MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1faddlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1faddlem 25201
Description: Decompose the preimage of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1faddlem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   πœ‘,𝑦
Proof of Theorem i1faddlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fadd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1ff 25184 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
43ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
5 i1fadd.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
6 i1ff 25184 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
87ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
9 reex 11197 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4217 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
124, 8, 10, 10, 11offn 7679 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn ℝ)
1312adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn ℝ)
14 fniniseg 7058 . . . . 5 ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
168ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
17 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
18 fnfvelrn 7079 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺)
20 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)
21 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
22 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
234, 8, 10, 10, 11, 21, 22ofval 7677 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
2423ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
2520, 24eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐴 = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
2625oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
27 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
28 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
293, 27, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3130, 17ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
32 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
337, 27, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
3534, 17ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3631, 35pncand 11568 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
3726, 36eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
384ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
39 fniniseg 7058 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))))
4117, 37, 40mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}))
42 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
43 fniniseg 7058 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
4416, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
4517, 42, 44mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))
4641, 45elind 4193 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)})))
47 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
4847sneqd 4639 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)} = {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))})
4948imaeq2d 6057 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}))
50 sneq 4637 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ {𝑦} = {(πΊβ€˜π‘§)})
5150imaeq2d 6057 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) = (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))
5249, 51ineq12d 4212 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) = ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)})))
5352eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))))
5453rspcev 3612 . . . . . . 7 (((πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺 ∧ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
5519, 46, 54syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
5655ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
57 elin 3963 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
584adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
59 fniniseg 7058 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))))
618adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
62 fniniseg 7058 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
6460, 63anbi12d 631 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))))
65 anandi 674 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
66 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
6723ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
68 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))
69 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)
7068, 69oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) = ((𝐴 βˆ’ 𝑦) + 𝑦))
71 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7233ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
7372, 66ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7469, 73eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7571, 74npcand 11571 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝑦) + 𝑦) = 𝐴)
7667, 70, 753eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)
7766, 76jca 512 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴))
7877ex 413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
7965, 78biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8064, 79sylbid 239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8157, 80biimtrid 241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8281rexlimdvw 3160 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
8356, 82impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
8415, 83bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
85 eliun 5000 . . 3 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
8684, 85bitr4di 288 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
8786eqrdv 2730 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝑦 ∈ ran 𝐺((◑𝐹 β€œ {(𝐴 βˆ’ 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  βˆ«1citg1 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-sum 15629  df-itg1 25128
This theorem is referenced by:  i1fadd  25203  itg1addlem4  25207  itg1addlem4OLD  25208
  Copyright terms: Public domain W3C validator