MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem2 24236
Description: Lemma for ftc1 24242. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvexd 6461 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
2 ftc1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10426 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 ftc1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 elicc2 12550 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
75, 2, 6syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
87biimpa 470 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
98simp3d 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
10 iooss2 12523 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
114, 9, 10syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
12 ftc1.s . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
1312adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
1411, 13sstrd 3830 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ 𝐷)
15 ioombl 23769 . . . . 5 (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol)
17 fvexd 6461 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
18 ftc1a.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
1918feqmptd 6509 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
20 ftc1.i . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
2119, 20eqeltrrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
2221adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
2314, 16, 17, 22iblss 24008 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
241, 23itgcl 23987 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
25 ftc1.g . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2624, 25fmptd 6648 1 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  wss 3791   class class class wbr 4886  cmpt 4965  dom cdm 5355  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  *cxr 10410  cle 10412  (,)cioo 12487  [,]cicc 12490  volcvol 23667  𝐿1cibl 23821  citg 23822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xadd 12258  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-xmet 20135  df-met 20136  df-ovol 23668  df-vol 23669  df-mbf 23823  df-itg1 23824  df-itg2 23825  df-ibl 23826  df-itg 23827
This theorem is referenced by:  ftc1a  24237  ftc1lem5  24240  ftc1lem6  24241  ftc1  24242  ftc1cn  24243  ftc1cnnc  34104  ftc1anc  34113
  Copyright terms: Public domain W3C validator