Theorem cos0pilt1 26589

Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and π. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos0pilt1	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem cos0pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 16177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3		cospi 26529	. . 3 ⊢ (cos‘π) = -1
4		ioossicc 13470	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
5	4	sseli 3991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
6		0xr 11306	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		pire 26515	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
8	7	rexri 11317	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
9		0re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		pipos 26517	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
11	9, 7, 10	ltleii 11382	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
12		ubicc2 13502	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ π ∈ (0[,]π)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → π ∈ (0[,]π))
15		eliooord 13443	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
16	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 < π)
17	5, 14, 16	cosordlem 26587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘π) < (cos‘𝐴))
18	3, 17	eqbrtrrid 5184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → -1 < (cos‘𝐴))
19		2re 12338	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 7	remulcli 11275	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
21	20	rexri 11317	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
22		1le2 12473	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 2
23		lemulge12 12129	. . . . . 6 ⊢ (((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ π ∧ 1 ≤ 2)) → π ≤ (2 · π))
24	7, 19, 11, 22, 23	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ π ≤ (2 · π)
25		iooss2 13420	. . . . 5 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ* ∧ π ≤ (2 · π)) → (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π)))
26	21, 24, 25	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0(,)(2 · π))
27	26	sseli 3991	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28		cos02pilt1 26583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
29	27, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) < 1)
30		neg1rr 12379	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
31	30	rexri 11317	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ*
32		1re 11259	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	32	rexri 11317	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
34		elioo2 13425	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1)))
35	31, 33, 34	mp2an 692	. 2 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 1))
36	2, 18, 29, 35	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝐴) ∈ (-1(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  -cneg 11491  2c2 12319  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  cosccos 16097  πcpi 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by: (None)