Theorem nngt0 11826

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 11823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11319	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 10800	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10798	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 10889	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   < clt 10832   ≤ cle 10833  ℕcn 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796

This theorem is referenced by:  nnnle0  11828  nngt0i  11834  nnsub  11839  nngt0d  11844  nnrecl  12053  nn0ge0  12080  0mnnnnn0  12087  elnnnn0b  12099  nn0sub  12105  elnnz  12151  nnm1ge0  12210  gtndiv  12219  elpq  12536  elpqb  12537  rpnnen1lem2  12538  rpnnen1lem1  12539  rpnnen1lem3  12540  rpnnen1lem5  12542  nnrp  12562  nnledivrp  12663  qbtwnre  12754  fzo1fzo0n0  13258  ubmelfzo  13272  elfznelfzo  13312  adddivflid  13358  flltdivnn0lt  13373  quoremz  13393  quoremnn0ALT  13395  intfracq  13397  fldiv  13398  expnnval  13603  nnlesq  13739  expnngt1  13773  faclbnd  13821  bc0k  13842  ccatval21sw  14107  ccats1pfxeqrex  14245  harmonic  15386  nndivdvds  15787  evennn2n  15875  nnoddm1d2  15910  ndvdssub  15933  ndvdsadd  15934  sqgcd  16085  lcmgcdlem  16126  qredeu  16178  isprm5  16227  divdenle  16268  hashgcdlem  16304  oddprm  16326  pythagtriplem12  16342  pythagtriplem13  16343  pythagtriplem14  16344  pythagtriplem16  16346  pythagtriplem19  16349  pc2dvds  16395  fldivp1  16413  prmreclem3  16434  prmgaplem7  16573  mulgnn  18450  mulgnegnn  18456  odmodnn0  18886  prmirredlem  20413  znidomb  20480  fvmptnn04if  21700  chfacfscmul0  21709  chfacfpmmul0  21713  dyadss  24445  volivth  24458  vitali  24464  mbfi1fseqlem3  24569  itg2gt0  24612  dgrcolem2  25122  logtayllem  25501  leibpi  25779  eldmgm  25858  basellem6  25922  muinv  26029  logfac2  26052  bcmono  26112  bposlem5  26123  bposlem6  26124  lgsval4a  26154  gausslemma2dlem1a  26200  ostth2lem1  26453  ostth2lem3  26470  clwwlkf1  28086  clwwlknonccat  28133  minvecolem3  28911  xnn0gt0  30766  tgoldbachgtda  32307  subfaclim  32817  subfacval3  32818  snmlff  32958  nn0prpwlem  34197  nndivsub  34332  nndivlub  34333  poimirlem32  35495  fzmul  35585  factwoffsmonot  39826  negn0nposznnd  39958  nn0rppwr  39982  nn0expgcd  39984  irrapxlem1  40288  irrapxlem2  40289  pellexlem1  40295  monotoddzzfi  40408  rmynn  40422  jm2.24nn  40425  jm2.17c  40428  congabseq  40440  jm2.20nn  40463  rmydioph  40480  dgrsub2  40604  idomrootle  40664  rp-isfinite6  40751  stoweidlem17  43176  stoweidlem49  43208  wallispilem4  43227  stirlinglem6  43238  stirlinglem7  43239  stirlinglem10  43242  fourierdlem73  43338  fourierdlem111  43376  2ffzoeq  44436  iccpartltu  44493  fmtnosqrt  44607  2pwp1prm  44657  nneven  44766