Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem2 24617
 Description: Lemma for ftc1 24623. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvexd 6658 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
2 ftc1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10668 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 ftc1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 elicc2 12780 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
75, 2, 6syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
87biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
98simp3d 1141 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
10 iooss2 12752 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
114, 9, 10syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
12 ftc1.s . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
1411, 13sstrd 3953 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ 𝐷)
15 ioombl 24147 . . . . 5 (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol)
17 fvexd 6658 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
18 ftc1a.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
1918feqmptd 6706 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
20 ftc1.i . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
2119, 20eqeltrrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
2221adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
2314, 16, 17, 22iblss 24386 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
241, 23itgcl 24365 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
25 ftc1.g . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2624, 25fmptd 6851 1 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119  dom cdm 5528  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  ℝcr 10513  ℝ*cxr 10651   ≤ cle 10653  (,)cioo 12716  [,]cicc 12719  volcvol 24045  𝐿1cibl 24199  ∫citg 24200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xadd 12486  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-xmet 20513  df-met 20514  df-ovol 24046  df-vol 24047  df-mbf 24201  df-itg1 24202  df-itg2 24203  df-ibl 24204  df-itg 24205 This theorem is referenced by:  ftc1a  24618  ftc1lem5  24621  ftc1lem6  24622  ftc1  24623  ftc1cn  24624  ftc1cnnc  35009  ftc1anc  35018
 Copyright terms: Public domain W3C validator