Theorem itg1addlem1 24296

Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1addlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
itg1addlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
itg1addlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
itg1addlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
itg1addlem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1addlem1	⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem itg1addlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1addlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		itg1addlem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
3		itg1addlem.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
5	4	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6		itg1addlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
7	6	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
8		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}))
10		itg1addlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	10	ffnd 6488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐹 Fn 𝑋)
13		fniniseg 6807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
15	9, 14	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘))
16	15	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
17	16	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
18		invdisj 5014	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20		volfiniun 24151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))
21	1, 5, 19, 20	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ∪ ciun 4881  Disj wdisj 4995  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  ℝcr 10525  Σcsu 15034  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20084  df-met 20085  df-ovol 24068  df-vol 24069

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  24303  itg1addlem5  24304