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Theorem footex 26037
 Description: Lemma for foot 26038: existence part. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (𝜑𝐶𝑃)
foot.y (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
footex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
3 isperp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isperp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1211ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 eqid 2825 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
14 foot.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝑃)
1514ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐶𝑃)
1615ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐶𝑃)
1716ad6antr 732 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐶𝑃)
1817ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑃)
19 simplr 785 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑑𝑃)
20 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦𝑃)
2120ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑦𝑃)
2221ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑦𝑃)
2322ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑃)
24 simprr 789 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))
2524eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
261, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25midexlem 26011 . . . . . . . 8 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
2712adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2823adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑃)
29 simp-6r 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑧𝑃)
3029adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑃)
31 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝑃)
32 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑝𝑃)
3332ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑝𝑃)
3433adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑃)
35 simp-5r 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
3635simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))
3736eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑝) = (𝑦 𝑧))
3837adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑝) = (𝑦 𝑧))
39 simp-7r 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
4039adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
41 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑃)
4241ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑎𝑃)
4342ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎𝑃)
4443ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑎𝑃)
4544ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑃)
46 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑃)
4746ad10antr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑃)
48 simp-11r 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
4948simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑏)
5049necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑎)
51 simp-9r 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
5251simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
531, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52btwnlng3 25940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑏𝐿𝑎))
541, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53lncom 25941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
5548simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
5654, 55eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝐴)
5756adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝐴)
58 foot.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
5958ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ¬ 𝐶𝐴)
6059ad10antr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
6160adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
62 nelne2 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑦𝐶)
6357, 61, 62syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝐶)
6463necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑦)
6540, 64eqnetrrd 3067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦)
66 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
671, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirinv 25985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) = 𝑦𝑝 = 𝑦))
6867necon3bid 3043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦𝑝𝑦))
6965, 68mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑦)
7069necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑝)
711, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70tgcgrneq 25802 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑧)
7271necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑦)
73 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
74 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑞𝑃)
7574adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑃)
76 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑧𝑃)
77 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑞𝑃)
781, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77mircl 25980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
7978ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
8018adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑃)
81 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑𝑃)
821, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirbtwn 25977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
8340oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐼𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
8482, 83eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
85 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
8685simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
8786adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87tgbtwnouttr2 25814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
891, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88tgbtwncom 25807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
90 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
91 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9251simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
9339oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
9492, 93eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
951, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23israg 26016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑎 𝑦) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))))
9694, 95mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
9785simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))
981, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑎) = (𝐶 𝑎))
9997, 98eqtr2d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐶 𝑎) = (𝑦 𝑞))
1001, 3, 4, 12, 45, 47, 49tglinerflx1 25952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
101100, 55eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝐴)
102 nelne2 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑎𝐶)
103101, 60, 102syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝐶)
104103necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑎)
1051, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104tgcgrneq 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑞)
106105necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑞𝑦)
1071, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86tgbtwncom 25807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
10835simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
1091, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑞 𝑦) = (𝑎 𝑦))
1101, 2, 3, 12, 74, 45axtgcgrrflx 25781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑞 𝑎) = (𝑎 𝑞))
11197eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑎) = (𝑦 𝑞))
1121, 2, 3, 12, 74, 23, 33, 45, 23, 29, 45, 74, 106, 107, 108, 109, 37, 110, 111axtg5seg 25784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑝 𝑎) = (𝑧 𝑞))
1131, 2, 3, 12, 33, 45, 29, 74, 112tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑝) = (𝑞 𝑧))
1141, 2, 3, 12, 23, 33, 23, 29, 37tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑝 𝑦) = (𝑧 𝑦))
1151, 2, 91, 12, 45, 33, 23, 74, 29, 23, 113, 114, 111trgcgr 25835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩)
1161, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23, 91, 74, 29, 23, 96, 115ragcgr 26026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1171, 2, 3, 4, 5, 12, 74, 29, 23, 116ragcom 26017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1181, 2, 3, 4, 5, 12, 23, 29, 74israg 26016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))))
119117, 118mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
120119adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
12125adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
122 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))
123 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
1241, 2, 3, 4, 5, 27, 73, 13, 75, 79, 28, 80, 81, 30, 31, 89, 90, 120, 121, 122, 123krippen 26010 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑧𝐼𝑥))
1251, 3, 4, 27, 30, 28, 31, 72, 124btwnlng3 25940 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑧𝐿𝑦))
1261, 3, 4, 27, 28, 30, 31, 71, 125lncom 25941 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
127 isperp.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
128127ad5antr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
129128ad9antr 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
