Theorem mnringlmodd 45427

Description: Monoid rings are left modules. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringlmodd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringlmodd.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mnringlmodd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnringlmodd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

Proof of Theorem mnringlmodd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringlmodd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		fvexd 6926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ V)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) = (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))
4	3	frlmlmod 22088	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod)
6		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
7		mnringlmodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))
10		mnringlmodd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11	7, 8, 3, 9, 1, 10	mnringbased 45416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Base‘𝐹))
12	7, 8, 3, 1, 10	mnringaddgd 45421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (+g‘𝐹))
13	12	oveqdr 7474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐹)𝑦))
14	3	frlmsca 22092	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
15	1, 2, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
16	7, 1, 10	mnringscad 45425	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	7, 8, 3, 1, 10	mnringvscad 45426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = ( ·𝑠 ‘𝐹))
19	18	oveqdr 7474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐹)𝑦))
20	6, 11, 13, 15, 16, 17, 19	lmodpropd 21233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) ∈ LMod ↔ 𝐹 ∈ LMod))
21	5, 20	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  Ringcrg 20492  LModclmod 21168   freeLMod cfrlm 22085   MndRing cmnring 45412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-mnring 45413

This theorem is used by:  mnringmulrcld  45429