Theorem mnringbasedOLD 43714

Description: Obsolete version of mnringnmulrd 43711 as of 1-Nov-2024. The base set of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbased.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbased.2	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringbased.3	⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnringbased.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mnringbased.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbased.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringbasedOLD	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem mnringbasedOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbased.4	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
2		mnringbased.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		df-base 17180	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
4		1nn 12253	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		1re 11244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		1lt3 12415	. . . . 5 ⊢ 1 < 3
7	5, 6	ltneii 11357	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 3
8		mulrndx 17273	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeqtrri 3004	. . 3 ⊢ 1 ≠ (.r‘ndx)
10		mnringbased.2	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
11		mnringbased.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
12		mnringbased.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
13		mnringbased.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
14	2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13	mnringnmulrdOLD 43712	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐹))
15	1, 14	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  1c1 11139  3c3 12298  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233   freeLMod cfrlm 21684   MndRing cmnring 43708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-mulr 17246  df-mnring 43709

This theorem is referenced by: (None)