Theorem mirmid 29143

Description: Point inversion preserves midpoints. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirmid.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
mirmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmid	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

Proof of Theorem mirmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
2		ismid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ismid.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		midcl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	midcl 29137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ismidb 29138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
12	1, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
13	12	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)))
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15		mirmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
16		mirmid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
17	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7, 10	mirmir2 29002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)))
18	13, 17	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)))
19	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7	mircl 28989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝑃)
20	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 8	mircl 28989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝑃)
21	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 10	mircl 28989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) ∈ 𝑃)
22	2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 9, 21	ismidb 29138	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)) ↔ ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))))
23	18, 22	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  2c2 12310  Basecbs 17291  distcds 17341  TarskiGcstrkg 28747  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28751  Itvcitv 28753  LineGclng 28754  pInvGcmir 28980  midGcmid 29132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-s1 14653  df-s2 14909  df-s3 14910  df-trkgc 28768  df-trkgb 28769  df-trkgcb 28770  df-trkgld 28772  df-trkg 28773  df-cgrg 28831  df-leg 28903  df-mir 28981  df-rag 29025  df-perpg 29027  df-mid 29134

This theorem is used by:  lmiisolem  29156