Theorem ragcol 28771

Description: The right angle property is independent of the choice of point on one side. Theorem 8.3 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
ragcol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragcol.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ragcol.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐷) ∨ 𝐵 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
ragcol	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		israg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		ragcol.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		israg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		israg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
13	1, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9	mircl 28733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14		ragcol.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16		ragcol.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐷) ∨ 𝐵 = 𝐷))
17	1, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9	mircgr 28729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐵 − 𝐶))
18	17	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
19		ragcol.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20	1, 10, 3, 2, 11, 4, 6, 5, 9	israg 28769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
21	19, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 10, 15, 16, 18, 21	lncgr 28641	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23	1, 10, 3, 2, 11, 4, 7, 5, 9	israg 28769	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 − 𝐶) = (𝐷 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
24	22, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ⟨“cs3 14765  Basecbs 17136  distcds 17186  TarskiGcstrkg 28499  Itvcitv 28505  LineGclng 28506  cgrGccgrg 28582  pInvGcmir 28724  ∟Gcrag 28765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-trkgc 28520  df-trkgb 28521  df-trkgcb 28522  df-trkg 28525  df-cgrg 28583  df-mir 28725  df-rag 28766

This theorem is referenced by:  ragflat  28776  ragflat3  28778  ragperp  28789  footexALT  28790  footexlem2  28792  colperpexlem1  28802  mideulem2  28806  opphllem  28807