Theorem nngt0 12278

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12251	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11747	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11221	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11219	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11313	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245

This theorem is used by:  nnnle0  12280  nngt0i  12286  nnsub  12291  nngt0d  12296  nnrecl  12513  nn0ge0  12540  0mnnnnn0  12547  elnnnn0b  12559  nn0sub  12565  elnnz  12612  nnm1ge0  12675  gtndiv  12684  elpq  13010  elpqb  13011  rpnnen1lem2  13012  rpnnen1lem1  13013  rpnnen1lem3  13014  rpnnen1lem5  13016  nnrp  13039  nnledivrp  13141  qbtwnre  13236  fzo1fzo0n0  13756  ubmelfzo  13771  elfznelfzo  13814  adddivflid  13864  flltdivnn0lt  13879  quoremz  13901  quoremnn0ALT  13903  intfracq  13905  fldiv  13906  expnnval  14113  nnlesq  14254  expnngt1  14290  faclbnd  14339  bc0k  14360  ccatval21sw  14636  ccats1pfxeqrex  14769  harmonic  15931  nndivdvds  16336  evennn2n  16426  nnoddm1d2  16461  ndvdssub  16484  ndvdsadd  16485  nn0rppwr  16636  sqgcd  16637  nn0expgcd  16639  lcmgcdlem  16681  qredeu  16733  isprm5  16783  divdenle  16825  hashgcdlem  16864  oddprm  16887  pythagtriplem12  16903  pythagtriplem13  16904  pythagtriplem14  16905  pythagtriplem16  16907  pythagtriplem19  16910  pc2dvds  16956  fldivp1  16974  prmreclem3  16995  prmgaplem7  17134  mulgnn  19164  mulgnegnn  19173  odmodnn0  19633  prmirredlem  21651  znidomb  21740  fvmptnn04if  23035  chfacfscmul0  23044  chfacfpmmul0  23048  dyadss  25782  volivth  25795  vitali  25801  mbfi1fseqlem3  25905  itg2gt0  25948  idomrootle  26359  dgrcolem2  26460  logtayllem  26853  leibpi  27136  eldmgm  27215  basellem6  27279  muinv  27386  logfac2  27410  bcmono  27470  bposlem5  27481  bposlem6  27482  lgsval4a  27512  gausslemma2dlem1a  27558  ostth2lem1  27811  ostth2lem3  27828  clwwlkf1  30429  clwwlknonccat  30476  minvecolem3  31257  xnn0gt0  33143  tgoldbachgtda  35072  subfaclim  35693  subfacval3  35694  snmlff  35834  nn0prpwlem  36866  nndivsub  37001  nndivlub  37002  poimirlem32  38336  fzmul  38425  negn0nposznnd  43076  fimgmcyc  43335  irrapxlem1  43582  irrapxlem2  43583  pellexlem1  43589  monotoddzzfi  43702  rmynn  43716  jm2.24nn  43719  jm2.17c  43722  congabseq  43734  jm2.20nn  43757  rmydioph  43774  dgrsub2  43895  rp-isfinite6  44277  rexanuz2nf  46239  stoweidlem17  46764  stoweidlem49  46796  wallispilem4  46815  stirlinglem6  46826  stirlinglem7  46827  stirlinglem10  46830  fourierdlem73  46926  fourierdlem111  46964  2ffzoeq  48098  modlt0b  48139  iccpartltu  48207  fmtnosqrt  48324  2pwp1prm  48374  nneven  48496