Theorem nngt0 12004

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12001	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11497	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 10978	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10976	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11067	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   < clt 11010   ≤ cle 11011  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  nnnle0  12006  nngt0i  12012  nnsub  12017  nngt0d  12022  nnrecl  12231  nn0ge0  12258  0mnnnnn0  12265  elnnnn0b  12277  nn0sub  12283  elnnz  12329  nnm1ge0  12388  gtndiv  12397  elpq  12714  elpqb  12715  rpnnen1lem2  12716  rpnnen1lem1  12717  rpnnen1lem3  12718  rpnnen1lem5  12720  nnrp  12740  nnledivrp  12841  qbtwnre  12932  fzo1fzo0n0  13436  ubmelfzo  13450  elfznelfzo  13490  adddivflid  13536  flltdivnn0lt  13551  quoremz  13573  quoremnn0ALT  13575  intfracq  13577  fldiv  13578  expnnval  13783  nnlesq  13920  expnngt1  13954  faclbnd  14002  bc0k  14023  ccatval21sw  14288  ccats1pfxeqrex  14426  harmonic  15569  nndivdvds  15970  evennn2n  16058  nnoddm1d2  16093  ndvdssub  16116  ndvdsadd  16117  sqgcd  16268  lcmgcdlem  16309  qredeu  16361  isprm5  16410  divdenle  16451  hashgcdlem  16487  oddprm  16509  pythagtriplem12  16525  pythagtriplem13  16526  pythagtriplem14  16527  pythagtriplem16  16529  pythagtriplem19  16532  pc2dvds  16578  fldivp1  16596  prmreclem3  16617  prmgaplem7  16756  mulgnn  18706  mulgnegnn  18712  odmodnn0  19146  prmirredlem  20692  znidomb  20767  fvmptnn04if  21996  chfacfscmul0  22005  chfacfpmmul0  22009  dyadss  24756  volivth  24769  vitali  24775  mbfi1fseqlem3  24880  itg2gt0  24923  dgrcolem2  25433  logtayllem  25812  leibpi  26090  eldmgm  26169  basellem6  26233  muinv  26340  logfac2  26363  bcmono  26423  bposlem5  26434  bposlem6  26435  lgsval4a  26465  gausslemma2dlem1a  26511  ostth2lem1  26764  ostth2lem3  26781  clwwlkf1  28409  clwwlknonccat  28456  minvecolem3  29234  xnn0gt0  31088  tgoldbachgtda  32637  subfaclim  33146  subfacval3  33147  snmlff  33287  nn0prpwlem  34507  nndivsub  34642  nndivlub  34643  poimirlem32  35805  fzmul  35895  factwoffsmonot  40160  negn0nposznnd  40307  nn0rppwr  40330  nn0expgcd  40332  irrapxlem1  40641  irrapxlem2  40642  pellexlem1  40648  monotoddzzfi  40761  rmynn  40775  jm2.24nn  40778  jm2.17c  40781  congabseq  40793  jm2.20nn  40816  rmydioph  40833  dgrsub2  40957  idomrootle  41017  rp-isfinite6  41104  stoweidlem17  43529  stoweidlem49  43561  wallispilem4  43580  stirlinglem6  43591  stirlinglem7  43592  stirlinglem10  43595  fourierdlem73  43691  fourierdlem111  43729  2ffzoeq  44789  iccpartltu  44846  fmtnosqrt  44960  2pwp1prm  45010  nneven  45119