Theorem mnringlmodd 41292

Description: Monoid rings are left modules. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringlmodd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringlmodd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mnringlmodd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnringlmodd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

Proof of Theorem mnringlmodd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringlmodd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		fvexd 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ V)
3		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) = (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))
4	3	frlmlmod 20499	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
5	1, 2, 4	syl2anc 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
6		eqidd 2760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
7		mnringlmodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
8		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))
10		mnringlmodd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11	7, 8, 3, 9, 1, 10	mnringbased 41281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘𝐹))
12	7, 8, 3, 1, 10	mnringaddgd 41286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (+g‘𝐹))
13	12	oveqdr 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐹)𝑦))
14	3	frlmsca 20503	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
15	1, 2, 14	syl2anc 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
16	7, 1, 10	mnringscad 41290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17		eqid 2759	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	7, 8, 3, 1, 10	mnringvscad 41291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = ( ·𝑠 ‘𝐹))
19	18	oveqdr 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐹)𝑦))
20	6, 11, 13, 15, 16, 17, 19	lmodpropd 19750	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod ↔ 𝐹 ∈ LMod))
21	5, 20	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526  +_gcplusg 16608  Scalarcsca 16611   ·_𝑠 cvsca 16612  Ringcrg 19350  LModclmod 19687   freeLMod cfrlm 20496   MndRing cmnring 41277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-sup 8924  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-hom 16632  df-cco 16633  df-0g 16758  df-prds 16764  df-pws 16766  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-subrg 19586  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-dsmm 20482  df-frlm 20497  df-mnring 41278

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  41294