MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1addlem1 24272
Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1addlem.1 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
itg1addlem.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
itg1addlem.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ⊆ (𝐹 “ {𝑘}))
itg1addlem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
itg1addlem.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1addlem1 (𝜑 → (vol‘ 𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (vol‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem itg1addlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1addlem.2 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 itg1addlem.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
3 itg1addlem.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
42, 3jca 514 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
54ralrimiva 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6 itg1addlem.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ⊆ (𝐹 “ {𝑘}))
76adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝐵 ⊆ (𝐹 “ {𝑘}))
8 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
97, 8sseldd 3944 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}))
10 itg1addlem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1110ffnd 6489 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
1211adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝐹 Fn 𝑋)
13 fniniseg 6804 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
159, 14mpbid 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘))
1615simprd 498 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
1716ralrimivva 3178 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝑘)
18 invdisj 5024 . . 3 (∀𝑘𝐴𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝑘Disj 𝑘𝐴 𝐵)
1917, 18syl 17 . 2 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
20 volfiniun 24127 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑘𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (vol‘𝐵))
211, 5, 19, 20syl3anc 1367 1 (𝜑 → (vol‘ 𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wss 3912  {csn 4541   ciun 4893  Disj wdisj 5005  ccnv 5528  dom cdm 5529  cima 5532   Fn wfn 6324  wf 6325  cfv 6329  Fincfn 8485  cr 10512  Σcsu 15020  volcvol 24043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xadd 12485  df-ioo 12719  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-seq 13352  df-exp 13413  df-hash 13674  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-clim 14823  df-sum 15021  df-xmet 20511  df-met 20512  df-ovol 24044  df-vol 24045
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  24279  itg1addlem5  24280
  Copyright terms: Public domain W3C validator