Theorem miduniq1 28860

Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.18 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq1.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐵)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
miduniq1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		miduniq1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		miduniq1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		miduniq1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 9	mircl 28835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
12		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
13		miduniq1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐵)‘𝑋))
14	13	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14	miduniq 28859	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  distcds 17296  TarskiGcstrkg 28597  Itvcitv 28603  LineGclng 28604  pInvGcmir 28826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-oadd 8442  df-er 8679  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-hash 14345  df-word 14528  df-concat 14585  df-s1 14611  df-s2 14862  df-s3 14863  df-trkgc 28618  df-trkgb 28619  df-trkgcb 28620  df-trkg 28623  df-cgrg 28681  df-mir 28827

This theorem is referenced by:  miduniq2  28861  mideulem2  28908