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Theorem footex 26421
Description: From a point 𝐶 outside of a line 𝐴, there exists a point 𝑥 on 𝐴 such that (𝐶𝐿𝑥) is perpendicular to 𝐴. This point is unique, see foot 26422. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (𝜑𝐶𝑃)
foot.y (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
footex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
3 isperp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isperp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad5antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 eqid 2826 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
13 foot.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝑃)
1413ad5antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐶𝑃)
1514ad6antr 732 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐶𝑃)
1615ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑃)
17 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑑𝑃)
18 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦𝑃)
1918ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑦𝑃)
2019ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑦𝑃)
2120ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑃)
22 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))
2322eqcomd 2832 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
241, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 16, 17, 21, 23midexlem 26392 . . . . . . . 8 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
259ad5antr 730 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26 isperp.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
2726ad5antr 730 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2827ad9antr 738 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2916adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑃)
30 foot.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
3130ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ¬ 𝐶𝐴)
3231ad10antr 740 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
34 simp-7r 786 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎𝑃)
3534ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑎𝑃)
3635ad5antr 730 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑃)
37 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑃)
3837ad10antr 740 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑃)
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑏𝑃)
40 simp-4r 780 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑝𝑃)
4140ad5antr 730 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑃)
42 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝑃)
4319ad5antr 730 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑃)
44 simp-7r 786 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑃)
45 simpllr 772 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑𝑃)
46 simp-11r 794 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
4746simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
4946simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑏)
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑏)
51 simp-9r 790 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
5251simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
5451simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
56 simp-7r 786 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
58 simp-5r 782 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
5958simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
6158simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))
6261adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))
63 simp-5r 782 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑃)
64 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
6564simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
6764simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))
6867adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))
69 simplrl 773 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
7022adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))
71 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
721, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71footexlem1 26419 . . . . . . . 8 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐴)
731, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71footexlem2 26420 . . . . . . . 8 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
7424, 72, 73reximssdv 3281 . . . . . . 7 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
75 simp-4r 780 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑧𝑃)
76 eqid 2826 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
77 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑞𝑃)
781, 2, 3, 4, 5, 10, 75, 76, 77mircl 26361 . . . . . . . 8 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
791, 2, 3, 10, 78, 20, 20, 15axtgsegcon 26164 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑑𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶)))
8074, 79r19.29a 3294 . . . . . 6 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
811, 2, 3, 9, 40, 19, 19, 35axtgsegcon 26164 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑞𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
8280, 81r19.29a 3294 . . . . 5 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
83 simplr 765 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝𝑃)
841, 2, 3, 8, 34, 18, 18, 83axtgsegcon 26164 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
8582, 84r19.29a 3294 . . . 4 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
86 eqid 2826 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
87 simplr 765 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑦𝑃)
88 simp-5r 782 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑎𝑃)
89 simprr 769 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
901, 2, 3, 4, 5, 7, 86, 87, 14, 88, 89midexlem 26392 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑝𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
9185, 90r19.29a 3294 . . 3 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
926ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
93 simpllr 772 . . . 4 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑃)
9413ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐶𝑃)
951, 2, 3, 92, 37, 93, 93, 94axtgsegcon 26164 . . 3 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑦𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
9691, 95r19.29a 3294 . 2 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
971, 3, 4, 6, 26tgisline 26327 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
9896, 97r19.29vva 3341 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144   class class class wbr 5063  ran crn 5555  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  distcds 16564  TarskiGcstrkg 26130  Itvcitv 26136  LineGclng 26137  pInvGcmir 26352  ⟂Gcperpg 26395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-s2 14200  df-s3 14201  df-trkgc 26148  df-trkgb 26149  df-trkgcb 26150  df-trkg 26153  df-cgrg 26211  df-leg 26283  df-mir 26353  df-rag 26394  df-perpg 26396
This theorem is referenced by:  foot  26422  colperpexlem3  26432  opphl  26454  lmieu  26484  trgcopy  26504
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