Theorem itg1addlem1 25591

Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1addlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
itg1addlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
itg1addlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
itg1addlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
itg1addlem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1addlem1	⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem itg1addlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1addlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		itg1addlem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
3		itg1addlem.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
5	4	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6		itg1addlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
7	6	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
8		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}))
10		itg1addlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	10	ffnd 6653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐹 Fn 𝑋)
13		fniniseg 6994	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
15	9, 14	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘))
16	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
17	16	ralrimivva 3172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
18		invdisj 5078	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20		volfiniun 25446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))
21	1, 5, 19, 20	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ∪ ciun 4941  Disj wdisj 5059  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  ℝcr 11008  Σcsu 15593  volcvol 25362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21254  df-met 21255  df-ovol 25363  df-vol 25364

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25598  itg1addlem5  25599