Theorem nngt0 12206

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11670	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11144	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11142	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11236	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1459	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173

This theorem is referenced by:  nnnle0  12208  nngt0i  12214  nnsub  12219  nngt0d  12224  nnrecl  12433  nn0ge0  12460  0mnnnnn0  12467  elnnnn0b  12479  nn0sub  12485  elnnz  12532  nnm1ge0  12595  gtndiv  12604  elpq  12923  elpqb  12924  rpnnen1lem2  12925  rpnnen1lem1  12926  rpnnen1lem3  12927  rpnnen1lem5  12929  nnrp  12952  nnledivrp  13054  qbtwnre  13149  fzo1fzo0n0  13668  ubmelfzo  13683  elfznelfzo  13726  adddivflid  13775  flltdivnn0lt  13790  quoremz  13812  quoremnn0ALT  13814  intfracq  13816  fldiv  13817  expnnval  14024  nnlesq  14165  expnngt1  14201  faclbnd  14250  bc0k  14271  ccatval21sw  14546  ccats1pfxeqrex  14675  harmonic  15822  nndivdvds  16228  evennn2n  16318  nnoddm1d2  16353  ndvdssub  16376  ndvdsadd  16377  nn0rppwr  16528  sqgcd  16529  nn0expgcd  16531  lcmgcdlem  16573  qredeu  16625  isprm5  16675  divdenle  16717  hashgcdlem  16756  oddprm  16779  pythagtriplem12  16795  pythagtriplem13  16796  pythagtriplem14  16797  pythagtriplem16  16799  pythagtriplem19  16802  pc2dvds  16848  fldivp1  16866  prmreclem3  16887  prmgaplem7  17026  mulgnn  19049  mulgnegnn  19058  odmodnn0  19513  prmirredlem  21454  znidomb  21543  fvmptnn04if  22839  chfacfscmul0  22848  chfacfpmmul0  22852  dyadss  25586  volivth  25599  vitali  25605  mbfi1fseqlem3  25709  itg2gt0  25752  idomrootle  26163  dgrcolem2  26264  logtayllem  26648  leibpi  26931  eldmgm  27010  basellem6  27074  muinv  27181  logfac2  27205  bcmono  27265  bposlem5  27276  bposlem6  27277  lgsval4a  27307  gausslemma2dlem1a  27353  ostth2lem1  27606  ostth2lem3  27623  clwwlkf1  30144  clwwlknonccat  30191  minvecolem3  30972  xnn0gt0  32868  tgoldbachgtda  34852  subfaclim  35423  subfacval3  35424  snmlff  35564  nn0prpwlem  36557  nndivsub  36692  nndivlub  36693  poimirlem32  38026  fzmul  38115  negn0nposznnd  42766  fimgmcyc  43027  irrapxlem1  43274  irrapxlem2  43275  pellexlem1  43281  monotoddzzfi  43394  rmynn  43408  jm2.24nn  43411  jm2.17c  43414  congabseq  43426  jm2.20nn  43449  rmydioph  43466  dgrsub2  43587  rp-isfinite6  43969  rexanuz2nf  45942  stoweidlem17  46467  stoweidlem49  46499  wallispilem4  46518  stirlinglem6  46529  stirlinglem7  46530  stirlinglem10  46533  fourierdlem73  46629  fourierdlem111  46667  2ffzoeq  47798  modlt0b  47839  iccpartltu  47907  fmtnosqrt  48024  2pwp1prm  48074  nneven  48196