Theorem mnringlmodd 45318

Description: Monoid rings are left modules. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringlmodd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringlmodd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mnringlmodd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnringlmodd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

Proof of Theorem mnringlmodd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringlmodd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		fvexd 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ V)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) = (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))
4	3	frlmlmod 22061	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
6		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
7		mnringlmodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))
10		mnringlmodd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11	7, 8, 3, 9, 1, 10	mnringbased 45307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘𝐹))
12	7, 8, 3, 1, 10	mnringaddgd 45312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (+g‘𝐹))
13	12	oveqdr 7449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐹)𝑦))
14	3	frlmsca 22065	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
15	1, 2, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
16	7, 1, 10	mnringscad 45316	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	7, 8, 3, 1, 10	mnringvscad 45317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = ( ·𝑠 ‘𝐹))
19	18	oveqdr 7449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐹)𝑦))
20	6, 11, 13, 15, 16, 17, 19	lmodpropd 21206	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod ↔ 𝐹 ∈ LMod))
21	5, 20	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  Ringcrg 20465  LModclmod 21141   freeLMod cfrlm 22058   MndRing cmnring 45303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059  df-mnring 45304

This theorem is used by:  mnringmulrcld  45320