Theorem nngt0 12176

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11659	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11225	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  nnnle0  12178  nngt0i  12184  nnsub  12189  nngt0d  12194  nnrecl  12399  nn0ge0  12426  0mnnnnn0  12433  elnnnn0b  12445  nn0sub  12451  elnnz  12498  nnm1ge0  12560  gtndiv  12569  elpq  12888  elpqb  12889  rpnnen1lem2  12890  rpnnen1lem1  12891  rpnnen1lem3  12892  rpnnen1lem5  12894  nnrp  12917  nnledivrp  13019  qbtwnre  13114  fzo1fzo0n0  13631  ubmelfzo  13646  elfznelfzo  13689  adddivflid  13738  flltdivnn0lt  13753  quoremz  13775  quoremnn0ALT  13777  intfracq  13779  fldiv  13780  expnnval  13987  nnlesq  14128  expnngt1  14164  faclbnd  14213  bc0k  14234  ccatval21sw  14509  ccats1pfxeqrex  14638  harmonic  15782  nndivdvds  16188  evennn2n  16278  nnoddm1d2  16313  ndvdssub  16336  ndvdsadd  16337  nn0rppwr  16488  sqgcd  16489  nn0expgcd  16491  lcmgcdlem  16533  qredeu  16585  isprm5  16634  divdenle  16676  hashgcdlem  16715  oddprm  16738  pythagtriplem12  16754  pythagtriplem13  16755  pythagtriplem14  16756  pythagtriplem16  16758  pythagtriplem19  16761  pc2dvds  16807  fldivp1  16825  prmreclem3  16846  prmgaplem7  16985  mulgnn  19005  mulgnegnn  19014  odmodnn0  19469  prmirredlem  21427  znidomb  21516  fvmptnn04if  22793  chfacfscmul0  22802  chfacfpmmul0  22806  dyadss  25551  volivth  25564  vitali  25570  mbfi1fseqlem3  25674  itg2gt0  25717  idomrootle  26134  dgrcolem2  26236  logtayllem  26624  leibpi  26908  eldmgm  26988  basellem6  27052  muinv  27159  logfac2  27184  bcmono  27244  bposlem5  27255  bposlem6  27256  lgsval4a  27286  gausslemma2dlem1a  27332  ostth2lem1  27585  ostth2lem3  27602  clwwlkf1  30124  clwwlknonccat  30171  minvecolem3  30951  xnn0gt0  32849  tgoldbachgtda  34818  subfaclim  35382  subfacval3  35383  snmlff  35523  nn0prpwlem  36516  nndivsub  36651  nndivlub  36652  poimirlem32  37853  fzmul  37942  negn0nposznnd  42537  fimgmcyc  42789  irrapxlem1  43064  irrapxlem2  43065  pellexlem1  43071  monotoddzzfi  43184  rmynn  43198  jm2.24nn  43201  jm2.17c  43204  congabseq  43216  jm2.20nn  43239  rmydioph  43256  dgrsub2  43377  rp-isfinite6  43759  rexanuz2nf  45736  stoweidlem17  46261  stoweidlem49  46293  wallispilem4  46312  stirlinglem6  46323  stirlinglem7  46324  stirlinglem10  46327  fourierdlem73  46423  fourierdlem111  46461  2ffzoeq  47573  modlt0b  47609  iccpartltu  47671  fmtnosqrt  47785  2pwp1prm  47835  nneven  47944