Theorem nngt0 12276

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11764	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11242	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11240	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11332	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   < clt 11274   ≤ cle 11275  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  nnnle0  12278  nngt0i  12284  nnsub  12289  nngt0d  12294  nnrecl  12504  nn0ge0  12531  0mnnnnn0  12538  elnnnn0b  12550  nn0sub  12556  elnnz  12603  nnm1ge0  12666  gtndiv  12675  elpq  12996  elpqb  12997  rpnnen1lem2  12998  rpnnen1lem1  12999  rpnnen1lem3  13000  rpnnen1lem5  13002  nnrp  13025  nnledivrp  13126  qbtwnre  13220  fzo1fzo0n0  13736  ubmelfzo  13751  elfznelfzo  13793  adddivflid  13840  flltdivnn0lt  13855  quoremz  13877  quoremnn0ALT  13879  intfracq  13881  fldiv  13882  expnnval  14087  nnlesq  14228  expnngt1  14264  faclbnd  14313  bc0k  14334  ccatval21sw  14608  ccats1pfxeqrex  14738  harmonic  15880  nndivdvds  16286  evennn2n  16375  nnoddm1d2  16410  ndvdssub  16433  ndvdsadd  16434  nn0rppwr  16585  sqgcd  16586  nn0expgcd  16588  lcmgcdlem  16630  qredeu  16682  isprm5  16731  divdenle  16773  hashgcdlem  16812  oddprm  16835  pythagtriplem12  16851  pythagtriplem13  16852  pythagtriplem14  16853  pythagtriplem16  16855  pythagtriplem19  16858  pc2dvds  16904  fldivp1  16922  prmreclem3  16943  prmgaplem7  17082  mulgnn  19063  mulgnegnn  19072  odmodnn0  19526  prmirredlem  21438  znidomb  21527  fvmptnn04if  22792  chfacfscmul0  22801  chfacfpmmul0  22805  dyadss  25552  volivth  25565  vitali  25571  mbfi1fseqlem3  25675  itg2gt0  25718  idomrootle  26135  dgrcolem2  26237  logtayllem  26625  leibpi  26909  eldmgm  26989  basellem6  27053  muinv  27160  logfac2  27185  bcmono  27245  bposlem5  27256  bposlem6  27257  lgsval4a  27287  gausslemma2dlem1a  27333  ostth2lem1  27586  ostth2lem3  27603  clwwlkf1  30035  clwwlknonccat  30082  minvecolem3  30862  xnn0gt0  32751  tgoldbachgtda  34698  subfaclim  35215  subfacval3  35216  snmlff  35356  nn0prpwlem  36345  nndivsub  36480  nndivlub  36481  poimirlem32  37681  fzmul  37770  negn0nposznnd  42299  fimgmcyc  42524  irrapxlem1  42812  irrapxlem2  42813  pellexlem1  42819  monotoddzzfi  42933  rmynn  42947  jm2.24nn  42950  jm2.17c  42953  congabseq  42965  jm2.20nn  42988  rmydioph  43005  dgrsub2  43126  rp-isfinite6  43509  rexanuz2nf  45486  stoweidlem17  46013  stoweidlem49  46045  wallispilem4  46064  stirlinglem6  46075  stirlinglem7  46076  stirlinglem10  46079  fourierdlem73  46175  fourierdlem111  46213  2ffzoeq  47323  iccpartltu  47406  fmtnosqrt  47520  2pwp1prm  47570  nneven  47679