MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footex 28543
Description: From a point 𝐢 outside of a line 𝐴, there exists a point π‘₯ on 𝐴 such that (𝐢𝐿π‘₯) is perpendicular to 𝐴. This point is unique, see foot 28544. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
foot.y (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
footex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯, βˆ’   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑃

Proof of Theorem footex
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑑 𝑝 π‘ž 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.d . . . . . . . . 9 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 isperp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 isperp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
12 eqid 2727 . . . . . . . . 9 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)
13 foot.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1413ad5antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1514ad6antr 734 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
17 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
18 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
22 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))
2322eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐢) = (𝑦 βˆ’ 𝑑))
241, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 16, 17, 21, 23midexlem 28514 . . . . . . . 8 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))
259ad5antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
26 isperp.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2726ad5antr 732 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2827ad9antr 740 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
2916adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
30 foot.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
3231ad10antr 742 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
34 simp-7r 788 . . . . . . . . . . 11 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
3635ad5antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
3837ad10antr 742 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
3938adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
40 simp-4r 782 . . . . . . . . . 10 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
4140ad5antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
42 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
4319ad5antr 732 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
44 simp-7r 788 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
45 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
46 simp-11r 796 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
4746simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘))
4847adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘))
4946simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
51 simp-9r 792 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢)))
5251simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦))
5352adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦))
5451simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))
5554adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))
56 simp-7r 788 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦))
5756adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦))
58 simp-5r 784 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝)))
5958simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§))
6158simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))
6261adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))
63 simp-5r 784 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
64 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž)))
6564simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž))
6665adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž))
6764simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))
6867adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))
69 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑))
7022adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))
71 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))
721, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71footexlem1 28541 . . . . . . . 8 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
731, 2, 3, 4, 25, 28, 29, 33, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 48, 50, 53, 55, 57, 60, 62, 63, 66, 68, 69, 70, 71footexlem2 28542 . . . . . . . 8 (((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜πΆ))) β†’ (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
7424, 72, 73reximssdv 3168 . . . . . . 7 ((((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
75 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
76 eqid 2727 . . . . . . . . 9 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)
77 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝑃)
781, 2, 3, 4, 5, 10, 75, 76, 77mircl 28483 . . . . . . . 8 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž) ∈ 𝑃)
791, 2, 3, 10, 78, 20, 20, 15axtgsegcon 28286 . . . . . . 7 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘§)β€˜π‘ž)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑑) = (𝑦 βˆ’ 𝐢)))
8074, 79r19.29a 3158 . . . . . 6 ((((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) ∧ π‘ž ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
811, 2, 3, 9, 40, 19, 19, 35axtgsegcon 28286 . . . . . 6 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘πΌπ‘ž) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘ž) = (𝑦 βˆ’ π‘Ž)))
8280, 81r19.29a 3158 . . . . 5 ((((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
83 simplr 767 . . . . . 6 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
841, 2, 3, 8, 34, 18, 18, 83axtgsegcon 28286 . . . . 5 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘ŽπΌπ‘§) ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = (𝑦 βˆ’ 𝑝)))
8582, 84r19.29a 3158 . . . 4 ((((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
86 eqid 2727 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)
87 simplr 767 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
88 simp-5r 784 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
89 simprr 771 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))
901, 2, 3, 4, 5, 7, 86, 87, 14, 88, 89midexlem 28514 . . . 4 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘¦))
9185, 90r19.29a 3158 . . 3 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
926ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
93 simpllr 774 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
9413ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
951, 2, 3, 92, 37, 93, 93, 94axtgsegcon 28286 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (π‘Ž βˆ’ 𝑦) = (π‘Ž βˆ’ 𝐢)))
9691, 95r19.29a 3158 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
971, 3, 4, 6, 26tgisline 28449 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴 = (π‘ŽπΏπ‘) ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
9896, 97r19.29vva 3209 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150  ran crn 5681  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  distcds 17247  TarskiGcstrkg 28249  Itvcitv 28255  LineGclng 28256  pInvGcmir 28474  βŸ‚Gcperpg 28517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-oadd 8495  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-s2 14837  df-s3 14838  df-trkgc 28270  df-trkgb 28271  df-trkgcb 28272  df-trkg 28275  df-cgrg 28333  df-leg 28405  df-mir 28475  df-rag 28516  df-perpg 28518
This theorem is referenced by:  foot  28544  colperpexlem3  28554  opphl  28576  lmieu  28606  trgcopy  28626
  Copyright terms: Public domain W3C validator