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Theorem hypcgrlem2 28089
Description: Lemma for hypcgr 28090, case where triangles share one vertex 𝐡. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hypcgr.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hypcgr.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hypcgr.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
hypcgr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hypcgr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
hypcgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hypcgr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hypcgr.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
hypcgr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
hypcgr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
hypcgr.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
hypcgr.4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
hypcgrlem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
hypcgrlem2.s 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem2
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hypcgr.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hypcgr.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hypcgr.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
76adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
8 hypcgr.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 hypcgr.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 hypcgr.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1312adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
14 eqid 2732 . . . . 5 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
15 eqid 2732 . . . . 5 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
17 hypcgr.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1817adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
191, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18mircl 27950 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) ∈ 𝑃)
20 hypcgr.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2120adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
22 hypcgr.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
2322adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
24 eqidd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·))
25 hypcgrlem2.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐸)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐡 = 𝐸)
271, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 21mirinv 27955 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ) = 𝐸 ↔ 𝐡 = 𝐸))
2826, 27mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ) = 𝐸)
2928eqcomd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐸 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ))
30 hypcgr.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
321, 2, 3, 5, 7, 13, 31midcom 28071 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢))
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡)
3432, 33eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) = 𝐡)
351, 2, 3, 5, 7, 31, 13, 15, 11ismidb 28067 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ) ↔ (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) = 𝐡))
3634, 35mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ))
3724, 29, 36s3eqd 14817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)πΈπΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)β€βŸ©)
38 hypcgr.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
3938adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
401, 2, 3, 14, 15, 5, 18, 21, 31, 39, 16, 11mirrag 27990 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
4137, 40eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ βŸ¨β€œ(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·)πΈπΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
42 hypcgr.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
4342adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
441, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18, 21miriso 27959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
4528oveq2d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΈ)) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐸))
4643, 44, 453eqtr2d 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐸))
4726oveq1d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐢))
48 eqid 2732 . . . 4 ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡)) = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
49 eqidd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐢)
501, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 21, 13, 23, 41, 46, 47, 26, 48, 49hypcgrlem1 28088 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐢))
5136oveq2d 7427 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ 𝐢) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)))
521, 2, 3, 14, 15, 5, 11, 16, 18, 31miriso 27959 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜π·) βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΉ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
5350, 51, 523eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
544ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
556ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
568ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5710ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
5812ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
5917ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
6020ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6130ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
6222ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6338ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6442ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
65 hypcgr.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
6665ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
6725ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐡 = 𝐸)
68 eqid 2732 . . . 4 ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)) = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐷)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
69 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ 𝐢 = 𝐹)
701, 2, 3, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69hypcgrlem1 28088 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = 𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
714ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
726ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
738ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7410ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7512ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76 hypcgrlem2.s . . . . . 6 𝑆 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
7730ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
781, 2, 3, 71, 72, 75, 77midcl 28066 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ 𝑃)
79 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡)
801, 3, 14, 71, 78, 74, 79tgelrnln 27919 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
8117ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
821, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81lmicl 28075 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜π·) ∈ 𝑃)
8320ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
841, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 83lmicl 28075 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜πΈ) ∈ 𝑃)
851, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 77lmicl 28075 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ 𝑃)
8622ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
871, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80lmimot 28087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝑆 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
8838ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
891, 2, 3, 14, 15, 71, 81, 83, 77, 87, 88motrag 27997 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œ(π‘†β€˜π·)(π‘†β€˜πΈ)(π‘†β€˜πΉ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
9042ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
911, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81, 83lmiiso 28086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
9290, 91eqtr4d 2775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΈ)))
9365ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
941, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 83, 77lmiiso 28086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((π‘†β€˜πΈ) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
9593, 94eqtr4d 2775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = ((π‘†β€˜πΈ) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)))
961, 3, 14, 71, 78, 74, 79tglinerflx2 27923 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
971, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 74, 96lmicinv 28082 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜π΅) = 𝐡)
9825ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 = 𝐸)
9998fveq2d 6895 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (π‘†β€˜π΅) = (π‘†β€˜πΈ))
10097, 99eqtr3d 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 = (π‘†β€˜πΈ))
101 eqid 2732 . . . . 5 ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡)) = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜π·))(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
1021, 2, 3, 71, 72, 75, 77midcom 28071 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢))
1031, 3, 14, 71, 78, 74, 79tglinerflx1 27922 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
104102, 103eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡))
105 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 β‰  𝐹)
106105necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐹 β‰  𝐢)
1071, 3, 14, 71, 77, 75, 106tgelrnln 27919 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢) ∈ ran (LineGβ€˜πΊ))
1081, 2, 3, 71, 72, 75, 77midbtwn 28068 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (𝐢𝐼𝐹))
1091, 2, 3, 71, 75, 78, 77, 108tgbtwncom 27777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (𝐹𝐼𝐢))
1101, 3, 14, 71, 77, 75, 78, 106, 109btwnlng1 27908 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢))
111103, 110elind 4194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) ∈ (((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∩ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢)))
1121, 3, 14, 71, 77, 75, 106tglinerflx2 27923 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 ∈ (𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢))
11379necomd 2996 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐡 β‰  (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
1144ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
11512ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11630ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1176ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
118 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
119118eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = 𝐢)
1201, 2, 3, 114, 117, 115, 116, 119midcgr 28069 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐹))
121120eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐹) = (𝐢 βˆ’ 𝐢))
1221, 2, 3, 114, 115, 116, 115, 121axtgcgrid 27752 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)) β†’ 𝐢 = 𝐹)
123122ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) β†’ (𝐢 = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β†’ 𝐢 = 𝐹))
124123necon3d 2961 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) β†’ (𝐢 β‰  𝐹 β†’ 𝐢 β‰  (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)))
125124imp 407 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 β‰  (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
12698eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐸 = 𝐡)
127 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))
1281, 2, 3, 71, 72, 75, 77, 15, 78ismidb 28067 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐹 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ) ↔ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)))
129127, 128mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐹 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ))
130126, 129oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐹) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ)))
13193, 130eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ)))
1321, 2, 3, 14, 15, 71, 74, 78, 75israg 27986 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (βŸ¨β€œπ΅(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹))β€˜πΆ))))
133131, 132mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΅(𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1341, 2, 3, 14, 71, 80, 107, 111, 96, 112, 113, 125, 133ragperp 28006 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢))
135134orcd 871 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢) ∨ 𝐹 = 𝐢))
1361, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 77, 75islmib 28076 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐢 = (π‘†β€˜πΉ) ↔ ((𝐹(midGβ€˜πΊ)𝐢) ∈ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡) ∧ (((𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹)(LineGβ€˜πΊ)𝐡)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐹(LineGβ€˜πΊ)𝐢) ∨ 𝐹 = 𝐢))))
137104, 135, 136mpbir2and 711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ 𝐢 = (π‘†β€˜πΉ))
1381, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 75, 82, 84, 85, 86, 89, 92, 95, 100, 101, 137hypcgrlem1 28088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)))
1391, 2, 3, 71, 72, 76, 14, 80, 81, 77lmiiso 28086 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ ((π‘†β€˜π·) βˆ’ (π‘†β€˜πΉ)) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
140138, 139eqtrd 2772 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) ∧ 𝐢 β‰  𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
14170, 140pm2.61dane 3029 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐢(midGβ€˜πΊ)𝐹) β‰  𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
14253, 141pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  2c2 12269  βŸ¨β€œcs3 14795  Basecbs 17146  distcds 17208  TarskiGcstrkg 27716  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27720  Itvcitv 27722  LineGclng 27723  pInvGcmir 27941  βˆŸGcrag 27982  βŸ‚Gcperpg 27984  midGcmid 28061  lInvGclmi 28062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 27737  df-trkgb 27738  df-trkgcb 27739  df-trkgld 27741  df-trkg 27742  df-cgrg 27800  df-ismt 27822  df-leg 27872  df-mir 27942  df-rag 27983  df-perpg 27985  df-mid 28063  df-lmi 28064
This theorem is referenced by:  hypcgr  28090
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