Theorem nngt0 12409

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11878	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11349	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11347	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11441	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376

This theorem is used by:  nnnle0  12411  nngt0i  12417  nnsub  12422  nngt0d  12427  nnrecl  12644  nn0ge0  12671  0mnnnnn0  12678  elnnnn0b  12690  nn0sub  12696  elnnz  12743  nnm1ge0  12807  gtndiv  12816  elpq  13143  elpqb  13144  rpnnen1lem2  13145  rpnnen1lem1  13146  rpnnen1lem3  13147  rpnnen1lem5  13149  nnrp  13172  nnledivrp  13274  qbtwnre  13369  fzo1fzo0n0  13890  ubmelfzo  13905  elfznelfzo  13948  adddivflid  13998  flltdivnn0lt  14013  quoremz  14035  quoremnn0ALT  14037  intfracq  14039  fldiv  14040  expnnval  14247  nnlesq  14389  expnngt1  14426  faclbnd  14475  bc0k  14496  ccatval21sw  14772  ccats1pfxeqrex  14906  harmonic  16072  nndivdvds  16475  evennn2n  16565  nnoddm1d2  16600  ndvdssub  16623  ndvdsadd  16624  nn0rppwr  16779  sqgcd  16780  nn0expgcd  16782  lcmgcdlem  16825  qredeu  16877  isprm5  16927  divdenle  16969  hashgcdlem  17009  oddprm  17032  pythagtriplem12  17048  pythagtriplem13  17049  pythagtriplem14  17050  pythagtriplem16  17052  pythagtriplem19  17055  pc2dvds  17101  fldivp1  17119  prmreclem3  17140  prmgaplem7  17279  mulgnn  19335  mulgnegnn  19344  odmodnn0  19805  prmirredlem  21833  znidomb  21922  fvmptnn04if  23222  chfacfscmul0  23231  chfacfpmmul0  23235  dyadss  25970  volivth  25983  vitali  25989  mbfi1fseqlem3  26093  itg2gt0  26136  idomrootle  26546  dgrcolem2  26648  logtayllem  27044  leibpi  27327  eldmgm  27406  basellem6  27470  muinv  27577  logfac2  27601  bcmono  27661  bposlem5  27672  bposlem6  27673  lgsval4a  27703  gausslemma2dlem1a  27749  ostth2lem1  28002  ostth2lem3  28019  clwwlkf1  30697  clwwlknonccat  30744  minvecolem3  31535  xnn0gt0  33457  tgoldbachgtda  35401  subfaclim  36161  subfacval3  36162  snmlff  36302  nn0prpwlem  37325  nndivsub  37460  nndivlub  37461  poimirlem32  38838  fzmul  38941  negn0nposznnd  43605  fimgmcyc  43864  irrapxlem1  44095  irrapxlem2  44096  pellexlem1  44102  monotoddzzfi  44215  rmynn  44229  jm2.24nn  44232  jm2.17c  44235  congabseq  44247  jm2.20nn  44270  rmydioph  44287  dgrsub2  44402  rp-isfinite6  44780  rexanuz2nf  46775  stoweidlem17  47300  stoweidlem49  47332  wallispilem4  47351  stirlinglem6  47362  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  fourierdlem73  47462  fourierdlem111  47500  2ffzoeq  48671  modlt0b  48712  iccpartltu  48780  fmtnosqrt  48897  2pwp1prm  48947  nneven  49069