Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmid 26575
 Description: Point inversion preserves midpoints. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1 (𝜑𝐴𝑃)
midcl.2 (𝜑𝐵𝑃)
mirmid.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
mirmid.x (𝜑𝑀𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmid (𝜑 → ((𝑆𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

Proof of Theorem mirmid
StepHypRef Expression
1 eqidd 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
2 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
4 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 ismid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ismid.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
7 midcl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
8 midcl.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
9 eqid 2822 . . . . . 6 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8midcl 26569 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ismidb 26570 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
121, 11mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
1312fveq2d 6656 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)))
14 eqid 2822 . . . 4 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15 mirmid.x . . . 4 (𝜑𝑀𝑃)
16 mirmid.s . . . 4 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
172, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7, 10mirmir2 26466 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆𝐴)))
1813, 17eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆𝐴)))
192, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7mircl 26453 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑃)
202, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 8mircl 26453 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ 𝑃)
212, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 10mircl 26453 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) ∈ 𝑃)
222, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 9, 21ismidb 26570 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆𝐴)) ↔ ((𝑆𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))))
2318, 22mpbid 235 1 (𝜑 → ((𝑆𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  2c2 11680  Basecbs 16474  distcds 16565  TarskiGcstrkg 26222  DimTarskiG≥cstrkgld 26226  Itvcitv 26228  LineGclng 26229  pInvGcmir 26444  midGcmid 26564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26240  df-trkgb 26241  df-trkgcb 26242  df-trkgld 26244  df-trkg 26245  df-cgrg 26303  df-leg 26375  df-mir 26445  df-rag 26486  df-perpg 26488  df-mid 26566 This theorem is referenced by:  lmiisolem  26588
 Copyright terms: Public domain W3C validator