Theorem miduniq1 28445

Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.18 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq1.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐵)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
miduniq1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		miduniq1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		miduniq1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		miduniq1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 9	mircl 28420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
12		eqidd 2727	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
13		miduniq1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐵)‘𝑋))
14	13	eqcomd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14	miduniq 28444	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  LineGclng 28193  pInvGcmir 28411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-mir 28412

This theorem is referenced by:  miduniq2  28446  mideulem2  28493