Theorem nngt0 12165

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11648	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11123	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11121	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11214	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   < clt 11155   ≤ cle 11156  ℕcn 12134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135

This theorem is referenced by:  nnnle0  12167  nngt0i  12173  nnsub  12178  nngt0d  12183  nnrecl  12388  nn0ge0  12415  0mnnnnn0  12422  elnnnn0b  12434  nn0sub  12440  elnnz  12487  nnm1ge0  12549  gtndiv  12558  elpq  12877  elpqb  12878  rpnnen1lem2  12879  rpnnen1lem1  12880  rpnnen1lem3  12881  rpnnen1lem5  12883  nnrp  12906  nnledivrp  13008  qbtwnre  13102  fzo1fzo0n0  13619  ubmelfzo  13634  elfznelfzo  13677  adddivflid  13726  flltdivnn0lt  13741  quoremz  13763  quoremnn0ALT  13765  intfracq  13767  fldiv  13768  expnnval  13975  nnlesq  14116  expnngt1  14152  faclbnd  14201  bc0k  14222  ccatval21sw  14497  ccats1pfxeqrex  14626  harmonic  15770  nndivdvds  16176  evennn2n  16266  nnoddm1d2  16301  ndvdssub  16324  ndvdsadd  16325  nn0rppwr  16476  sqgcd  16477  nn0expgcd  16479  lcmgcdlem  16521  qredeu  16573  isprm5  16622  divdenle  16664  hashgcdlem  16703  oddprm  16726  pythagtriplem12  16742  pythagtriplem13  16743  pythagtriplem14  16744  pythagtriplem16  16746  pythagtriplem19  16749  pc2dvds  16795  fldivp1  16813  prmreclem3  16834  prmgaplem7  16973  mulgnn  18992  mulgnegnn  19001  odmodnn0  19456  prmirredlem  21413  znidomb  21502  fvmptnn04if  22767  chfacfscmul0  22776  chfacfpmmul0  22780  dyadss  25525  volivth  25538  vitali  25544  mbfi1fseqlem3  25648  itg2gt0  25691  idomrootle  26108  dgrcolem2  26210  logtayllem  26598  leibpi  26882  eldmgm  26962  basellem6  27026  muinv  27133  logfac2  27158  bcmono  27218  bposlem5  27229  bposlem6  27230  lgsval4a  27260  gausslemma2dlem1a  27306  ostth2lem1  27559  ostth2lem3  27576  clwwlkf1  30033  clwwlknonccat  30080  minvecolem3  30860  xnn0gt0  32758  tgoldbachgtda  34697  subfaclim  35255  subfacval3  35256  snmlff  35396  nn0prpwlem  36389  nndivsub  36524  nndivlub  36525  poimirlem32  37715  fzmul  37804  negn0nposznnd  42403  fimgmcyc  42655  irrapxlem1  42942  irrapxlem2  42943  pellexlem1  42949  monotoddzzfi  43062  rmynn  43076  jm2.24nn  43079  jm2.17c  43082  congabseq  43094  jm2.20nn  43117  rmydioph  43134  dgrsub2  43255  rp-isfinite6  43638  rexanuz2nf  45617  stoweidlem17  46142  stoweidlem49  46174  wallispilem4  46193  stirlinglem6  46204  stirlinglem7  46205  stirlinglem10  46208  fourierdlem73  46304  fourierdlem111  46342  2ffzoeq  47454  modlt0b  47490  iccpartltu  47552  fmtnosqrt  47666  2pwp1prm  47716  nneven  47825