MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem2 25403
Description: Lemma for ftc1 25409. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐷   𝑑,𝐴,π‘₯   𝑑,𝐡,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvexd 6858 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
2 ftc1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11206 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 ftc1.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 elicc2 13330 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
75, 2, 6syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
87biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
98simp3d 1145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
10 iooss2 13301 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘₯) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
114, 9, 10syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)π‘₯) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
12 ftc1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
1411, 13sstrd 3955 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)π‘₯) βŠ† 𝐷)
15 ioombl 24932 . . . . 5 (𝐴(,)π‘₯) ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴(,)π‘₯) ∈ dom vol)
17 fvexd 6858 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
18 ftc1a.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6911 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
20 ftc1.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
2119, 20eqeltrrd 2839 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
2221adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
2314, 16, 17, 22iblss 25172 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘₯) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
241, 23itgcl 25151 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
25 ftc1.g . 2 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
2624, 25fmptd 7063 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  β„*cxr 11189   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  [,]cicc 13268  volcvol 24830  πΏ1cibl 24984  βˆ«citg 24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-ibl 24989  df-itg 24990
This theorem is referenced by:  ftc1a  25404  ftc1lem5  25407  ftc1lem6  25408  ftc1  25409  ftc1cn  25410  ftc1cnnc  36153  ftc1anc  36162
  Copyright terms: Public domain W3C validator