Theorem nngt0 12268

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11737	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11211	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11209	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11303	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235

This theorem is referenced by:  nnnle0  12270  nngt0i  12276  nnsub  12281  nngt0d  12286  nnrecl  12503  nn0ge0  12530  0mnnnnn0  12537  elnnnn0b  12549  nn0sub  12555  elnnz  12602  nnm1ge0  12665  gtndiv  12674  elpq  13000  elpqb  13001  rpnnen1lem2  13002  rpnnen1lem1  13003  rpnnen1lem3  13004  rpnnen1lem5  13006  nnrp  13029  nnledivrp  13131  qbtwnre  13226  fzo1fzo0n0  13746  ubmelfzo  13761  elfznelfzo  13804  adddivflid  13853  flltdivnn0lt  13868  quoremz  13890  quoremnn0ALT  13892  intfracq  13894  fldiv  13895  expnnval  14102  nnlesq  14243  expnngt1  14279  faclbnd  14328  bc0k  14349  ccatval21sw  14625  ccats1pfxeqrex  14754  harmonic  15915  nndivdvds  16320  evennn2n  16410  nnoddm1d2  16445  ndvdssub  16468  ndvdsadd  16469  nn0rppwr  16620  sqgcd  16621  nn0expgcd  16623  lcmgcdlem  16665  qredeu  16717  isprm5  16767  divdenle  16809  hashgcdlem  16848  oddprm  16871  pythagtriplem12  16887  pythagtriplem13  16888  pythagtriplem14  16889  pythagtriplem16  16891  pythagtriplem19  16894  pc2dvds  16940  fldivp1  16958  prmreclem3  16979  prmgaplem7  17118  mulgnn  19142  mulgnegnn  19151  odmodnn0  19611  prmirredlem  21603  znidomb  21692  fvmptnn04if  22987  chfacfscmul0  22996  chfacfpmmul0  23000  dyadss  25734  volivth  25747  vitali  25753  mbfi1fseqlem3  25857  itg2gt0  25900  idomrootle  26311  dgrcolem2  26412  logtayllem  26805  leibpi  27088  eldmgm  27167  basellem6  27231  muinv  27338  logfac2  27362  bcmono  27422  bposlem5  27433  bposlem6  27434  lgsval4a  27464  gausslemma2dlem1a  27510  ostth2lem1  27763  ostth2lem3  27780  clwwlkf1  30381  clwwlknonccat  30428  minvecolem3  31209  xnn0gt0  33095  tgoldbachgtda  35029  subfaclim  35661  subfacval3  35662  snmlff  35802  nn0prpwlem  36814  nndivsub  36949  nndivlub  36950  poimirlem32  38284  fzmul  38373  negn0nposznnd  43024  fimgmcyc  43285  irrapxlem1  43532  irrapxlem2  43533  pellexlem1  43539  monotoddzzfi  43652  rmynn  43666  jm2.24nn  43669  jm2.17c  43672  congabseq  43684  jm2.20nn  43707  rmydioph  43724  dgrsub2  43845  rp-isfinite6  44227  rexanuz2nf  46189  stoweidlem17  46714  stoweidlem49  46746  wallispilem4  46765  stirlinglem6  46776  stirlinglem7  46777  stirlinglem10  46780  fourierdlem73  46876  fourierdlem111  46914  2ffzoeq  48048  modlt0b  48089  iccpartltu  48157  fmtnosqrt  48274  2pwp1prm  48324  nneven  48446