Theorem mirrag 28207

Description: Right angle is conserved by point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragmir.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
mirrag.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐷)
mirrag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirrag	⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑀‘𝐴)(𝑀‘𝐵)(𝑀‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem mirrag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirrag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		mirrag.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐷)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 10	mircl 28167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14		ragmir.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 10	israg 28203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
16	14, 15	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 13, 16	mircgrs 28179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐶)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11	mirmir2 28180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶)))
19	18	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶))) = ((𝑀‘𝐴) − ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶))))
20	17, 19	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐶)) = ((𝑀‘𝐴) − ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶))))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 28167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑃)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mircl 28167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	mircl 28167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) ∈ 𝑃)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 21, 22, 23	israg 28203	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“(𝑀‘𝐴)(𝑀‘𝐵)(𝑀‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐶)) = ((𝑀‘𝐴) − ((𝑆‘(𝑀‘𝐵))‘(𝑀‘𝐶)))))
25	20, 24	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑀‘𝐴)(𝑀‘𝐵)(𝑀‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ⟨“cs3 14797  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  Itvcitv 27939  LineGclng 27940  pInvGcmir 28158  ∟Gcrag 28199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27954  df-trkgb 27955  df-trkgcb 27956  df-trkg 27959  df-cgrg 28017  df-mir 28159  df-rag 28200

This theorem is referenced by:  colperpexlem1  28236  hypcgrlem2  28306  hypcgr  28307