MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirrag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirrag 27351
Description: Right angle is conserved by point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
israg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
israg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
israg.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
israg.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
israg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
israg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
ragmir.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
mirrag.m 𝑀 = (π‘†β€˜π·)
mirrag.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirrag (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π΄)(π‘€β€˜π΅)(π‘€β€˜πΆ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))

Proof of Theorem mirrag
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 israg.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 israg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 israg.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 israg.s . . . 4 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
6 israg.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirrag.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8 mirrag.m . . . 4 𝑀 = (π‘†β€˜π·)
9 israg.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 israg.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
11 israg.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 eqid 2736 . . . . 5 (π‘†β€˜π΅) = (π‘†β€˜π΅)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 10mircl 27311 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
14 ragmir.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 10israg 27347 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ))))
1614, 15mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐴 βˆ’ ((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 13, 16mircgrs 27323 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ (π‘€β€˜πΆ)) = ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ (π‘€β€˜((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ))))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11mirmir2 27324 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ)) = ((π‘†β€˜(π‘€β€˜π΅))β€˜(π‘€β€˜πΆ)))
1918oveq2d 7353 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ (π‘€β€˜((π‘†β€˜π΅)β€˜πΆ))) = ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ ((π‘†β€˜(π‘€β€˜π΅))β€˜(π‘€β€˜πΆ))))
2017, 19eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ (π‘€β€˜πΆ)) = ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ ((π‘†β€˜(π‘€β€˜π΅))β€˜(π‘€β€˜πΆ))))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 27311 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝑃)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mircl 27311 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ 𝑃)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10mircl 27311 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 21, 22, 23israg 27347 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π΄)(π‘€β€˜π΅)(π‘€β€˜πΆ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ (π‘€β€˜πΆ)) = ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ ((π‘†β€˜(π‘€β€˜π΅))β€˜(π‘€β€˜πΆ)))))
2520, 24mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π΄)(π‘€β€˜π΅)(π‘€β€˜πΆ)β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  βŸ¨β€œcs3 14654  Basecbs 17009  distcds 17068  TarskiGcstrkg 27077  Itvcitv 27083  LineGclng 27084  pInvGcmir 27302  βˆŸGcrag 27343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-s2 14660  df-s3 14661  df-trkgc 27098  df-trkgb 27099  df-trkgcb 27100  df-trkg 27103  df-cgrg 27161  df-mir 27303  df-rag 27344
This theorem is referenced by:  colperpexlem1  27380  hypcgrlem2  27450  hypcgr  27451
  Copyright terms: Public domain W3C validator