Theorem nngt0 12362

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12359	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11831	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11303	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11301	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11395	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329

This theorem is used by:  nnnle0  12364  nngt0i  12370  nnsub  12375  nngt0d  12380  nnrecl  12597  nn0ge0  12624  0mnnnnn0  12631  elnnnn0b  12643  nn0sub  12649  elnnz  12696  nnm1ge0  12760  gtndiv  12769  elpq  13096  elpqb  13097  rpnnen1lem2  13098  rpnnen1lem1  13099  rpnnen1lem3  13100  rpnnen1lem5  13102  nnrp  13125  nnledivrp  13227  qbtwnre  13322  fzo1fzo0n0  13843  ubmelfzo  13858  elfznelfzo  13901  adddivflid  13951  flltdivnn0lt  13966  quoremz  13988  quoremnn0ALT  13990  intfracq  13992  fldiv  13993  expnnval  14200  nnlesq  14342  expnngt1  14378  faclbnd  14427  bc0k  14448  ccatval21sw  14724  ccats1pfxeqrex  14857  harmonic  16021  nndivdvds  16424  evennn2n  16514  nnoddm1d2  16549  ndvdssub  16572  ndvdsadd  16573  nn0rppwr  16728  sqgcd  16729  nn0expgcd  16731  lcmgcdlem  16774  qredeu  16826  isprm5  16876  divdenle  16918  hashgcdlem  16958  oddprm  16981  pythagtriplem12  16997  pythagtriplem13  16998  pythagtriplem14  16999  pythagtriplem16  17001  pythagtriplem19  17004  pc2dvds  17050  fldivp1  17068  prmreclem3  17089  prmgaplem7  17228  mulgnn  19278  mulgnegnn  19287  odmodnn0  19747  prmirredlem  21771  znidomb  21860  fvmptnn04if  23160  chfacfscmul0  23169  chfacfpmmul0  23173  dyadss  25908  volivth  25921  vitali  25927  mbfi1fseqlem3  26031  itg2gt0  26074  idomrootle  26484  dgrcolem2  26586  logtayllem  26980  leibpi  27263  eldmgm  27342  basellem6  27406  muinv  27513  logfac2  27537  bcmono  27597  bposlem5  27608  bposlem6  27609  lgsval4a  27639  gausslemma2dlem1a  27685  ostth2lem1  27938  ostth2lem3  27955  clwwlkf1  30633  clwwlknonccat  30680  minvecolem3  31471  xnn0gt0  33354  tgoldbachgtda  35283  subfaclim  35932  subfacval3  35933  snmlff  36073  nn0prpwlem  37090  nndivsub  37225  nndivlub  37226  poimirlem32  38550  fzmul  38655  negn0nposznnd  43319  fimgmcyc  43578  irrapxlem1  43808  irrapxlem2  43809  pellexlem1  43815  monotoddzzfi  43928  rmynn  43942  jm2.24nn  43945  jm2.17c  43948  congabseq  43960  jm2.20nn  43983  rmydioph  44000  dgrsub2  44121  rp-isfinite6  44503  rexanuz2nf  46471  stoweidlem17  46996  stoweidlem49  47028  wallispilem4  47047  stirlinglem6  47058  stirlinglem7  47059  stirlinglem10  47062  fourierdlem73  47158  fourierdlem111  47196  2ffzoeq  48367  modlt0b  48408  iccpartltu  48476  fmtnosqrt  48593  2pwp1prm  48643  nneven  48765