HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chcompl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chcompl 28643
Description: Completeness of a closed subspace of Hilbert space. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chcompl ((𝐻C𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥𝐻 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐹

Proof of Theorem chcompl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isch3 28642 . . . 4 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
21simprbi 492 . . 3 (𝐻C → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
3 feq1 6259 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻𝐹:ℕ⟶𝐻))
4 breq1 4876 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝑥))
54rexbidv 3262 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥𝐻 𝐹𝑣 𝑥))
63, 5imbi12d 336 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝐹𝑣 𝑥)))
76rspccv 3523 . . 3 (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝐹𝑣 𝑥)))
82, 7syl 17 . 2 (𝐻C → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝐹𝑣 𝑥)))
983imp 1141 1 ((𝐻C𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥𝐻 𝐹𝑣 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118   class class class wbr 4873  wf 6119  cn 11350  Cauchyccauold 28327  𝑣 chli 28328   S csh 28329   C cch 28330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332  ax-hilex 28400  ax-hfvadd 28401  ax-hvcom 28402  ax-hvass 28403  ax-hv0cl 28404  ax-hvaddid 28405  ax-hfvmul 28406  ax-hvmulid 28407  ax-hvmulass 28408  ax-hvdistr1 28409  ax-hvdistr2 28410  ax-hvmul0 28411  ax-hfi 28480  ax-his1 28483  ax-his2 28484  ax-his3 28485  ax-his4 28486  ax-hcompl 28603
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-icc 12470  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-lm 21404  df-haus 21490  df-cau 23424  df-grpo 27892  df-gid 27893  df-ginv 27894  df-gdiv 27895  df-ablo 27944  df-vc 27958  df-nv 27991  df-va 27994  df-ba 27995  df-sm 27996  df-0v 27997  df-vs 27998  df-nmcv 27999  df-ims 28000  df-hnorm 28369  df-hvsub 28372  df-hlim 28373  df-hcau 28374  df-ch 28622
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator