MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem2 25991
Description: Lemma for ftc1 25997. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐷   𝑑,𝐴,π‘₯   𝑑,𝐡,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvexd 6917 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
2 ftc1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11302 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 ftc1.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 elicc2 13429 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
75, 2, 6syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
87biimpa 475 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
98simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
10 iooss2 13400 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘₯) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
114, 9, 10syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)π‘₯) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
12 ftc1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
1411, 13sstrd 3992 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)π‘₯) βŠ† 𝐷)
15 ioombl 25514 . . . . 5 (𝐴(,)π‘₯) ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)π‘₯) ∈ dom vol)
17 fvexd 6917 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
18 ftc1a.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
20 ftc1.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
2119, 20eqeltrrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
2221adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
2314, 16, 17, 22iblss 25754 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘₯) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
241, 23itgcl 25733 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
25 ftc1.g . 2 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
2624, 25fmptd 7129 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  (,)cioo 13364  [,]cicc 13367  volcvol 25412  πΏ1cibl 25566  βˆ«citg 25567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-itg 25572
This theorem is referenced by:  ftc1a  25992  ftc1lem5  25995  ftc1lem6  25996  ftc1  25997  ftc1cn  25998  ftc1cnnc  37198  ftc1anc  37207
  Copyright terms: Public domain W3C validator