Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringlmodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringlmodd 42598
Description: Monoid rings are left modules. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringlmodd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringlmodd.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mnringlmodd.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
mnringlmodd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LMod)

Proof of Theorem mnringlmodd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringlmodd.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 fvexd 6861 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘€) ∈ V)
3 eqid 2733 . . . 4 (𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)) = (𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))
43frlmlmod 21178 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Baseβ€˜π‘€) ∈ V) β†’ (𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)) ∈ LMod)
51, 2, 4syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)) ∈ LMod)
6 eqidd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))
7 mnringlmodd.1 . . . 4 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
8 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
9 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)))
10 mnringlmodd.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
117, 8, 3, 9, 1, 10mnringbased 42583 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) = (Baseβ€˜πΉ))
127, 8, 3, 1, 10mnringaddgd 42589 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) = (+gβ€˜πΉ))
1312oveqdr 7389 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦))
143frlmsca 21182 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Baseβ€˜π‘€) ∈ V) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))
151, 2, 14syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))
167, 1, 10mnringscad 42594 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
17 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
187, 8, 3, 1, 10mnringvscad 42596 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) = ( ·𝑠 β€˜πΉ))
1918oveqdr 7389 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)))𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΉ)𝑦))
206, 11, 13, 15, 16, 17, 19lmodpropd 20429 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)) ∈ LMod ↔ 𝐹 ∈ LMod))
215, 20mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Ringcrg 19972  LModclmod 20365   freeLMod cfrlm 21175   MndRing cmnring 42578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mnring 42579
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42600
  Copyright terms: Public domain W3C validator