Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnring0gd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnring0gd 44128
Description: The additive identity of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnring0gd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnring0gd.2 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnring0gd.3 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnring0gd.4 (𝜑𝑅𝑈)
mnring0gd.5 (𝜑𝑀𝑊)
Assertion
Ref Expression
mnring0gd (𝜑 → (0g𝑉) = (0g𝐹))

Proof of Theorem mnring0gd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2735 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉))
2 mnring0gd.1 . . 3 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3 mnring0gd.2 . . 3 𝐴 = (Base‘𝑀)
4 mnring0gd.3 . . 3 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
6 mnring0gd.4 . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
7 mnring0gd.5 . . 3 (𝜑𝑀𝑊)
82, 3, 4, 5, 6, 7mnringbased 44120 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐹))
92, 3, 4, 6, 7mnringaddgd 44126 . . 3 (𝜑 → (+g𝑉) = (+g𝐹))
109oveqdr 7473 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → (𝑥(+g𝑉)𝑦) = (𝑥(+g𝐹)𝑦))
111, 8, 10grpidpropd 18695 1 (𝜑 → (0g𝑉) = (0g𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  +gcplusg 17306  0gc0g 17494   freeLMod cfrlm 21784   MndRing cmnring 44115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17496  df-mnring 44116
This theorem is referenced by:  mnring0g2d  44129
  Copyright terms: Public domain W3C validator