Theorem chcompl 29612

Description: Completeness of a closed subspace of Hilbert space. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chcompl	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐹

Proof of Theorem chcompl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch3 29611	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
3		feq1 6573	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻 ↔ 𝐹:ℕ⟶𝐻))
4		breq1 5076	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
5	4	rexbidv 3224	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
6	3, 5	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
7	6	rspccv 3556	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐹 ∈ Cauchy → (𝐹:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
9	8	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐹 ∈ Cauchy ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5073  ⟶wf 6422  ℕcn 11983  Cauchyccauold 29296   ⇝_𝑣 chli 29297   S_ℋ csh 29298   C_ℋ cch 29299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961  ax-hilex 29369  ax-hfvadd 29370  ax-hvcom 29371  ax-hvass 29372  ax-hv0cl 29373  ax-hvaddid 29374  ax-hfvmul 29375  ax-hvmulid 29376  ax-hvmulass 29377  ax-hvdistr1 29378  ax-hvdistr2 29379  ax-hvmul0 29380  ax-hfi 29449  ax-his1 29452  ax-his2 29453  ax-his3 29454  ax-his4 29455  ax-hcompl 29572

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-icc 13096  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-topgen 17164  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-top 22053  df-topon 22070  df-bases 22106  df-lm 22390  df-haus 22476  df-cau 24430  df-grpo 28863  df-gid 28864  df-ginv 28865  df-gdiv 28866  df-ablo 28915  df-vc 28929  df-nv 28962  df-va 28965  df-ba 28966  df-sm 28967  df-0v 28968  df-vs 28969  df-nmcv 28970  df-ims 28971  df-hnorm 29338  df-hvsub 29341  df-hlim 29342  df-hcau 29343  df-ch 29591

This theorem is referenced by: (None)