Theorem nngt0 12156

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11639	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11114	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11112	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11205	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nnnle0  12158  nngt0i  12164  nnsub  12169  nngt0d  12174  nnrecl  12379  nn0ge0  12406  0mnnnnn0  12413  elnnnn0b  12425  nn0sub  12431  elnnz  12478  nnm1ge0  12541  gtndiv  12550  elpq  12873  elpqb  12874  rpnnen1lem2  12875  rpnnen1lem1  12876  rpnnen1lem3  12877  rpnnen1lem5  12879  nnrp  12902  nnledivrp  13004  qbtwnre  13098  fzo1fzo0n0  13615  ubmelfzo  13630  elfznelfzo  13673  adddivflid  13722  flltdivnn0lt  13737  quoremz  13759  quoremnn0ALT  13761  intfracq  13763  fldiv  13764  expnnval  13971  nnlesq  14112  expnngt1  14148  faclbnd  14197  bc0k  14218  ccatval21sw  14493  ccats1pfxeqrex  14622  harmonic  15766  nndivdvds  16172  evennn2n  16262  nnoddm1d2  16297  ndvdssub  16320  ndvdsadd  16321  nn0rppwr  16472  sqgcd  16473  nn0expgcd  16475  lcmgcdlem  16517  qredeu  16569  isprm5  16618  divdenle  16660  hashgcdlem  16699  oddprm  16722  pythagtriplem12  16738  pythagtriplem13  16739  pythagtriplem14  16740  pythagtriplem16  16742  pythagtriplem19  16745  pc2dvds  16791  fldivp1  16809  prmreclem3  16830  prmgaplem7  16969  mulgnn  18988  mulgnegnn  18997  odmodnn0  19453  prmirredlem  21410  znidomb  21499  fvmptnn04if  22765  chfacfscmul0  22774  chfacfpmmul0  22778  dyadss  25523  volivth  25536  vitali  25542  mbfi1fseqlem3  25646  itg2gt0  25689  idomrootle  26106  dgrcolem2  26208  logtayllem  26596  leibpi  26880  eldmgm  26960  basellem6  27024  muinv  27131  logfac2  27156  bcmono  27216  bposlem5  27227  bposlem6  27228  lgsval4a  27258  gausslemma2dlem1a  27304  ostth2lem1  27557  ostth2lem3  27574  clwwlkf1  30027  clwwlknonccat  30074  minvecolem3  30854  xnn0gt0  32750  tgoldbachgtda  34672  subfaclim  35230  subfacval3  35231  snmlff  35371  nn0prpwlem  36362  nndivsub  36497  nndivlub  36498  poimirlem32  37698  fzmul  37787  negn0nposznnd  42321  fimgmcyc  42573  irrapxlem1  42861  irrapxlem2  42862  pellexlem1  42868  monotoddzzfi  42981  rmynn  42995  jm2.24nn  42998  jm2.17c  43001  congabseq  43013  jm2.20nn  43036  rmydioph  43053  dgrsub2  43174  rp-isfinite6  43557  rexanuz2nf  45536  stoweidlem17  46061  stoweidlem49  46093  wallispilem4  46112  stirlinglem6  46123  stirlinglem7  46124  stirlinglem10  46127  fourierdlem73  46223  fourierdlem111  46261  2ffzoeq  47364  modlt0b  47400  iccpartltu  47462  fmtnosqrt  47576  2pwp1prm  47626  nneven  47735