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Theorem hypcgrlem2 28040
Description: Lemma for hypcgr 28041, case where triangles share one vertex 𝐡. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hypcgr.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hypcgr.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hypcgr.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
hypcgr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hypcgr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
hypcgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hypcgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hypcgr.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
hypcgr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
hypcgr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
hypcgr.4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
hypcgrlem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
hypcgrlem2.s 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem2
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hypcgr.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hypcgr.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hypcgr.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
76adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
8 hypcgr.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 hypcgr.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 hypcgr.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1312adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
14 eqid 2732 . . . . 5 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
15 eqid 2732 . . . . 5 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
17 hypcgr.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1817adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
191, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18mircl 27901 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) ∈ 𝑃)
20 hypcgr.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2120adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
22 hypcgr.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
2322adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
24 eqidd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·))
25 hypcgrlem2.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐡 = 𝐸)
271, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 21mirinv 27906 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ) = 𝐸 ↔ 𝐡 = 𝐸))
2826, 27mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ) = 𝐸)
2928eqcomd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐸 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ))
30 hypcgr.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
321, 2, 3, 5, 7, 13, 31midcom 28022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢))
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡)
3432, 33eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) = 𝐡)
351, 2, 3, 5, 7, 31, 13, 15, 11ismidb 28018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ) ↔ (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) = 𝐡))
3634, 35mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ))
3724, 29, 36s3eqd 14811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)πΈπΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)β€βŸ©)
38 hypcgr.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
3938adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
401, 2, 3, 14, 15, 5, 18, 21, 31, 39, 16, 11mirrag 27941 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
4137, 40eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)πΈπΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
42 hypcgr.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
4342adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
441, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18, 21miriso 27910 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
4528oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐸))
4643, 44, 453eqtr2d 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐸))
4726oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐢))
48 eqid 2732 . . . 4 ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡)) = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
49 eqidd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐢)
501, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 21, 13, 23, 41, 46, 47, 26, 48, 49hypcgrlem1 28039 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐢))
5136oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐢) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)))
521, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18, 31miriso 27910 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
5350, 51, 523eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
544ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
556ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
568ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5710ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
5812ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
5917ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
6020ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6130ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
6222ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6338ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6442ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
65 hypcgr.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
6665ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
6725ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐡 = 𝐸)
68 eqid 2732 . . . 4 ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)) = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
69 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 = 𝐹)
701, 2, 3, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69hypcgrlem1 28039 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
714ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
726ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
738ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7410ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7512ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76 hypcgrlem2.s . . . . . 6 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
7730ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
781, 2, 3, 71, 72, 75, 77midcl 28017 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ 𝑃)
79 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡)
801, 3, 14, 71, 78, 74, 79tgelrnln 27870 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
8117ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
821, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81lmicl 28026 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜π·) ∈ 𝑃)
8320ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
841, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 83lmicl 28026 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ 𝑃)
851, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 77lmicl 28026 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑃)
8622ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
871, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80lmimot 28038 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝑆 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
8838ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
891, 2, 3, 14, 15, 71, 81, 83, 77, 87, 88motrag 27948 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œ(π‘†β€˜π·)(π‘†β€˜πΈ)(π‘†β€˜πΉ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
9042ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
911, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81, 83lmiiso 28037 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
9290, 91eqtr4d 2775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))
9365ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
941, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 83, 77lmiiso 28037 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((π‘†β€˜πΈ) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
9593, 94eqtr4d 2775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = ((π‘†β€˜πΈ) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)))
961, 3, 14, 71, 78, 74, 79tglinerflx2 27874 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
971, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 74, 96lmicinv 28033 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜π΅) = 𝐡)
9825ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 = 𝐸)
9998fveq2d 6892 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜π΅) = (π‘†β€˜πΈ))
10097, 99eqtr3d 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 = (π‘†β€˜πΈ))
101 eqid 2732 . . . . 5 ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡)) = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
1021, 2, 3, 71, 72, 75, 77midcom 28022 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢))
1031, 3, 14, 71, 78, 74, 79tglinerflx1 27873 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
104102, 103eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
105 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 β‰  𝐹)
106105necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐹 β‰  𝐢)
1071, 3, 14, 71, 77, 75, 106tgelrnln 27870 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
1081, 2, 3, 71, 72, 75, 77midbtwn 28019 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (𝐢𝐼𝐹))
1091, 2, 3, 71, 75, 78, 77, 108tgbtwncom 27728 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (𝐹𝐼𝐢))
1101, 3, 14, 71, 77, 75, 78, 106, 109btwnlng1 27859 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢))
111103, 110elind 4193 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∩ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢)))
1121, 3, 14, 71, 77, 75, 106tglinerflx2 27874 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 ∈ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢))
11379necomd 2996 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 β‰  (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
1144ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
11512ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11630ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1176ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
118 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
119118eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐢)
1201, 2, 3, 114, 117, 115, 116, 119midcgr 28020 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
121120eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
1221, 2, 3, 114, 115, 116, 115, 121axtgcgrid 27703 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐢 = 𝐹)
123122ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) β†’ (𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β†’ 𝐢 = 𝐹))
124123necon3d 2961 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) β†’ (𝐢 β‰  𝐹 β†’ 𝐢 β‰  (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)))
125124imp 407 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 β‰  (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
12698eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐸 = 𝐡)
127 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
1281, 2, 3, 71, 72, 75, 77, 15, 78ismidb 28018 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐹 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ) ↔ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)))
129127, 128mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐹 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ))
130126, 129oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐹) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ)))
13193, 130eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ)))
1321, 2, 3, 14, 15, 71, 74, 78, 75israg 27937 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (βŸ¨β€œπ΅(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ))))
133131, 132mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΅(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1341, 2, 3, 14, 71, 80, 107, 111, 96, 112, 113, 125, 133ragperp 27957 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢))
135134orcd 871 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢) ∨ 𝐹 = 𝐢))
1361, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 77, 75islmib 28027 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢 = (π‘†β€˜πΉ) ↔ ((𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∧ (((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢) ∨ 𝐹 = 𝐢))))
137104, 135, 136mpbir2and 711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 = (π‘†β€˜πΉ))
1381, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 75, 82, 84, 85, 86, 89, 92, 95, 100, 101, 137hypcgrlem1 28039 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)))
1391, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81, 77lmiiso 28037 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
140138, 139eqtrd 2772 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
14170, 140pm2.61dane 3029 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
14253, 141pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  2c2 12263  βŸ¨β€œcs3 14789  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27667  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27671  Itvcitv 27673  LineGclng 27674  pInvGcmir 27892  βˆŸGcrag 27933  βŸ‚Gcperpg 27935  midGcmid 28012  lInvGclmi 28013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27688  df-trkgb 27689  df-trkgcb 27690  df-trkgld 27692  df-trkg 27693  df-cgrg 27751  df-ismt 27773  df-leg 27823  df-mir 27893  df-rag 27934  df-perpg 27936  df-mid 28014  df-lmi 28015
This theorem is referenced by:  hypcgr  28041
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