Theorem iooss2 13348

Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooss2	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss2

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13316	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrltletr 13123	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝑤 < 𝐶))
3	1, 1, 2	ixxss2 13331	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215  (,)cioo 13312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-ioo 13316

This theorem is referenced by:  tgqioo  24694  ioorcl2  25479  itgsplitioo  25745  ditgcl  25765  ditgswap  25766  ditgsplitlem  25767  dvferm2lem  25896  dvferm  25898  dvlip  25904  dvgt0lem1  25913  dvivthlem1  25919  lhop1lem  25924  lhop1  25925  dvcvx  25931  dvfsumle  25932  dvfsumleOLD  25933  dvfsumge  25934  dvfsumabs  25935  ftc1lem1  25948  ftc1lem2  25949  ftc1a  25950  ftc1lem4  25952  ftc2  25957  ftc2ditglem  25958  itgsubstlem  25961  cos0pilt1  26447  ftc1anc  37690  ftc2nc  37691  limcresioolb  45634  fourierdlem46  46143  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem75  46172  fourierdlem103  46200  fourierdlem113  46210  fouriersw  46222