Theorem footex 29056

Description: From a point 𝐶 outside of a line 𝐴, there exists a point 𝑥 on 𝐴 such that (𝐶𝐿𝑥) is perpendicular to 𝐴. This point is unique, see foot 29057. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥, −   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
13		foot.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	ad5antr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	ad6antr 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
18		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
24	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 16, 17, 21, 23	midexlem 29024	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
25	9	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad5antr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	27	ad9antr 755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
29	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
30		foot.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
32	31	ad10antr 757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
34		simp-7r 802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
36	35	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
38	37	ad10antr 757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
40		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
41	40	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
43	19	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
44		simp-7r 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
45		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
46		simp-11r 810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
47	46	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
49	46	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
51		simp-9r 806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
52	51	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
54	51	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
56		simp-7r 802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
58		simp-5r 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
59	58	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
61	58	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
63		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
64		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
65	64	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
66	65	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
67	64	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
68	67	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
69		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
70	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
71		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
72	1, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71	footexlem1 29054	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
73	1, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71	footexlem2 29055	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
74	24, 72, 73	reximssdv 3185	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
75		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
76		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
77		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
78	1, 2, 3, 4, 5, 10, 75, 76, 77	mircl 28993	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
79	1, 2, 3, 10, 78, 20, 20, 15	axtgsegcon 28788	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶)))
80	74, 79	r19.29a 3175	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
81	1, 2, 3, 9, 40, 19, 19, 35	axtgsegcon 28788	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
82	80, 81	r19.29a 3175	. . . . 5 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
83		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
84	1, 2, 3, 8, 34, 18, 18, 83	axtgsegcon 28788	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
85	82, 84	r19.29a 3175	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
86		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
87		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
88		simp-5r 798	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
89		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
90	1, 2, 3, 4, 5, 7, 86, 87, 14, 88, 89	midexlem 29024	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
91	85, 90	r19.29a 3175	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
92	6	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
93		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
94	13	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
95	1, 2, 3, 92, 37, 93, 93, 94	axtgsegcon 28788	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
96	91, 95	r19.29a 3175	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
97	1, 3, 4, 6, 26	tgisline 28955	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
98	96, 97	r19.29vva 3227	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  distcds 17345  TarskiGcstrkg 28751  Itvcitv 28757  LineGclng 28758  pInvGcmir 28984  ⟂Gcperpg 29030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-hash 14389  df-word 14573  df-concat 14630  df-s1 14657  df-s2 14913  df-s3 14914  df-trkgc 28772  df-trkgb 28773  df-trkgcb 28774  df-trkg 28777  df-cgrg 28835  df-leg 28907  df-mir 28985  df-rag 29029  df-perpg 29031

This theorem is used by:  foot  29057  colperpexlem3  29068  opphl  29090  lmieu  29148  trgcopy  29170  prlngex  29260  prlngmid2  29270