gid 30476  df-ginv 30477  df-gdiv 30478  df-ablo 30527  df-vc 30541  df-nv 30574  df-va 30577  df-ba 30578  df-sm 30579  df-0v 30580  df-vs 30581  df-nmcv 30582  df-ims 30583  df-dip 30683  df-ssp 30704  df-ph 30795  df-cbn 30845  df-hnorm 30950  df-hba 30951  df-hvsub 30953  df-hlim 30954  df-hcau 30955  df-sh 31189  df-ch 31203  df-oc 31234  df-ch0 31235  df-shs 31290  df-chj 31292  df-pjh 31377  df-st 32193

This theorem is referenced by:  strlem3  32235