Theorem hypcgr 26581

Description: If the catheti of two right-angled triangles are congruent, so is their hypothenuse. Theorem 10.12 of [Schwabhauser] p. 91. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hypcgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hypcgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hypcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hypcgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hypcgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hypcgr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
hypcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
hypcgr.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
hypcgr.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
hypcgr	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Proof of Theorem hypcgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hypcgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hypcgr.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hypcgr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hypcgr.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		hypcgr.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		hypcgr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		hypcgr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		hypcgr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		hypcgr.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11	midcl 26557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐸) ∈ 𝑃)
13		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))
14		hypcgr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14	mircl 26441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) ∈ 𝑃)
16	1, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 11	mircl 26441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) ∈ 𝑃)
17		hypcgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
18	1, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 17	mircl 26441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹) ∈ 𝑃)
19		hypcgr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20		hypcgr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
21	1, 2, 3, 9, 10, 4, 14, 11, 17, 20, 13, 12	mirrag 26481	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22		hypcgr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
23	1, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14, 11	miriso 26450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)) = (𝐷 − 𝐸))
24	22, 23	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)))
25		hypcgr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
26	1, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 11, 17	miriso 26450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)) = (𝐸 − 𝐹))
27	25, 26	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 11, 7	midcom 26562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐸))
29	1, 2, 3, 4, 5, 11, 7, 10, 12	ismidb 26558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) ↔ (𝐸(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐸)))
30	28, 29	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸))
31		eqid 2821	. . 3 ⊢ ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹))(LineG‘𝐺)𝐵)) = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹))(LineG‘𝐺)𝐵))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 18, 19, 21, 24, 27, 30, 31	hypcgrlem2 26580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)))
33	1, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14, 17	miriso 26450	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)) = (𝐷 − 𝐹))
34	32, 33	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  2c2 11686  ⟨“cs3 14198  Basecbs 16477  distcds 16568  TarskiGcstrkg 26210  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26214  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  pInvGcmir 26432  ∟Gcrag 26473  midGcmid 26552  lInvGclmi 26553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26228  df-trkgb 26229  df-trkgcb 26230  df-trkgld 26232  df-trkg 26233  df-cgrg 26291  df-ismt 26313  df-leg 26363  df-mir 26433  df-rag 26474  df-perpg 26476  df-mid 26554  df-lmi 26555

This theorem is referenced by:  trgcopy  26584