Theorem nngt0 12263

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11732	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11206	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11298	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1477	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230

This theorem is referenced by:  nnnle0  12265  nngt0i  12271  nnsub  12276  nngt0d  12281  nnrecl  12498  nn0ge0  12525  0mnnnnn0  12532  elnnnn0b  12544  nn0sub  12550  elnnz  12597  nnm1ge0  12660  gtndiv  12669  elpq  12995  elpqb  12996  rpnnen1lem2  12997  rpnnen1lem1  12998  rpnnen1lem3  12999  rpnnen1lem5  13001  nnrp  13024  nnledivrp  13126  qbtwnre  13221  fzo1fzo0n0  13740  ubmelfzo  13755  elfznelfzo  13798  adddivflid  13847  flltdivnn0lt  13862  quoremz  13884  quoremnn0ALT  13886  intfracq  13888  fldiv  13889  expnnval  14096  nnlesq  14237  expnngt1  14273  faclbnd  14322  bc0k  14343  ccatval21sw  14619  ccats1pfxeqrex  14748  harmonic  15909  nndivdvds  16315  evennn2n  16405  nnoddm1d2  16440  ndvdssub  16463  ndvdsadd  16464  nn0rppwr  16615  sqgcd  16616  nn0expgcd  16618  lcmgcdlem  16660  qredeu  16712  isprm5  16762  divdenle  16804  hashgcdlem  16843  oddprm  16866  pythagtriplem12  16882  pythagtriplem13  16883  pythagtriplem14  16884  pythagtriplem16  16886  pythagtriplem19  16889  pc2dvds  16935  fldivp1  16953  prmreclem3  16974  prmgaplem7  17113  mulgnn  19137  mulgnegnn  19146  odmodnn0  19606  prmirredlem  21587  znidomb  21676  fvmptnn04if  22971  chfacfscmul0  22980  chfacfpmmul0  22984  dyadss  25718  volivth  25731  vitali  25737  mbfi1fseqlem3  25841  itg2gt0  25884  idomrootle  26295  dgrcolem2  26396  logtayllem  26786  leibpi  27069  eldmgm  27148  basellem6  27212  muinv  27319  logfac2  27343  bcmono  27403  bposlem5  27414  bposlem6  27415  lgsval4a  27445  gausslemma2dlem1a  27491  ostth2lem1  27744  ostth2lem3  27761  clwwlkf1  30337  clwwlknonccat  30384  minvecolem3  31165  xnn0gt0  33051  tgoldbachgtda  34989  subfaclim  35575  subfacval3  35576  snmlff  35716  nn0prpwlem  36718  nndivsub  36853  nndivlub  36854  poimirlem32  38186  fzmul  38275  negn0nposznnd  42926  fimgmcyc  43187  irrapxlem1  43434  irrapxlem2  43435  pellexlem1  43441  monotoddzzfi  43554  rmynn  43568  jm2.24nn  43571  jm2.17c  43574  congabseq  43586  jm2.20nn  43609  rmydioph  43626  dgrsub2  43747  rp-isfinite6  44129  rexanuz2nf  46091  stoweidlem17  46616  stoweidlem49  46648  wallispilem4  46667  stirlinglem6  46678  stirlinglem7  46679  stirlinglem10  46682  fourierdlem73  46778  fourierdlem111  46816  2ffzoeq  47947  modlt0b  47988  iccpartltu  48056  fmtnosqrt  48173  2pwp1prm  48223  nneven  48345