Theorem footex 28648

Description: From a point 𝐶 outside of a line 𝐴, there exists a point 𝑥 on 𝐴 such that (𝐶𝐿𝑥) is perpendicular to 𝐴. This point is unique, see foot 28649. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥, −   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
13		foot.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	ad5antr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
18		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
24	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 16, 17, 21, 23	midexlem 28619	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
25	9	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad5antr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	27	ad9antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
29	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
30		foot.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
32	31	ad10antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
34		simp-7r 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
36	35	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
38	37	ad10antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
40		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
41	40	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
43	19	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
44		simp-7r 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
45		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
46		simp-11r 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
47	46	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
49	46	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
51		simp-9r 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
52	51	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
54	51	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
56		simp-7r 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
58		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
59	58	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
61	58	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
63		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
64		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
65	64	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
67	64	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
69		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
70	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
71		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
72	1, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71	footexlem1 28646	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
73	1, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71	footexlem2 28647	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
74	24, 72, 73	reximssdv 3151	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
75		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
76		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
77		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
78	1, 2, 3, 4, 5, 10, 75, 76, 77	mircl 28588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
79	1, 2, 3, 10, 78, 20, 20, 15	axtgsegcon 28391	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶)))
80	74, 79	r19.29a 3141	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
81	1, 2, 3, 9, 40, 19, 19, 35	axtgsegcon 28391	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
82	80, 81	r19.29a 3141	. . . . 5 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
83		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
84	1, 2, 3, 8, 34, 18, 18, 83	axtgsegcon 28391	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
85	82, 84	r19.29a 3141	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
86		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
87		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
88		simp-5r 785	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
89		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
90	1, 2, 3, 4, 5, 7, 86, 87, 14, 88, 89	midexlem 28619	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
91	85, 90	r19.29a 3141	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
92	6	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
93		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
94	13	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
95	1, 2, 3, 92, 37, 93, 93, 94	axtgsegcon 28391	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
96	91, 95	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
97	1, 3, 4, 6, 26	tgisline 28554	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
98	96, 97	r19.29vva 3197	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  pInvGcmir 28579  ⟂Gcperpg 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-leg 28510  df-mir 28580  df-rag 28621  df-perpg 28623

This theorem is referenced by:  foot  28649  colperpexlem3  28659  opphl  28681  lmieu  28711  trgcopy  28731