MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1faddlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1faddlem 25640
Description: Decompose the preimage of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1faddlem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   πœ‘,𝑦
Proof of Theorem i1faddlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fadd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1ff 25623 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
43ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
5 i1fadd.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
6 i1ff 25623 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
87ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
9 reex 11229 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4213 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
124, 8, 10, 10, 11offn 7695 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn ℝ)
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn ℝ)
14 fniniseg 7064 . . . . 5 ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
168ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
17 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
18 fnfvelrn 7085 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺)
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺)
20 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)
21 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
22 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
234, 8, 10, 10, 11, 21, 22ofval 7693 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
2423ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
2520, 24eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐴 = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
2625oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
27 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
28 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
293, 27, 28sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3130, 17ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
32 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
337, 27, 32sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
3534, 17ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3631, 35pncand 11602 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
3726, 36eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
384ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
39 fniniseg 7064 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))))
4117, 37, 40mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}))
42 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
43 fniniseg 7064 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
4416, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
4517, 42, 44mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))
4641, 45elind 4188 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)})))
47 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
4847sneqd 4636 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)} = {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))})
4948imaeq2d 6058 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}))
50 sneq 4634 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ {𝑦} = {(πΊβ€˜π‘§)})
5150imaeq2d 6058 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) = (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))
5249, 51ineq12d 4207 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) = ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)})))
5352eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))))
5453rspcev 3601 . . . . . . 7 (((πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺 ∧ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
5519, 46, 54syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
5655ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
57 elin 3955 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
584adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
59 fniniseg 7064 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))))
618adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
62 fniniseg 7064 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
6460, 63anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))))
65 anandi 674 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
66 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
6723ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
68 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))
69 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)
7068, 69oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) = ((𝐴 βˆ’ 𝑦) + 𝑦))
71 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7233ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
7372, 66ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7469, 73eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7571, 74npcand 11605 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑦) + 𝑦) = 𝐴)
7667, 70, 753eqtrd 2769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)
7766, 76jca 510 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴))
7877ex 411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
7965, 78biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8064, 79sylbid 239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8157, 80biimtrid 241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8281rexlimdvw 3150 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8356, 82impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
8415, 83bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
85 eliun 4995 . . 3 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
8684, 85bitr4di 288 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
8786eqrdv 2723 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  β„‚cc 11136  β„cr 11137   + caddc 11141   βˆ’ cmin 11474  βˆ«1citg1 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-sum 15665  df-itg1 25567
This theorem is referenced by:  i1fadd  25642  itg1addlem4  25646  itg1addlem4OLD  25647
  Copyright terms: Public domain W3C validator