MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0 11660
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 11636 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnge1 11657 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3 0lt1 11155 . . 3 0 < 1
4 0re 10636 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 1re 10634 . . . 4 1 ∈ ℝ
6 ltletr 10725 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1448 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 695 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
91, 2, 8sylc 65 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112   class class class wbr 5033  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   < clt 10668  cle 10669  cn 11629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630
This theorem is referenced by:  nnnle0  11662  nngt0i  11668  nnsub  11673  nngt0d  11678  nnrecl  11887  nn0ge0  11914  0mnnnnn0  11921  elnnnn0b  11933  nn0sub  11939  elnnz  11983  nnm1ge0  12042  gtndiv  12051  elpq  12366  elpqb  12367  rpnnen1lem2  12368  rpnnen1lem1  12369  rpnnen1lem3  12370  rpnnen1lem5  12372  nnrp  12392  nnledivrp  12493  qbtwnre  12584  fzo1fzo0n0  13087  ubmelfzo  13101  elfznelfzo  13141  adddivflid  13187  flltdivnn0lt  13202  quoremz  13222  quoremnn0ALT  13224  intfracq  13226  fldiv  13227  expnnval  13432  nnlesq  13568  expnngt1  13602  faclbnd  13650  bc0k  13671  ccatval21sw  13934  ccats1pfxeqrex  14072  harmonic  15210  nndivdvds  15612  evennn2n  15696  nnoddm1d2  15731  ndvdssub  15754  ndvdsadd  15755  sqgcd  15903  lcmgcdlem  15944  qredeu  15996  isprm5  16045  divdenle  16083  hashgcdlem  16119  oddprm  16141  pythagtriplem12  16157  pythagtriplem13  16158  pythagtriplem14  16159  pythagtriplem16  16161  pythagtriplem19  16164  pc2dvds  16209  fldivp1  16227  prmreclem3  16248  prmgaplem7  16387  mulgnn  18228  mulgnegnn  18234  odmodnn0  18664  prmirredlem  20190  znidomb  20257  fvmptnn04if  21458  chfacfscmul0  21467  chfacfpmmul0  21471  dyadss  24202  volivth  24215  vitali  24221  mbfi1fseqlem3  24325  itg2gt0  24368  dgrcolem2  24875  logtayllem  25254  leibpi  25532  eldmgm  25611  basellem6  25675  muinv  25782  logfac2  25805  bcmono  25865  bposlem5  25876  bposlem6  25877  lgsval4a  25907  gausslemma2dlem1a  25953  ostth2lem1  26206  ostth2lem3  26223  clwwlkf1  27838  clwwlknonccat  27885  minvecolem3  28663  xnn0gt0  30524  tgoldbachgtda  32046  subfaclim  32549  subfacval3  32550  snmlff  32690  nn0prpwlem  33784  nndivsub  33919  nndivlub  33920  poimirlem32  35088  fzmul  35178  factwoffsmonot  39381  negn0nposznnd  39469  nn0rppwr  39483  nn0expgcd  39485  irrapxlem1  39756  irrapxlem2  39757  pellexlem1  39763  monotoddzzfi  39876  rmynn  39890  jm2.24nn  39893  jm2.17c  39896  congabseq  39908  jm2.20nn  39931  rmydioph  39948  dgrsub2  40072  idomrootle  40132  rp-isfinite6  40219  stoweidlem17  42652  stoweidlem49  42684  wallispilem4  42703  stirlinglem6  42714  stirlinglem7  42715  stirlinglem10  42718  fourierdlem73  42814  fourierdlem111  42852  2ffzoeq  43878  iccpartltu  43935  fmtnosqrt  44049  2pwp1prm  44099  nneven  44209
  Copyright terms: Public domain W3C validator