Theorem chcompl 31226

Description: Completeness of a closed subspace of Hilbert space. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chcompl	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐹

Proof of Theorem chcompl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch3 31225	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
3		feq1 6636	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻 ↔ 𝐹:ℕ⟶𝐻))
4		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
5	4	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
7	6	rspccv 3570	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
9	8	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ⟶wf 6484  ℕcn 12134  Cauchyccauold 30910   ⇝_𝑣 chli 30911   S_ℋ csh 30912   C_ℋ cch 30913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094  ax-mulf 11095  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hvcom 30985  ax-hvass 30986  ax-hv0cl 30987  ax-hvaddid 30988  ax-hfvmul 30989  ax-hvmulid 30990  ax-hvmulass 30991  ax-hvdistr1 30992  ax-hvdistr2 30993  ax-hvmul0 30994  ax-hfi 31063  ax-his1 31066  ax-his2 31067  ax-his3 31068  ax-his4 31069  ax-hcompl 31186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-icc 13256  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-topgen 17351  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22864  df-lm 23147  df-haus 23233  df-cau 25186  df-grpo 30477  df-gid 30478  df-ginv 30479  df-gdiv 30480  df-ablo 30529  df-vc 30543  df-nv 30576  df-va 30579  df-ba 30580  df-sm 30581  df-0v 30582  df-vs 30583  df-nmcv 30584  df-ims 30585  df-hnorm 30952  df-hvsub 30955  df-hlim 30956  df-hcau 30957  df-ch 31205

This theorem is referenced by: (None)