MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2 26126
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part two. If 𝐹 is a function continuous on [𝐴, 𝐵] and continuously differentiable on (𝐴, 𝐵), then the integral of the derivative of 𝐹 is equal to 𝐹(𝐵) − 𝐹(𝐴). This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc2.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc2.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc2.i (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡

Proof of Theorem ftc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 11344 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ftc2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11344 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ftc2.le . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
6 ubicc2 13537 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 fvex 6937 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴) ∈ V
98fvconst2 7245 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴))
11 eqid 2740 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1211subcn 24928 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
15 ssidd 4033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
16 ioossre 13480 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
18 ftc2.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
19 ftc2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
20 cncff 24959 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2214, 1, 3, 5, 15, 17, 18, 21ftc1a 26119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
23 ftc2.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24 cncff 24959 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2625feqmptd 6994 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
2726, 23eqeltrrd 2845 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2811, 13, 22, 27cncfmpt2f 24981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
29 ax-resscn 11245 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
31 iccssre 13501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
321, 3, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
33 fvex 6937 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
353adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3635rexrd 11344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
37 elicc2 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
381, 3, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3938biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4039simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
41 iooss2 13455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4236, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
43 ioombl 25640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴(,)𝑥) ∈ dom vol)
4533a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
4621feqmptd 6994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
4746, 18eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
4942, 44, 45, 48iblss 25881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑥) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
5034, 49itgcl 25860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
5125ffvelcdmda 7122 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5250, 51subcld 11653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
5311tgioo2 24865 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
54 iccntr 24883 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
551, 3, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5630, 32, 52, 53, 11, 55dvmptntr 26050 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))))
57 reelprrecn 11280 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
59 ioossicc 13505 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6059sseli 4005 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6160, 50sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
6221ffvelcdmda 7122 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
6314, 1, 3, 5, 19, 18ftc1cn 26125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D 𝐹))
6430, 32, 50, 53, 11, 55dvmptntr 26050 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)))
6521feqmptd 6994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
6663, 64, 653eqtr3d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
6760, 51sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6830, 32, 51, 53, 11, 55dvmptntr 26050 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))))
6926oveq2d 7468 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))))
7069, 65eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
7168, 70eqtr3d 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
7258, 61, 62, 66, 67, 62, 71dvmptsub 26046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
7362subidd 11641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
7473mpteq2dva 5268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
7556, 72, 743eqtrd 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
76 fconstmpt 5764 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0)
7775, 76eqtr4di 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
781, 3, 28, 77dveq0 26080 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥))) = ((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)}))
7978fveq1d 6926 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐵) = (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵))
80 oveq2 7460 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝐵))
81 itgeq1 25849 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝐵) → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
83 fveq2 6924 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
8482, 83oveq12d 7470 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
85 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))
86 ovex 7485 . . . . . . 7 (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)) ∈ V
8784, 85, 86fvmpt 7033 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐵) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
887, 87syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐵) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
8979, 88eqtr3d 2782 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴[,]𝐵) × {((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴)})‘𝐵) = (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)))
90 lbicc2 13536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
