Theorem nngt0 12373

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11842	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11314	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11312	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11406	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   < clt 11347   ≤ cle 11348  ℕcn 12339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340

This theorem is used by:  nnnle0  12375  nngt0i  12381  nnsub  12386  nngt0d  12391  nnrecl  12608  nn0ge0  12635  0mnnnnn0  12642  elnnnn0b  12654  nn0sub  12660  elnnz  12707  nnm1ge0  12771  gtndiv  12780  elpq  13107  elpqb  13108  rpnnen1lem2  13109  rpnnen1lem1  13110  rpnnen1lem3  13111  rpnnen1lem5  13113  nnrp  13136  nnledivrp  13238  qbtwnre  13333  fzo1fzo0n0  13854  ubmelfzo  13869  elfznelfzo  13912  adddivflid  13962  flltdivnn0lt  13977  quoremz  13999  quoremnn0ALT  14001  intfracq  14003  fldiv  14004  expnnval  14211  nnlesq  14353  expnngt1  14389  faclbnd  14438  bc0k  14459  ccatval21sw  14735  ccats1pfxeqrex  14869  harmonic  16034  nndivdvds  16437  evennn2n  16527  nnoddm1d2  16562  ndvdssub  16585  ndvdsadd  16586  nn0rppwr  16741  sqgcd  16742  nn0expgcd  16744  lcmgcdlem  16787  qredeu  16839  isprm5  16889  divdenle  16931  hashgcdlem  16971  oddprm  16994  pythagtriplem12  17010  pythagtriplem13  17011  pythagtriplem14  17012  pythagtriplem16  17014  pythagtriplem19  17017  pc2dvds  17063  fldivp1  17081  prmreclem3  17102  prmgaplem7  17241  mulgnn  19291  mulgnegnn  19300  odmodnn0  19760  prmirredlem  21784  znidomb  21873  fvmptnn04if  23173  chfacfscmul0  23182  chfacfpmmul0  23186  dyadss  25921  volivth  25934  vitali  25940  mbfi1fseqlem3  26044  itg2gt0  26087  idomrootle  26497  dgrcolem2  26599  logtayllem  26993  leibpi  27276  eldmgm  27355  basellem6  27419  muinv  27526  logfac2  27550  bcmono  27610  bposlem5  27621  bposlem6  27622  lgsval4a  27652  gausslemma2dlem1a  27698  ostth2lem1  27951  ostth2lem3  27968  clwwlkf1  30646  clwwlknonccat  30693  minvecolem3  31484  xnn0gt0  33408  tgoldbachgtda  35337  subfaclim  36040  subfacval3  36041  snmlff  36181  nn0prpwlem  37203  nndivsub  37338  nndivlub  37339  poimirlem32  38664  fzmul  38769  negn0nposznnd  43433  fimgmcyc  43692  irrapxlem1  43923  irrapxlem2  43924  pellexlem1  43930  monotoddzzfi  44043  rmynn  44057  jm2.24nn  44060  jm2.17c  44063  congabseq  44075  jm2.20nn  44098  rmydioph  44115  dgrsub2  44231  rp-isfinite6  44613  rexanuz2nf  46596  stoweidlem17  47121  stoweidlem49  47153  wallispilem4  47172  stirlinglem6  47183  stirlinglem7  47184  stirlinglem10  47187  fourierdlem73  47283  fourierdlem111  47321  2ffzoeq  48492  modlt0b  48533  iccpartltu  48601  fmtnosqrt  48718  2pwp1prm  48768  nneven  48890