Theorem footex 28795

Description: From a point 𝐶 outside of a line 𝐴, there exists a point 𝑥 on 𝐴 such that (𝐶𝐿𝑥) is perpendicular to 𝐴. This point is unique, see foot 28796. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥, −   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
13		foot.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	ad5antr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
18		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
24	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 16, 17, 21, 23	midexlem 28766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
25	9	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad5antr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	27	ad9antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
29	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
30		foot.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
32	31	ad10antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
34		simp-7r 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
36	35	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
38	37	ad10antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
40		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
41	40	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
43	19	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
44		simp-7r 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
45		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
46		simp-11r 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
47	46	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
49	46	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
51		simp-9r 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
52	51	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
54	51	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
56		simp-7r 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
58		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
59	58	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
61	58	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
63		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
64		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
65	64	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
67	64	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
69		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
70	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
71		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
72	1, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71	footexlem1 28793	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
73	1, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71	footexlem2 28794	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
74	24, 72, 73	reximssdv 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
75		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
76		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
77		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
78	1, 2, 3, 4, 5, 10, 75, 76, 77	mircl 28735	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
79	1, 2, 3, 10, 78, 20, 20, 15	axtgsegcon 28538	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶)))
80	74, 79	r19.29a 3144	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
81	1, 2, 3, 9, 40, 19, 19, 35	axtgsegcon 28538	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
82	80, 81	r19.29a 3144	. . . . 5 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
83		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
84	1, 2, 3, 8, 34, 18, 18, 83	axtgsegcon 28538	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
85	82, 84	r19.29a 3144	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
86		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
87		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
88		simp-5r 785	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
89		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
90	1, 2, 3, 4, 5, 7, 86, 87, 14, 88, 89	midexlem 28766	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
91	85, 90	r19.29a 3144	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
92	6	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
93		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
94	13	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
95	1, 2, 3, 92, 37, 93, 93, 94	axtgsegcon 28538	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
96	91, 95	r19.29a 3144	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
97	1, 3, 4, 6, 26	tgisline 28701	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
98	96, 97	r19.29vva 3196	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  distcds 17188  TarskiGcstrkg 28501  Itvcitv 28507  LineGclng 28508  pInvGcmir 28726  ⟂Gcperpg 28769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14522  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28522  df-trkgb 28523  df-trkgcb 28524  df-trkg 28527  df-cgrg 28585  df-leg 28657  df-mir 28727  df-rag 28768  df-perpg 28770

This theorem is referenced by:  foot  28796  colperpexlem3  28806  opphl  28828  lmieu  28858  trgcopy  28878