MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fmullem 25211
Description: Decompose the preimage of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1fmullem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   πœ‘,𝑦
Proof of Theorem i1fmullem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fadd.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1ff 25193 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
43ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
5 i1fadd.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
6 i1ff 25193 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
87ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
9 reex 11201 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4219 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
124, 8, 10, 10, 11offn 7683 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) Fn ℝ)
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) Fn ℝ)
14 fniniseg 7062 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴)))
164adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
178adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
189a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ℝ ∈ V)
19 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
20 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
2116, 17, 18, 18, 11, 19, 20ofval 7681 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
2221eqeq1d 2735 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴))
2322pm5.32da 580 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)))
248ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
25 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
26 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺)
2724, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺)
28 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝐴 β‰  0)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰  0)
30 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)
313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3231, 25ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
3332recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3433mul01d 11413 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· 0) = 0)
3529, 30, 343netr4d 3019 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) β‰  ((πΉβ€˜π‘§) Β· 0))
36 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· 0))
3736necon3i 2974 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) β‰  ((πΉβ€˜π‘§) Β· 0) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0)
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0)
39 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ran 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0))
4027, 38, 39sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}))
417ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
4241, 25ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
4342recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4433, 43, 38divcan4d 11996 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (πΊβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
4530oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (πΊβ€˜π‘§)) = (𝐴 / (πΊβ€˜π‘§)))
4644, 45eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / (πΊβ€˜π‘§)))
4731ffnd 6719 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
48 fniniseg 7062 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / (πΊβ€˜π‘§)))))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / (πΊβ€˜π‘§)))))
5025, 46, 49mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}))
51 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
52 fniniseg 7062 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
5324, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
5425, 51, 53mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))
5550, 54elind 4195 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)})))
56 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / (πΊβ€˜π‘§)))
5756sneqd 4641 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ {(𝐴 / 𝑦)} = {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))})
5857imaeq2d 6060 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}))
59 sneq 4639 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ {𝑦} = {(πΊβ€˜π‘§)})
6059imaeq2d 6060 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) = (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))
6158, 60ineq12d 4214 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) = ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)})))
6261eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))))
6362rspcev 3613 . . . . . . 7 (((πΊβ€˜π‘§) ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / (πΊβ€˜π‘§))}) ∩ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜π‘§)}))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
6440, 55, 63syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
6564ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
66 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦))))
6716, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦))))
68 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
6917, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
7067, 69anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))))
71 elin 3965 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
72 anandi 675 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
7370, 71, 723bitr4g 314 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))))
7473adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦))))
75 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7675ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
777ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
7877frnd 6726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
79 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}))
80 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ∧ 𝑦 β‰  0))
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ∧ 𝑦 β‰  0))
8281simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐺)
8378, 82sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
8483recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
8581simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 β‰  0)
8676, 84, 85divcan1d 11991 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((𝐴 / 𝑦) Β· 𝑦) = 𝐴)
87 oveq12 7418 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = ((𝐴 / 𝑦) Β· 𝑦))
8887eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴 ↔ ((𝐴 / 𝑦) Β· 𝑦) = 𝐴))
8986, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴))
9089anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴))
9190imdistanda 573 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐴 / 𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)))
9274, 91sylbid 239 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)))
9392rexlimdva 3156 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴)))
9465, 93impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = 𝐴) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
9515, 23, 943bitrd 305 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
96 eliun 5002 . . 3 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
9795, 96bitr4di 289 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝐴}) ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦}))))
9897eqrdv 2731 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝐴 / 𝑦)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  {csn 4629  βˆͺ ciun 4998  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   / cdiv 11871  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-sum 15633  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  i1fmul  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator