Theorem ragcol 28722

Description: The right angle property is independent of the choice of point on one side. Theorem 8.3 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
ragcol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragcol.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ragcol.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐷) ∨ 𝐵 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ragcol	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		israg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		ragcol.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		israg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		israg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
13	1, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9	mircl 28684	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14		ragcol.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 2994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16		ragcol.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐷) ∨ 𝐵 = 𝐷))
17	1, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9	mircgr 28680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐵 − 𝐶))
18	17	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
19		ragcol.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20	1, 10, 3, 2, 11, 4, 6, 5, 9	israg 28720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
21	19, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 10, 15, 16, 18, 21	lncgr 28592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23	1, 10, 3, 2, 11, 4, 7, 5, 9	israg 28720	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
24	22, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  cgrGccgrg 28533  pInvGcmir 28675  ∟Gcrag 28716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-mir 28676  df-rag 28717

This theorem is referenced by:  ragflat  28727  ragflat3  28729  ragperp  28740  footexALT  28741  footexlem2  28743  colperpexlem1  28753  mideulem2  28757  opphllem  28758