Theorem mnringlmodd 42975

Description: Monoid rings are left modules. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringlmodd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringlmodd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mnringlmodd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnringlmodd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

Proof of Theorem mnringlmodd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringlmodd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		fvexd 6906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ V)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) = (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))
4	3	frlmlmod 21303	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
6		eqidd 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
7		mnringlmodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
8		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))
10		mnringlmodd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11	7, 8, 3, 9, 1, 10	mnringbased 42960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘𝐹))
12	7, 8, 3, 1, 10	mnringaddgd 42966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (+g‘𝐹))
13	12	oveqdr 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐹)𝑦))
14	3	frlmsca 21307	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
15	1, 2, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
16	7, 1, 10	mnringscad 42971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	7, 8, 3, 1, 10	mnringvscad 42973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = ( ·𝑠 ‘𝐹))
19	18	oveqdr 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐹)𝑦))
20	6, 11, 13, 15, 16, 17, 19	lmodpropd 20534	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod ↔ 𝐹 ∈ LMod))
21	5, 20	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  Ringcrg 20055  LModclmod 20470   freeLMod cfrlm 21300   MndRing cmnring 42955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mnring 42956

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42977