Theorem iooss2 13297

Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooss2	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss2

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13265	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrltletr 13071	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝑤 < 𝐶))
3	1, 1, 2	ixxss2 13280	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  tgqioo  24744  ioorcl2  25529  itgsplitioo  25795  ditgcl  25815  ditgswap  25816  ditgsplitlem  25817  dvferm2lem  25946  dvferm  25948  dvlip  25954  dvgt0lem1  25963  dvivthlem1  25969  lhop1lem  25974  lhop1  25975  dvcvx  25981  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumge  25984  dvfsumabs  25985  ftc1lem1  25998  ftc1lem2  25999  ftc1a  26000  ftc1lem4  26002  ftc2  26007  ftc2ditglem  26008  itgsubstlem  26011  cos0pilt1  26497  ftc1anc  37898  ftc2nc  37899  limcresioolb  45883  fourierdlem46  46392  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem75  46421  fourierdlem103  46449  fourierdlem113  46459  fouriersw  46471