Theorem mnring0gd 44190

Description: The additive identity of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnring0gd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnring0gd.2	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnring0gd.3	⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnring0gd.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnring0gd.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnring0gd	⊢ (𝜑 → (0g‘𝑉) = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem mnring0gd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉))
2		mnring0gd.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		mnring0gd.2	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
4		mnring0gd.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
6		mnring0gd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
7		mnring0gd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mnringbased 44182	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐹))
9	2, 3, 4, 6, 7	mnringaddgd 44188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑉) = (+g‘𝐹))
10	9	oveqdr 7478	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → (𝑥(+g‘𝑉)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐹)𝑦))
11	1, 8, 10	grpidpropd 18702	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑉) = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  +_gcplusg 17313  0_gc0g 17501   freeLMod cfrlm 21791   MndRing cmnring 44177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-0g 17503  df-mnring 44178

This theorem is referenced by:  mnring0g2d  44191