Theorem mirrag 28942

Description: Right angle is conserved by point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragmir.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
mirrag.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐷)
mirrag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirrag	⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑀‘𝐴)(𝑀‘𝐵)(𝑀‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem mirrag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirrag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		mirrag.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐷)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 10	mircl 28902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14		ragmir.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 10	israg 28938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
16	14, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 13, 16	mircgrs 28914	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐶)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11	mirmir2 28915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶)))
19	18	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶))) = ((𝑀‘𝐴) − ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶))))
20	17, 19	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐶)) = ((𝑀‘𝐴) − ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶))))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 28902	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑃)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mircl 28902	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	mircl 28902	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) ∈ 𝑃)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 21, 22, 23	israg 28938	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“(𝑀‘𝐴)(𝑀‘𝐵)(𝑀‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐶)) = ((𝑀‘𝐴) − ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶)))))
25	20, 24	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑀‘𝐴)(𝑀‘𝐵)(𝑀‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17271  distcds 17321  TarskiGcstrkg 28664  Itvcitv 28670  LineGclng 28671  pInvGcmir 28893  ∟Gcrag 28934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9889  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28685  df-trkgb 28686  df-trkgcb 28687  df-trkg 28690  df-cgrg 28748  df-mir 28894  df-rag 28935

This theorem is referenced by:  colperpexlem1  28972  hypcgrlem2  29069  hypcgr  29070