MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hypcgrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hypcgrlem2 27742
Description: Lemma for hypcgr 27743, case where triangles share one vertex 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m = (dist‘𝐺)
hypcgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
hypcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
hypcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
hypcgr.d (𝜑𝐷𝑃)
hypcgr.e (𝜑𝐸𝑃)
hypcgr.f (𝜑𝐹𝑃)
hypcgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
hypcgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
hypcgrlem2.b (𝜑𝐵 = 𝐸)
hypcgrlem2.s 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵))
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem2
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hypcgr.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 hypcgr.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hypcgr.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.h . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
8 hypcgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 hypcgr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐵𝑃)
12 hypcgr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐶𝑃)
14 eqid 2736 . . . . 5 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15 eqid 2736 . . . . 5 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16 eqid 2736 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
17 hypcgr.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐷𝑃)
191, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18mircl 27603 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) ∈ 𝑃)
20 hypcgr.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐸𝑃)
22 hypcgr.1 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
24 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷))
25 hypcgrlem2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = 𝐸)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐵 = 𝐸)
271, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 21mirinv 27608 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸) = 𝐸𝐵 = 𝐸))
2826, 27mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸) = 𝐸)
2928eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐸 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸))
30 hypcgr.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑃)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐹𝑃)
321, 2, 3, 5, 7, 13, 31midcom 27724 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = (𝐹(midG‘𝐺)𝐶))
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵)
3432, 33eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐹(midG‘𝐺)𝐶) = 𝐵)
351, 2, 3, 5, 7, 31, 13, 15, 11ismidb 27720 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐹) ↔ (𝐹(midG‘𝐺)𝐶) = 𝐵))
3634, 35mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐹))
3724, 29, 36s3eqd 14753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷)𝐸𝐶”⟩ = ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐹)”⟩)
38 hypcgr.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
401, 2, 3, 14, 15, 5, 18, 21, 31, 39, 16, 11mirrag 27643 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐹)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
4137, 40eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷)𝐸𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
42 hypcgr.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
441, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18, 21miriso 27612 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸)) = (𝐷 𝐸))
4528oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐸)) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) 𝐸))
4643, 44, 453eqtr2d 2782 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐴 𝐵) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) 𝐸))
4726oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐶))
48 eqid 2736 . . . 4 ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷))(LineG‘𝐺)𝐵)) = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷))(LineG‘𝐺)𝐵))
49 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → 𝐶 = 𝐶)
501, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 21, 13, 23, 41, 46, 47, 26, 48, 49hypcgrlem1 27741 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐴 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) 𝐶))
5136oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐹)))
521, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18, 31miriso 27612 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐹)) = (𝐷 𝐹))
5350, 51, 523eqtrd 2780 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
544ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
556ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐺DimTarskiG≥2)
568ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐴𝑃)
5710ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐵𝑃)
5812ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶𝑃)
5917ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐷𝑃)
6020ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐸𝑃)
6130ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐹𝑃)
6222ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
6338ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
6442ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
65 hypcgr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
6665ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
6725ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐵 = 𝐸)
68 eqid 2736 . . . 4 ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)) = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
69 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → 𝐶 = 𝐹)
701, 2, 3, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69hypcgrlem1 27741 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐹) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
714ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐺 ∈ TarskiG)
726ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐺DimTarskiG≥2)
738ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐴𝑃)
7410ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐵𝑃)
7512ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐶𝑃)
76 hypcgrlem2.s . . . . . 6 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵))
7730ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐹𝑃)
781, 2, 3, 71, 72, 75, 77midcl 27719 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ∈ 𝑃)
79 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵)
801, 3, 14, 71, 78, 74, 79tgelrnln 27572 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵) ∈ ran (LineG‘𝐺))
8117ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐷𝑃)
821, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81lmicl 27728 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝑆𝐷) ∈ 𝑃)
8320ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐸𝑃)
841, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 83lmicl 27728 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝑆𝐸) ∈ 𝑃)
851, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 77lmicl 27728 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑃)
8622ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
871, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80lmimot 27740 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝑆 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
8838ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
891, 2, 3, 14, 15, 71, 81, 83, 77, 87, 88motrag 27650 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ⟨“(𝑆𝐷)(𝑆𝐸)(𝑆𝐹)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
9042ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
911, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81, 83lmiiso 27739 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ((𝑆𝐷) (𝑆𝐸)) = (𝐷 𝐸))
9290, 91eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐴 𝐵) = ((𝑆𝐷) (𝑆𝐸)))
9365ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
941, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 83, 77lmiiso 27739 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ((𝑆𝐸) (𝑆𝐹)) = (𝐸 𝐹))
9593, 94eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐵 𝐶) = ((𝑆𝐸) (𝑆𝐹)))
961, 3, 14, 71, 78, 74, 79tglinerflx2 27576 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐵 ∈ ((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵))
971, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 74, 96lmicinv 27735 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝑆𝐵) = 𝐵)
9825ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐵 = 𝐸)
9998fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝑆𝐵) = (𝑆𝐸))
10097, 99eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐵 = (𝑆𝐸))
101 eqid 2736 . . . . 5 ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑆𝐷))(LineG‘𝐺)𝐵)) = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)(𝑆𝐷))(LineG‘𝐺)𝐵))
1021, 2, 3, 71, 72, 75, 77midcom 27724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = (𝐹(midG‘𝐺)𝐶))
1031, 3, 14, 71, 78, 74, 79tglinerflx1 27575 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ∈ ((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵))
104102, 103eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐹(midG‘𝐺)𝐶) ∈ ((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵))
105 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐶𝐹)
106105necomd 2999 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐹𝐶)
1071, 3, 14, 71, 77, 75, 106tgelrnln 27572 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐹(LineG‘𝐺)𝐶) ∈ ran (LineG‘𝐺))
1081, 2, 3, 71, 72, 75, 77midbtwn 27721 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ∈ (𝐶𝐼𝐹))
1091, 2, 3, 71, 75, 78, 77, 108tgbtwncom 27430 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ∈ (𝐹𝐼𝐶))
1101, 3, 14, 71, 77, 75, 78, 106, 109btwnlng1 27561 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ∈ (𝐹(LineG‘𝐺)𝐶))
111103, 110elind 4154 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ∈ (((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵) ∩ (𝐹(LineG‘𝐺)𝐶)))
1121, 3, 14, 71, 77, 75, 106tglinerflx2 27576 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐶 ∈ (𝐹(LineG‘𝐺)𝐶))
11379necomd 2999 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐵 ≠ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹))
1144ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11512ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → 𝐶𝑃)
11630ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → 𝐹𝑃)
1176ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
118 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹))
119118eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = 𝐶)
1201, 2, 3, 114, 117, 115, 116, 119midcgr 27722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → (𝐶 𝐶) = (𝐶 𝐹))
121120eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → (𝐶 𝐹) = (𝐶 𝐶))
1221, 2, 3, 114, 115, 116, 115, 121axtgcgrid 27405 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)) → 𝐶 = 𝐹)
123122ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) → (𝐶 = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) → 𝐶 = 𝐹))
124123necon3d 2964 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) → (𝐶𝐹𝐶 ≠ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)))
125124imp 407 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐶 ≠ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹))
12698eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐸 = 𝐵)
127 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹))
1281, 2, 3, 71, 72, 75, 77, 15, 78ismidb 27720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐹 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐶(midG‘𝐺)𝐹))‘𝐶) ↔ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) = (𝐶(midG‘𝐺)𝐹)))
129127, 128mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐹 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐶(midG‘𝐺)𝐹))‘𝐶))
130126, 129oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐸 𝐹) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐶(midG‘𝐺)𝐹))‘𝐶)))
13193, 130eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐶(midG‘𝐺)𝐹))‘𝐶)))
1321, 2, 3, 14, 15, 71, 74, 78, 75israg 27639 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (⟨“𝐵(𝐶(midG‘𝐺)𝐹)𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐵 𝐶) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐶(midG‘𝐺)𝐹))‘𝐶))))
133131, 132mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ⟨“𝐵(𝐶(midG‘𝐺)𝐹)𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1341, 2, 3, 14, 71, 80, 107, 111, 96, 112, 113, 125, 133ragperp 27659 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐹(LineG‘𝐺)𝐶))
135134orcd 871 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐹(LineG‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐹 = 𝐶))
1361, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 77, 75islmib 27729 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐶 = (𝑆𝐹) ↔ ((𝐹(midG‘𝐺)𝐶) ∈ ((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵) ∧ (((𝐶(midG‘𝐺)𝐹)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐹(LineG‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐹 = 𝐶))))
137104, 135, 136mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → 𝐶 = (𝑆𝐹))
1381, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 75, 82, 84, 85, 86, 89, 92, 95, 100, 101, 137hypcgrlem1 27741 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐴 𝐶) = ((𝑆𝐷) (𝑆𝐹)))
1391, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81, 77lmiiso 27739 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → ((𝑆𝐷) (𝑆𝐹)) = (𝐷 𝐹))
140138, 139eqtrd 2776 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) ∧ 𝐶𝐹) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
14170, 140pm2.61dane 3032 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶(midG‘𝐺)𝐹) ≠ 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
14253, 141pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  2c2 12208  ⟨“cs3 14731  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  DimTarskiGcstrkgld 27373  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  pInvGcmir 27594  ∟Gcrag 27635  ⟂Gcperpg 27637  midGcmid 27714  lInvGclmi 27715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkgld 27394  df-trkg 27395  df-cgrg 27453  df-ismt 27475  df-leg 27525  df-mir 27595  df-rag 27636  df-perpg 27638  df-mid 27716  df-lmi 27717
This theorem is referenced by:  hypcgr  27743
  Copyright terms: Public domain W3C validator