Theorem ragflat2 29183

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.6 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
ragflat2.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat2.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ragflat2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ragflat2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		israg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
13	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mircl 29138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14		ragflat2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
15		ragflat2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	1, 9, 3, 2, 10, 4, 5, 11, 7	israg 29177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
17	15, 16	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
18		ragflat2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	1, 9, 3, 2, 10, 4, 6, 11, 7	israg 29177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
20	18, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 5, 9, 14, 17, 20	tgidinside 29039	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))
22	21	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
23	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mirinv 29143	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
24	22, 23	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14997  Basecbs 17392  distcds 17442  TarskiGcstrkg 28894  Itvcitv 28900  LineGclng 28901  cgrGccgrg 28978  pInvGcmir 29129  ∟Gcrag 29173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-trkgc 28915  df-trkgb 28916  df-trkgcb 28917  df-trkg 28920  df-cgrg 28979  df-mir 29130  df-rag 29174

This theorem is used by:  ragflat  29184  opphllem5  29232  opphllem6  29233