Theorem itg1addlem1 25647

Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1addlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
itg1addlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
itg1addlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
itg1addlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
itg1addlem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1addlem1	⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem itg1addlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1addlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		itg1addlem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
3		itg1addlem.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
5	4	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6		itg1addlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
7	6	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
8		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}))
10		itg1addlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	10	ffnd 6661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐹 Fn 𝑋)
13		fniniseg 7003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
15	9, 14	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘))
16	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
17	16	ralrimivva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
18		invdisj 5082	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20		volfiniun 25502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))
21	1, 5, 19, 20	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ∪ ciun 4944  Disj wdisj 5063  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Fincfn 8881  ℝcr 11023  Σcsu 15607  volcvol 25418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xadd 13025  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-xmet 21300  df-met 21301  df-ovol 25419  df-vol 25420

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25654  itg1addlem5  25655