Theorem nngt0 12281

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11773	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11253	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11251	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11343	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 694	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ℝcr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   < clt 11285   ≤ cle 11286  ℕcn 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251

This theorem is referenced by:  nnnle0  12283  nngt0i  12289  nnsub  12294  nngt0d  12299  nnrecl  12508  nn0ge0  12535  0mnnnnn0  12542  elnnnn0b  12554  nn0sub  12560  elnnz  12606  nnm1ge0  12668  gtndiv  12677  elpq  12997  elpqb  12998  rpnnen1lem2  12999  rpnnen1lem1  13000  rpnnen1lem3  13001  rpnnen1lem5  13003  nnrp  13025  nnledivrp  13126  qbtwnre  13218  fzo1fzo0n0  13723  ubmelfzo  13737  elfznelfzo  13778  adddivflid  13824  flltdivnn0lt  13839  quoremz  13861  quoremnn0ALT  13863  intfracq  13865  fldiv  13866  expnnval  14070  nnlesq  14209  expnngt1  14244  faclbnd  14290  bc0k  14311  ccatval21sw  14576  ccats1pfxeqrex  14706  harmonic  15846  nndivdvds  16248  evennn2n  16336  nnoddm1d2  16371  ndvdssub  16394  ndvdsadd  16395  sqgcd  16544  lcmgcdlem  16585  qredeu  16637  isprm5  16686  divdenle  16729  hashgcdlem  16765  oddprm  16787  pythagtriplem12  16803  pythagtriplem13  16804  pythagtriplem14  16805  pythagtriplem16  16807  pythagtriplem19  16810  pc2dvds  16856  fldivp1  16874  prmreclem3  16895  prmgaplem7  17034  mulgnn  19044  mulgnegnn  19052  odmodnn0  19512  prmirredlem  21420  znidomb  21517  fvmptnn04if  22800  chfacfscmul0  22809  chfacfpmmul0  22813  dyadss  25572  volivth  25585  vitali  25591  mbfi1fseqlem3  25696  itg2gt0  25739  idomrootle  26157  dgrcolem2  26259  logtayllem  26643  leibpi  26924  eldmgm  27004  basellem6  27068  muinv  27175  logfac2  27200  bcmono  27260  bposlem5  27271  bposlem6  27272  lgsval4a  27302  gausslemma2dlem1a  27348  ostth2lem1  27601  ostth2lem3  27618  clwwlkf1  29936  clwwlknonccat  29983  minvecolem3  30763  xnn0gt0  32626  tgoldbachgtda  34426  subfaclim  34931  subfacval3  34932  snmlff  35072  nn0prpwlem  35939  nndivsub  36074  nndivlub  36075  poimirlem32  37258  fzmul  37347  factwoffsmonot  41830  negn0nposznnd  41993  nn0rppwr  42030  nn0expgcd  42032  irrapxlem1  42386  irrapxlem2  42387  pellexlem1  42393  monotoddzzfi  42507  rmynn  42521  jm2.24nn  42524  jm2.17c  42527  congabseq  42539  jm2.20nn  42562  rmydioph  42579  dgrsub2  42703  rp-isfinite6  43092  rexanuz2nf  45015  stoweidlem17  45545  stoweidlem49  45577  wallispilem4  45596  stirlinglem6  45607  stirlinglem7  45608  stirlinglem10  45611  fourierdlem73  45707  fourierdlem111  45745  2ffzoeq  46847  iccpartltu  46904  fmtnosqrt  47018  2pwp1prm  47068  nneven  47177