Theorem chcompl 31859

Description: Completeness of a closed subspace of Hilbert space. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chcompl	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐹

Proof of Theorem chcompl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch3 31858	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
2	1	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
3		feq1 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻 ↔ 𝐹:ℕ⟶𝐻))
4		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
5	4	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
6	3, 5	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
7	6	rspccv 3577	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
9	8	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ⟶wf 6543  ℕcn 12348  Cauchyccauold 31543   ⇝_𝑣 chli 31544   S_ℋ csh 31545   C_ℋ cch 31546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617  ax-hvcom 31618  ax-hvass 31619  ax-hv0cl 31620  ax-hvaddid 31621  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulid 31623  ax-hvmulass 31624  ax-hvdistr1 31625  ax-hvdistr2 31626  ax-hvmul0 31627  ax-hfi 31696  ax-his1 31699  ax-his2 31700  ax-his3 31701  ax-his4 31702  ax-hcompl 31819

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-icc 13496  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-lm 23562  df-haus 23648  df-cau 25592  df-grpo 31110  df-gid 31111  df-ginv 31112  df-gdiv 31113  df-ablo 31162  df-vc 31176  df-nv 31209  df-va 31212  df-ba 31213  df-sm 31214  df-0v 31215  df-vs 31216  df-nmcv 31217  df-ims 31218  df-hnorm 31585  df-hvsub 31588  df-hlim 31589  df-hcau 31590  df-ch 31838

This theorem is used by: (None)