Theorem mnring0g2d 44191

Description: The additive identity of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnring0g2d.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnring0g2d.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mnring0g2d.3	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnring0g2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mnring0g2d.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnring0g2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Proof of Theorem mnring0g2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnring0g2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mnring0g2d.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
3	2	fvexi 6936	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐴) = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5		mnring0g2d.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	frlm0 21799	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
7	1, 3, 6	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
8		mnring0g2d.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
9		mnring0g2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
10	8, 2, 4, 1, 9	mnring0gd 44190	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (0g‘𝐹))
11	7, 10	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { 0 }) = (0g‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  0_gc0g 17501  Ringcrg 20262   freeLMod cfrlm 21791   MndRing cmnring 44177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17503  df-prds 17509  df-pws 17511  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-subrg 20599  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-sra 21197  df-rgmod 21198  df-dsmm 21777  df-frlm 21792  df-mnring 44178

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  44199