Theorem mirmid 28702

Description: Point inversion preserves midpoints. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirmid.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
mirmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmid	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

Proof of Theorem mirmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
2		ismid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ismid.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		midcl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	midcl 28696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ismidb 28697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
12	1, 11	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
13	12	fveq2d 6904	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)))
14		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15		mirmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
16		mirmid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
17	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7, 10	mirmir2 28593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)))
18	13, 17	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)))
19	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 7	mircl 28580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝑃)
20	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 8	mircl 28580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝑃)
21	2, 3, 4, 14, 9, 5, 15, 16, 10	mircl 28580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) ∈ 𝑃)
22	2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 9, 21	ismidb 28697	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))‘(𝑆‘𝐴)) ↔ ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))))
23	18, 22	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)(midG‘𝐺)(𝑆‘𝐵)) = (𝑆‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  2c2 12314  Basecbs 17208  distcds 17270  TarskiGcstrkg 28346  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28350  Itvcitv 28352  LineGclng 28353  pInvGcmir 28571  midGcmid 28691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9940  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-xnn0 12592  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-s1 14599  df-s2 14852  df-s3 14853  df-trkgc 28367  df-trkgb 28368  df-trkgcb 28369  df-trkgld 28371  df-trkg 28372  df-cgrg 28430  df-leg 28502  df-mir 28572  df-rag 28613  df-perpg 28615  df-mid 28693

This theorem is referenced by:  lmiisolem  28715