Theorem nngt0 12188

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12185	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11671	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11237	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  nnnle0  12190  nngt0i  12196  nnsub  12201  nngt0d  12206  nnrecl  12411  nn0ge0  12438  0mnnnnn0  12445  elnnnn0b  12457  nn0sub  12463  elnnz  12510  nnm1ge0  12572  gtndiv  12581  elpq  12900  elpqb  12901  rpnnen1lem2  12902  rpnnen1lem1  12903  rpnnen1lem3  12904  rpnnen1lem5  12906  nnrp  12929  nnledivrp  13031  qbtwnre  13126  fzo1fzo0n0  13643  ubmelfzo  13658  elfznelfzo  13701  adddivflid  13750  flltdivnn0lt  13765  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  intfracq  13791  fldiv  13792  expnnval  13999  nnlesq  14140  expnngt1  14176  faclbnd  14225  bc0k  14246  ccatval21sw  14521  ccats1pfxeqrex  14650  harmonic  15794  nndivdvds  16200  evennn2n  16290  nnoddm1d2  16325  ndvdssub  16348  ndvdsadd  16349  nn0rppwr  16500  sqgcd  16501  nn0expgcd  16503  lcmgcdlem  16545  qredeu  16597  isprm5  16646  divdenle  16688  hashgcdlem  16727  oddprm  16750  pythagtriplem12  16766  pythagtriplem13  16767  pythagtriplem14  16768  pythagtriplem16  16770  pythagtriplem19  16773  pc2dvds  16819  fldivp1  16837  prmreclem3  16858  prmgaplem7  16997  mulgnn  19017  mulgnegnn  19026  odmodnn0  19481  prmirredlem  21439  znidomb  21528  fvmptnn04if  22805  chfacfscmul0  22814  chfacfpmmul0  22818  dyadss  25563  volivth  25576  vitali  25582  mbfi1fseqlem3  25686  itg2gt0  25729  idomrootle  26146  dgrcolem2  26248  logtayllem  26636  leibpi  26920  eldmgm  27000  basellem6  27064  muinv  27171  logfac2  27196  bcmono  27256  bposlem5  27267  bposlem6  27268  lgsval4a  27298  gausslemma2dlem1a  27344  ostth2lem1  27597  ostth2lem3  27614  clwwlkf1  30136  clwwlknonccat  30183  minvecolem3  30963  xnn0gt0  32859  tgoldbachgtda  34838  subfaclim  35401  subfacval3  35402  snmlff  35542  nn0prpwlem  36535  nndivsub  36670  nndivlub  36671  poimirlem32  37900  fzmul  37989  negn0nposznnd  42649  fimgmcyc  42901  irrapxlem1  43176  irrapxlem2  43177  pellexlem1  43183  monotoddzzfi  43296  rmynn  43310  jm2.24nn  43313  jm2.17c  43316  congabseq  43328  jm2.20nn  43351  rmydioph  43368  dgrsub2  43489  rp-isfinite6  43871  rexanuz2nf  45847  stoweidlem17  46372  stoweidlem49  46404  wallispilem4  46423  stirlinglem6  46434  stirlinglem7  46435  stirlinglem10  46438  fourierdlem73  46534  fourierdlem111  46572  2ffzoeq  47684  modlt0b  47720  iccpartltu  47782  fmtnosqrt  47896  2pwp1prm  47946  nneven  48055