MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footex 28476
Description: From a point 𝐢 outside of a line 𝐴, there exists a point π‘₯ on 𝐴 such that (𝐢𝐿π‘₯) is perpendicular to 𝐴. This point is unique, see foot 28477. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
foot.y (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
footex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯, βˆ’   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑃

Proof of Theorem footex
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑑 𝑝 π‘ž 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.d . . . . . . . . 9 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 isperp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 isperp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
12 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)
13 foot.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1413ad5antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1514ad6antr 733 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
17 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
18 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
22 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))
2322eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐢) = (𝑦 βˆ’ 𝑑))
241, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 16, 17, 21, 23midexlem 28447 . . . . . . . 8 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))
259ad5antr 731 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
26 isperp.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2726ad5antr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2827ad9antr 739 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2916adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
30 foot.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
3130ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
3231ad10antr 741 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
34 simp-7r 787 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
3635ad5antr 731 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
37 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
3837ad10antr 741 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
40 simp-4r 781 . . . . . . . . . 10 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
4140ad5antr 731 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
42 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
4319ad5antr 731 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
44 simp-7r 787 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
45 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
46 simp-11r 795 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
4746simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘))
4847adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘))
4946simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
51 simp-9r 791 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢)))
5251simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦))
5352adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦))
5451simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))
56 simp-7r 787 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦))
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦))
58 simp-5r 783 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝)))
5958simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§))
6158simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))
6261adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))
63 simp-5r 783 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
64 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž)))
6564simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž))
6665adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž))
6764simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))
6867adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))
69 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑))
7022adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))
71 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))
721, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71footexlem1 28474 . . . . . . . 8 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
731, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71footexlem2 28475 . . . . . . . 8 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
7424, 72, 73reximssdv 3166 . . . . . . 7 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
75 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
76 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)
77 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
781, 2, 3, 4, 5, 10, 75, 76, 77mircl 28416 . . . . . . . 8 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž) ∈ 𝑃)
791, 2, 3, 10, 78, 20, 20, 15axtgsegcon 28219 . . . . . . 7 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢)))
8074, 79r19.29a 3156 . . . . . 6 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
811, 2, 3, 9, 40, 19, 19, 35axtgsegcon 28219 . . . . . 6 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž)))
8280, 81r19.29a 3156 . . . . 5 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
83 simplr 766 . . . . . 6 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
841, 2, 3, 8, 34, 18, 18, 83axtgsegcon 28219 . . . . 5 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝)))
8582, 84r19.29a 3156 . . . 4 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
86 eqid 2726 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)
87 simplr 766 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
88 simp-5r 783 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
89 simprr 770 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))
901, 2, 3, 4, 5, 7, 86, 87, 14, 88, 89midexlem 28447 . . . 4 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦))
9185, 90r19.29a 3156 . . 3 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
926ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
93 simpllr 773 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
9413ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
951, 2, 3, 92, 37, 93, 93, 94axtgsegcon 28219 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢)))
9691, 95r19.29a 3156 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
971, 3, 4, 6, 26tgisline 28382 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
9896, 97r19.29vva 3207 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28182  Itvcitv 28188  LineGclng 28189  pInvGcmir 28407  βŸ‚Gcperpg 28450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 28203  df-trkgb 28204  df-trkgcb 28205  df-trkg 28208  df-cgrg 28266  df-leg 28338  df-mir 28408  df-rag 28449  df-perpg 28451
This theorem is referenced by:  foot  28477  colperpexlem3  28487  opphl  28509  lmieu  28539  trgcopy  28559
  Copyright terms: Public domain W3C validator