912, 4, 5, 90syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
92 oveq2 7460 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝐴))
93 iooid 13447 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐴) = ∅
9492, 93eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴(,)𝑥) = ∅)
95 itgeq1 25849 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝑥) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫∅((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫∅((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
97 itg0 25856 . . . . . . . . 9 ∫∅((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = 0
9896, 97eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = 0)
99 fveq2 6924 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
10098, 99oveq12d 7470 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) = (0 − (𝐹𝐴)))
101 df-neg 11528 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) = (0 − (𝐹𝐴))
102100, 101eqtr4di 2798 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)) = -(𝐹𝐴))
103 negex 11539 . . . . . 6 -(𝐹𝐴) ∈ V
104102, 85, 103fvmpt 7033 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
10591, 104syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (∫(𝐴(,)𝑥)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝑥)))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
10610, 89, 1053eqtr3d 2788 . . 3 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵)) = -(𝐹𝐴))
107106oveq2d 7468 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) + (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵))) = ((𝐹𝐵) + -(𝐹𝐴)))
10825, 7ffvelcdmd 7123 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
10933a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
110109, 47itgcl 25860 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
111108, 110pncan3d 11656 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) + (∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 − (𝐹𝐵))) = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
11225, 91ffvelcdmd 7123 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
113108, 112negsubd 11659 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) + -(𝐹𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
114107, 111, 1133eqtr3d 2788 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3489  wss 3977  c0 4353  {csn 4649  {cpr 4651   class class class wbr 5168  cmpt 5251   × cxp 5700  dom cdm 5702  ran crn 5703  wf 6573  cfv 6577  (class class class)co 7452  cc 11186  cr 11187  0cc0 11188   + caddc 11191  *cxr 11327  cle 11329  cmin 11525  -cneg 11526  (,)cioo 13419  [,]cicc 13422  TopOpenctopn 17502  topGenctg 17518  fldccnfld 21408  intcnt 23067   Cn ccn 23274   ×t ctx 23610  cnccncf 24942  volcvol 25538  𝐿1cibl 25692  citg 25693   D cdv 25939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5305  ax-sep 5319  ax-nul 5326  ax-pow 5385  ax-pr 5449  ax-un 7774  ax-inf2 9714  ax-cc 10508  ax-cnex 11244  ax-resscn 11245  ax-1cn 11246  ax-icn 11247  ax-addcl 11248  ax-addrcl 11249  ax-mulcl 11250  ax-mulrcl 11251  ax-mulcom 11252  ax-addass 11253  ax-mulass 11254  ax-distr 11255  ax-i2m1 11256  ax-1ne0 11257  ax-1rid 11258  ax-rnegex 11259  ax-rrecex 11260  ax-cnre 11261  ax-pre-lttri 11262  ax-pre-lttrn 11263  ax-pre-ltadd 11264  ax-pre-mulgt0 11265  ax-pre-sup 11266  ax-addf 11267
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3445  df-v 3491  df-sbc 3806  df-csb 3923  df-dif 3980  df-un 3982  df-in 3984  df-ss 3994  df-pss 3997  df-symdif 4273  df-nul 4354  df-if 4550  df-pw 4625  df-sn 4650  df-pr 4652  df-tp 4654  df-op 4656  df-uni 4934  df-int 4973  df-iun 5019  df-iin 5020  df-disj 5136  df-br 5169  df-opab 5231  df-mpt 5252  df-tr 5286  df-id 5595  df-eprel 5601  df-po 5609  df-so 5610  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5708  df-rel 5709  df-cnv 5710  df-co 5711  df-dm 5712  df-rn 5713  df-res 5714  df-ima 5715  df-pred 6336  df-ord 6402  df-on 6403  df-lim 6404  df-suc 6405  df-iota 6529  df-fun 6579  df-fn 6580  df-f 6581  df-f1 6582  df-fo 6583  df-f1o 6584  df-fv 6585  df-isom 6586  df-riota 7408  df-ov 7455  df-oprab 7456  df-mpo 7457  df-of 7718  df-ofr 7719  df-om 7908  df-1st 8034  df-2nd 8035  df-supp 8206  df-frecs 8326  df-wrecs 8357  df-recs 8431  df-rdg 8470  df-1o 8526  df-2o 8527  df-oadd 8530  df-omul 8531  df-er 8767  df-map 8890  df-pm 8891  df-ixp 8960  df-en 9008  df-dom 9009  df-sdom 9010  df-fin 9011  df-fsupp 9436  df-fi 9484  df-sup 9515  df-inf 9516  df-oi 9583  df-dju 9974  df-card 10012  df-acn 10015  df-pnf 11330  df-mnf 11331  df-xr 11332  df-ltxr 11333  df-le 11334  df-sub 11527  df-neg 11528  df-div 11954  df-nn 12300  df-2 12362  df-3 12363  df-4 12364  df-5 12365  df-6 12366  df-7 12367  df-8 12368  df-9 12369  df-n0 12560  df-z 12647  df-dec 12767  df-uz 12912  df-q 13024  df-rp 13068  df-xneg 13187  df-xadd 13188  df-xmul 13189  df-ioo 13423  df-ioc 13424  df-ico 13425  df-icc 13426  df-fz 13580  df-fzo 13724  df-fl 13860  df-mod 13938  df-seq 14071  df-exp 14131  df-hash 14398  df-cj 15166  df-re 15167  df-im 15168  df-sqrt 15302  df-abs 15303  df-clim 15552  df-rlim 15553  df-sum 15753  df-struct 17215  df-sets 17232  df-slot 17250  df-ndx 17262  df-base 17280  df-ress 17309  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17503  df-topn 17504  df-0g 17522  df-gsum 17523  df-topgen 17524  df-pt 17525  df-prds 17528  df-xrs 17583  df-qtop 17588  df-imas 17589  df-xps 17591  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18840  df-mulg 19129  df-cntz 19378  df-cmn 19845  df-psmet 21400  df-xmet 21401  df-met 21402  df-bl 21403  df-mopn 21404  df-fbas 21405  df-fg 21406  df-cnfld 21409  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22995  df-cld 23069  df-ntr 23070  df-cls 23071  df-nei 23148  df-lp 23186  df-perf 23187  df-cn 23277  df-cnp 23278  df-haus 23365  df-cmp 23437  df-tx 23612  df-hmeo 23805  df-fil 23896  df-fm 23988  df-flim 23989  df-flf 23990  df-xms 24372  df-ms 24373  df-tms 24374  df-cncf 24944  df-ovol 25539  df-vol 25540  df-mbf 25694  df-itg1 25695  df-itg2 25696  df-ibl 25697  df-itg 25698  df-0p 25745  df-limc 25942  df-dv 25943
This theorem is referenced by:  ftc2ditglem  26127  itgparts  26129  itgsubstlem  26130  itgpowd  26132  ftc2re  34596  lcmineqlem12  42026  intlewftc  42047  lhe4.4ex1a  44327  itgsin0pilem1  45899  itgcoscmulx  45918  itgsincmulx  45923  dirkeritg  46051  etransclem46  46229
  Copyright terms: Public domain W3C validator