Theorem ftc1lem2 26078

Description: Lemma for ftc1 26084. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem2	⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6920	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
2		ftc1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11312	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ftc1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		elicc2 13453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
7	5, 2, 6	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
9	8	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
10		iooss2 13424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
11	4, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
12		ftc1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
14	11, 13	sstrd 3993	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ 𝐷)
15		ioombl 25601	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol)
17		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
18		ftc1a.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
19	18	feqmptd 6976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
20		ftc1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
21	19, 20	eqeltrrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
23	14, 16, 17, 22	iblss 25841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
24	1, 23	itgcl 25820	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
25		ftc1.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
26	24, 25	fmptd 7133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  volcvol 25499  𝐿¹cibl 25653  ∫citg 25654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659

This theorem is referenced by:  ftc1a  26079  ftc1lem5  26082  ftc1lem6  26083  ftc1  26084  ftc1cn  26085  ftc1cnnc  37700  ftc1anc  37709