Theorem itg1addlem1 25741

Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1addlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
itg1addlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
itg1addlem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
itg1addlem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
itg1addlem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1addlem1	⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem itg1addlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1addlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		itg1addlem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
3		itg1addlem.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
5	4	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6		itg1addlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
7	6	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (◡𝐹 “ {𝑘}))
8		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}))
10		itg1addlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	10	ffnd 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐹 Fn 𝑋)
13		fniniseg 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
15	9, 14	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘))
16	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
17	16	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
18		invdisj 5134	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝑘 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20		volfiniun 25596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))
21	1, 5, 19, 20	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (vol‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (vol‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ∪ ciun 4996  Disj wdisj 5115  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  ℝcr 11152  Σcsu 15719  volcvol 25512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25748  itg1addlem4OLD  25749  itg1addlem5  25750