Theorem miduniq1 28518

Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.18 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq1.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐵)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
miduniq1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		miduniq1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		miduniq1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		miduniq1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 9	mircl 28493	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
12		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
13		miduniq1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐵)‘𝑋))
14	13	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14	miduniq 28517	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  distcds 17251  TarskiGcstrkg 28259  Itvcitv 28265  LineGclng 28266  pInvGcmir 28484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-s2 14841  df-s3 14842  df-trkgc 28280  df-trkgb 28281  df-trkgcb 28282  df-trkg 28285  df-cgrg 28343  df-mir 28485

This theorem is referenced by:  miduniq2  28519  mideulem2  28566