Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringlmodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringlmodd 40854
 Description: Monoid rings are left modules. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringlmodd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringlmodd.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mnringlmodd.3 (𝜑𝑀𝑈)
Assertion
Ref Expression
mnringlmodd (𝜑𝐹 ∈ LMod)

Proof of Theorem mnringlmodd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringlmodd.2 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 fvexd 6676 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ V)
3 eqid 2824 . . . 4 (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) = (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))
43frlmlmod 20893 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
51, 2, 4syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
6 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
7 mnringlmodd.1 . . . 4 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
8 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))
10 mnringlmodd.3 . . . 4 (𝜑𝑀𝑈)
117, 8, 3, 9, 1, 10mnringbased 40843 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘𝐹))
127, 8, 3, 1, 10mnringaddgd 40848 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (+g𝐹))
1312oveqdr 7177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥(+g𝐹)𝑦))
143frlmsca 20897 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
151, 2, 14syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
167, 1, 10mnringscad 40852 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
187, 8, 3, 1, 10mnringvscad 40853 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = ( ·𝑠𝐹))
1918oveqdr 7177 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐹)𝑦))
206, 11, 13, 15, 16, 17, 19lmodpropd 19697 . 2 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod ↔ 𝐹 ∈ LMod))
215, 20mpbid 235 1 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  Ringcrg 19297  LModclmod 19634   freeLMod cfrlm 20890   MndRing cmnring 40839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mnring 40840 This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  40856
 Copyright terms: Public domain W3C validator