MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absdvdsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absdvdsb 15465
Description: An integer divides another iff its absolute value does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
absdvdsb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))

Proof of Theorem absdvdsb
StepHypRef Expression
1 breq1 4971 . . . 4 ((abs‘𝑀) = 𝑀 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁𝑀𝑁))
21bicomd 224 . . 3 ((abs‘𝑀) = 𝑀 → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
32a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = 𝑀 → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁)))
4 negdvdsb 15463 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ -𝑀𝑁))
5 breq1 4971 . . . . 5 ((abs‘𝑀) = -𝑀 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ -𝑀𝑁))
65bicomd 224 . . . 4 ((abs‘𝑀) = -𝑀 → (-𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
74, 6sylan9bb 510 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = -𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
87ex 413 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = -𝑀 → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁)))
9 zre 11839 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
109absord 14613 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀))
1110adantr 481 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀))
123, 8, 11mpjaod 855 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1525  wcel 2083   class class class wbr 4968  cfv 6232  -cneg 10724  cz 11835  abscabs 14431  cdvds 15444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445
This theorem is referenced by:  dvdsleabs2  15499  divalglem9  15589  gcd0id  15704  dvdssq  15744  lcmdvds  15785  lcmgcdeq  15789  pc2dvds  16048  prmirredlem  20326  dvdsabsmod0  39090  nznngen  40207
  Copyright terms: Public domain W3C validator