Theorem nngt0 12199

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12172	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11663	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11137	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11229	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  nnnle0  12201  nngt0i  12207  nnsub  12212  nngt0d  12217  nnrecl  12426  nn0ge0  12453  0mnnnnn0  12460  elnnnn0b  12472  nn0sub  12478  elnnz  12525  nnm1ge0  12588  gtndiv  12597  elpq  12916  elpqb  12917  rpnnen1lem2  12918  rpnnen1lem1  12919  rpnnen1lem3  12920  rpnnen1lem5  12922  nnrp  12945  nnledivrp  13047  qbtwnre  13142  fzo1fzo0n0  13661  ubmelfzo  13676  elfznelfzo  13719  adddivflid  13768  flltdivnn0lt  13783  quoremz  13805  quoremnn0ALT  13807  intfracq  13809  fldiv  13810  expnnval  14017  nnlesq  14158  expnngt1  14194  faclbnd  14243  bc0k  14264  ccatval21sw  14539  ccats1pfxeqrex  14668  harmonic  15815  nndivdvds  16221  evennn2n  16311  nnoddm1d2  16346  ndvdssub  16369  ndvdsadd  16370  nn0rppwr  16521  sqgcd  16522  nn0expgcd  16524  lcmgcdlem  16566  qredeu  16618  isprm5  16668  divdenle  16710  hashgcdlem  16749  oddprm  16772  pythagtriplem12  16788  pythagtriplem13  16789  pythagtriplem14  16790  pythagtriplem16  16792  pythagtriplem19  16795  pc2dvds  16841  fldivp1  16859  prmreclem3  16880  prmgaplem7  17019  mulgnn  19042  mulgnegnn  19051  odmodnn0  19506  prmirredlem  21462  znidomb  21551  fvmptnn04if  22824  chfacfscmul0  22833  chfacfpmmul0  22837  dyadss  25571  volivth  25584  vitali  25590  mbfi1fseqlem3  25694  itg2gt0  25737  idomrootle  26148  dgrcolem2  26249  logtayllem  26636  leibpi  26919  eldmgm  26999  basellem6  27063  muinv  27170  logfac2  27194  bcmono  27254  bposlem5  27265  bposlem6  27266  lgsval4a  27296  gausslemma2dlem1a  27342  ostth2lem1  27595  ostth2lem3  27612  clwwlkf1  30134  clwwlknonccat  30181  minvecolem3  30962  xnn0gt0  32857  tgoldbachgtda  34821  subfaclim  35386  subfacval3  35387  snmlff  35527  nn0prpwlem  36520  nndivsub  36655  nndivlub  36656  poimirlem32  37987  fzmul  38076  negn0nposznnd  42728  fimgmcyc  42993  irrapxlem1  43268  irrapxlem2  43269  pellexlem1  43275  monotoddzzfi  43388  rmynn  43402  jm2.24nn  43405  jm2.17c  43408  congabseq  43420  jm2.20nn  43443  rmydioph  43460  dgrsub2  43581  rp-isfinite6  43963  rexanuz2nf  45938  stoweidlem17  46463  stoweidlem49  46495  wallispilem4  46514  stirlinglem6  46525  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  fourierdlem73  46625  fourierdlem111  46663  2ffzoeq  47788  modlt0b  47829  iccpartltu  47897  fmtnosqrt  48014  2pwp1prm  48064  nneven  48186