Theorem mirmid 29288

Description: Point inversion preserves midpoints. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirmid.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
mirmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmid	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

Proof of Theorem mirmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
2		ismid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ismid.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		midcl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	midcl 29282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ismidb 29283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
12	1, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
13	12	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)))
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15		mirmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
16		mirmid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
17	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7, 10	mirmir2 29146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)))
18	13, 17	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)))
19	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7	mircl 29133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝑃)
20	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 8	mircl 29133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝑃)
21	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 10	mircl 29133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) ∈ 𝑃)
22	2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 9, 21	ismidb 29283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)) ↔ ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))))
23	18, 22	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  2c2 12397  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28893  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  pInvGcmir 29124  midGcmid 29277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-mid 29279

This theorem is used by:  lmiisolem  29301