Theorem nngt0 12295

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11783	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11259	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11351	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265

This theorem is referenced by:  nnnle0  12297  nngt0i  12303  nnsub  12308  nngt0d  12313  nnrecl  12522  nn0ge0  12549  0mnnnnn0  12556  elnnnn0b  12568  nn0sub  12574  elnnz  12621  nnm1ge0  12684  gtndiv  12693  elpq  13015  elpqb  13016  rpnnen1lem2  13017  rpnnen1lem1  13018  rpnnen1lem3  13019  rpnnen1lem5  13021  nnrp  13044  nnledivrp  13145  qbtwnre  13238  fzo1fzo0n0  13751  ubmelfzo  13766  elfznelfzo  13808  adddivflid  13855  flltdivnn0lt  13870  quoremz  13892  quoremnn0ALT  13894  intfracq  13896  fldiv  13897  expnnval  14102  nnlesq  14241  expnngt1  14277  faclbnd  14326  bc0k  14347  ccatval21sw  14620  ccats1pfxeqrex  14750  harmonic  15892  nndivdvds  16296  evennn2n  16385  nnoddm1d2  16420  ndvdssub  16443  ndvdsadd  16444  nn0rppwr  16595  sqgcd  16596  nn0expgcd  16598  lcmgcdlem  16640  qredeu  16692  isprm5  16741  divdenle  16783  hashgcdlem  16822  oddprm  16844  pythagtriplem12  16860  pythagtriplem13  16861  pythagtriplem14  16862  pythagtriplem16  16864  pythagtriplem19  16867  pc2dvds  16913  fldivp1  16931  prmreclem3  16952  prmgaplem7  17091  mulgnn  19106  mulgnegnn  19115  odmodnn0  19573  prmirredlem  21501  znidomb  21598  fvmptnn04if  22871  chfacfscmul0  22880  chfacfpmmul0  22884  dyadss  25643  volivth  25656  vitali  25662  mbfi1fseqlem3  25767  itg2gt0  25810  idomrootle  26227  dgrcolem2  26329  logtayllem  26716  leibpi  27000  eldmgm  27080  basellem6  27144  muinv  27251  logfac2  27276  bcmono  27336  bposlem5  27347  bposlem6  27348  lgsval4a  27378  gausslemma2dlem1a  27424  ostth2lem1  27677  ostth2lem3  27694  clwwlkf1  30078  clwwlknonccat  30125  minvecolem3  30905  xnn0gt0  32780  tgoldbachgtda  34655  subfaclim  35173  subfacval3  35174  snmlff  35314  nn0prpwlem  36305  nndivsub  36440  nndivlub  36441  poimirlem32  37639  fzmul  37728  factwoffsmonot  42224  negn0nposznnd  42296  fimgmcyc  42521  irrapxlem1  42810  irrapxlem2  42811  pellexlem1  42817  monotoddzzfi  42931  rmynn  42945  jm2.24nn  42948  jm2.17c  42951  congabseq  42963  jm2.20nn  42986  rmydioph  43003  dgrsub2  43124  rp-isfinite6  43508  rexanuz2nf  45443  stoweidlem17  45973  stoweidlem49  46005  wallispilem4  46024  stirlinglem6  46035  stirlinglem7  46036  stirlinglem10  46039  fourierdlem73  46135  fourierdlem111  46173  2ffzoeq  47277  iccpartltu  47350  fmtnosqrt  47464  2pwp1prm  47514  nneven  47623