13045adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑃)
13192adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
132131eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 𝑦))
133103adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝐶)
1341, 2, 3, 27, 130, 80, 130, 28, 132, 133tgcgrneq 25802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑦)
135108adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
1361, 3, 4, 27, 130, 28, 30, 134, 135btwnlng3 25940 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
137101adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝐴)
1381, 3, 4, 27, 130, 28, 134, 134, 129, 137, 57tglinethru 25955 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑦))
139136, 138eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝐴)
1401, 3, 4, 27, 28, 30, 71, 71, 129, 57, 139tglinethru 25955 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑧))
141126, 140eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐴)
142 nelne2 3096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑥𝐶)
143141, 61, 142syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐶)
144143necomd 3054 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑥)
1451, 3, 4, 27, 80, 31, 144tgelrnln 25949 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
1461, 3, 4, 27, 80, 31, 144tglinerflx2 25953 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
147146, 141elind 4027 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((𝐶𝐿𝑥) ∩ 𝐴))
1481, 3, 4, 27, 80, 31, 144tglinerflx1 25952 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
14927adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
150130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝑃)
15128adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑃)
15234adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑝𝑃)
15380adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶𝑃)
154 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 = 𝐶)
155 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
156 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 = 𝑎)
157154, 155, 156s3eqd 13992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ = ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩)
15831adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥𝑃)
15930adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑃)
160106adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑦)
1611, 2, 3, 27, 28, 75, 28, 79, 120tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) 𝑦))
1621, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 73, 75mircgr 25976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)) = (𝑧 𝑞))
163162eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝑞) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
1641, 2, 3, 27, 30, 75, 30, 79, 163tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) 𝑧))
165 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑧))
1661, 2, 3, 27, 75, 28, 80, 79, 28, 81, 30, 30, 160, 89, 90, 161, 121, 164, 165axtg5seg 25784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 𝑧) = (𝑑 𝑧))
1671, 2, 3, 27, 80, 30, 81, 30, 166tgcgrcomlr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝐶) = (𝑧 𝑑))
168123oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝑑) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
169167, 168eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝐶) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
1701, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 31, 80israg 26016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑧 𝐶) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
171169, 170mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
172171adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
17372adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑦)
174173, 155neeqtrd 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑥)
175132adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 𝑦))
176133adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝐶)
1771, 2, 3, 149, 150, 153, 150, 151, 175, 176tgcgrneq 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝑦)
178177necomd 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑎)
179136adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
1801, 3, 4, 149, 151, 150, 159, 178, 179lncom 25941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑎))
181155oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐿𝑎) = (𝑥𝐿𝑎))
182180, 181eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎))
183182orcd 904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎) ∨ 𝑥 = 𝑎))
1841, 2, 3, 4, 5, 149, 159, 158, 153, 150, 172, 174, 183ragcol 26018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1851, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 158, 153, 184ragcom 26017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
186157, 185eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18764adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶𝑦)
1881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 84tgbtwncom 25807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
1891, 4, 3, 27, 28, 34, 80, 188btwncolg3 25876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
190189adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
1911, 2, 3, 4, 5, 149, 153, 151, 150, 152, 186, 187, 190ragcol 26018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑝𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1921, 2, 3, 4, 5, 149, 152, 151, 150, 191ragcom 26017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑦𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19396ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1941, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 151, 152, 192, 193ragflat 26023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑝)
19570adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑝)
196195neneqd 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑝)
197194, 196pm2.65da 851 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
198197neqned 3006 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑥)
199123oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
200121, 199eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
2011, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80israg 26016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 𝐶) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
202200, 201mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2031, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80, 202ragcom 26017 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐶𝑥𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2041, 2, 3, 4, 27, 145, 129, 147, 148, 57, 144, 198, 203ragperp 26036 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
205141, 204jca 507 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴))
206205ex 403 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ((𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)))
207206reximdv2 3222 . . . . . . . 8 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (∃𝑥𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴))
20826, 207mpd 15 . . . . . . 7 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2091, 2, 3, 11, 78, 22, 22, 17axtgsegcon 25783 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑑𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶)))
210208, 209r19.29a 3288 . . . . . 6 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2111, 2, 3, 10, 32, 21, 21, 44axtgsegcon 25783 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑞𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
212210, 211r19.29a 3288 . . . . 5 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
213 simplr 785 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝𝑃)
2141, 2, 3, 9, 43, 20, 20, 213axtgsegcon 25783 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
215212, 214r19.29a 3288 . . . 4 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
216 simplr 785 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑦𝑃)
217 simprr 789 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
2181, 2, 3, 4, 5, 8, 66, 216, 16, 42, 217midexlem 26011 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑝𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
219215, 218r19.29a 3288 . . 3 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2201, 2, 3, 7, 46, 41, 41, 15axtgsegcon 25783 . . 3 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑦𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
221219, 220r19.29a 3288 . 2 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2221, 3, 4, 6, 127tgisline 25946 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
223221, 222r19.29vva 3291 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118   class class class wbr 4875  ran crn 5347  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ⟨“cs3 13970  Basecbs 16229  distcds 16321  TarskiGcstrkg 25749  Itvcitv 25755  LineGclng 25756  cgrGccgrg 25829  pInvGcmir 25971  ∟Gcrag 26012  ⟂Gcperpg 26014 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-concat 13638  df-s1 13663  df-s2 13976  df-s3 13977  df-trkgc 25767  df-trkgb 25768  df-trkgcb 25769  df-trkg 25772  df-cgrg 25830  df-leg 25902  df-mir 25972  df-rag 26013  df-perpg 26015 This theorem is referenced by:  foot  26038  colperpexlem3  26048  opphl  26070  lmieu  26100  trgcopy  26120
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