MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hypcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hypcgr 27629
Description: If the catheti of two right-angled triangles are congruent, so is their hypothenuse. Theorem 10.12 of [Schwabhauser] p. 91. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m = (dist‘𝐺)
hypcgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
hypcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
hypcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
hypcgr.d (𝜑𝐷𝑃)
hypcgr.e (𝜑𝐸𝑃)
hypcgr.f (𝜑𝐹𝑃)
hypcgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
hypcgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
hypcgr (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))

Proof of Theorem hypcgr
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hypcgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hypcgr.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 hypcgr.h . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 hypcgr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 hypcgr.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
8 hypcgr.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
9 eqid 2736 . . . 4 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10 eqid 2736 . . . 4 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11 hypcgr.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 11midcl 27605 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐸) ∈ 𝑃)
13 eqid 2736 . . . 4 ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))
14 hypcgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
151, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14mircl 27489 . . 3 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) ∈ 𝑃)
161, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 11mircl 27489 . . 3 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) ∈ 𝑃)
17 hypcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
181, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 17mircl 27489 . . 3 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹) ∈ 𝑃)
19 hypcgr.1 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20 hypcgr.2 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
211, 2, 3, 9, 10, 4, 14, 11, 17, 20, 13, 12mirrag 27529 . . 3 (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22 hypcgr.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
231, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14, 11miriso 27498 . . . 4 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)) = (𝐷 𝐸))
2422, 23eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)))
25 hypcgr.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
261, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 11, 17miriso 27498 . . . 4 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)) = (𝐸 𝐹))
2725, 26eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)))
281, 2, 3, 4, 5, 11, 7midcom 27610 . . . 4 (𝜑 → (𝐸(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐸))
291, 2, 3, 4, 5, 11, 7, 10, 12ismidb 27606 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) ↔ (𝐸(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐸)))
3028, 29mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸))
31 eqid 2736 . . 3 ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹))(LineG‘𝐺)𝐵)) = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹))(LineG‘𝐺)𝐵))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 18, 19, 21, 24, 27, 30, 31hypcgrlem2 27628 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)))
331, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14, 17miriso 27498 . 2 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)) = (𝐷 𝐹))
3432, 33eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  2c2 12204  ⟨“cs3 14723  Basecbs 17075  distcds 17134  TarskiGcstrkg 27255  DimTarskiGcstrkgld 27259  Itvcitv 27261  LineGclng 27262  pInvGcmir 27480  ∟Gcrag 27521  midGcmid 27600  lInvGclmi 27601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-s1 14476  df-s2 14729  df-s3 14730  df-trkgc 27276  df-trkgb 27277  df-trkgcb 27278  df-trkgld 27280  df-trkg 27281  df-cgrg 27339  df-ismt 27361  df-leg 27411  df-mir 27481  df-rag 27522  df-perpg 27524  df-mid 27602  df-lmi 27603
This theorem is referenced by:  trgcopy  27632
  Copyright terms: Public domain W3C validator