Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirrag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirrag 26474
 Description: Right angle is conserved by point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragmir.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
mirrag.m 𝑀 = (𝑆𝐷)
mirrag.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirrag (𝜑 → ⟨“(𝑀𝐴)(𝑀𝐵)(𝑀𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem mirrag
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 israg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 israg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 israg.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 israg.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 israg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirrag.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
8 mirrag.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐷)
9 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
10 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
11 israg.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
12 eqid 2821 . . . . 5 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 10mircl 26434 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14 ragmir.1 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 10israg 26470 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
1614, 15mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 13, 16mircgrs 26446 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝐴) (𝑀𝐶)) = ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐵)‘𝐶))))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11mirmir2 26447 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝐵)‘𝐶)) = ((𝑆‘(𝑀𝐵))‘(𝑀𝐶)))
1918oveq2d 7146 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐵)‘𝐶))) = ((𝑀𝐴) ((𝑆‘(𝑀𝐵))‘(𝑀𝐶))))
2017, 19eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) (𝑀𝐶)) = ((𝑀𝐴) ((𝑆‘(𝑀𝐵))‘(𝑀𝐶))))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 26434 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mircl 26434 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10mircl 26434 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐶) ∈ 𝑃)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 21, 22, 23israg 26470 . 2 (𝜑 → (⟨“(𝑀𝐴)(𝑀𝐵)(𝑀𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ((𝑀𝐴) (𝑀𝐶)) = ((𝑀𝐴) ((𝑆‘(𝑀𝐵))‘(𝑀𝐶)))))
2520, 24mpbird 260 1 (𝜑 → ⟨“(𝑀𝐴)(𝑀𝐵)(𝑀𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ⟨“cs3 14183  Basecbs 16462  distcds 16553  TarskiGcstrkg 26203  Itvcitv 26209  LineGclng 26210  pInvGcmir 26425  ∟Gcrag 26466 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-concat 13902  df-s1 13929  df-s2 14189  df-s3 14190  df-trkgc 26221  df-trkgb 26222  df-trkgcb 26223  df-trkg 26226  df-cgrg 26284  df-mir 26426  df-rag 26467 This theorem is referenced by:  colperpexlem1  26503  hypcgrlem2  26573  hypcgr  26574
 Copyright terms: Public domain W3C validator