Theorem ragflat2 28849

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.6 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
ragflat2.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat2.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ragflat2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ragflat2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		israg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
13	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mircl 28807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14		ragflat2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
15		ragflat2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	1, 9, 3, 2, 10, 4, 5, 11, 7	israg 28843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
17	15, 16	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
18		ragflat2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	1, 9, 3, 2, 10, 4, 6, 11, 7	israg 28843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
20	18, 19	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 5, 9, 14, 17, 20	tgidinside 28717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))
22	21	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
23	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mirinv 28812	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
24	22, 23	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ⟨“cs3 14852  Basecbs 17228  distcds 17278  TarskiGcstrkg 28573  Itvcitv 28579  LineGclng 28580  cgrGccgrg 28656  pInvGcmir 28798  ∟Gcrag 28839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859  df-trkgc 28594  df-trkgb 28595  df-trkgcb 28596  df-trkg 28599  df-cgrg 28657  df-mir 28799  df-rag 28840

This theorem is referenced by:  ragflat  28850  opphllem5  28897  opphllem6  28898