Theorem nngt0 12324

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12300	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11812	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11290	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11382	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1451	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  nnnle0  12326  nngt0i  12332  nnsub  12337  nngt0d  12342  nnrecl  12551  nn0ge0  12578  0mnnnnn0  12585  elnnnn0b  12597  nn0sub  12603  elnnz  12649  nnm1ge0  12711  gtndiv  12720  elpq  13040  elpqb  13041  rpnnen1lem2  13042  rpnnen1lem1  13043  rpnnen1lem3  13044  rpnnen1lem5  13046  nnrp  13068  nnledivrp  13169  qbtwnre  13261  fzo1fzo0n0  13767  ubmelfzo  13781  elfznelfzo  13822  adddivflid  13869  flltdivnn0lt  13884  quoremz  13906  quoremnn0ALT  13908  intfracq  13910  fldiv  13911  expnnval  14115  nnlesq  14254  expnngt1  14290  faclbnd  14339  bc0k  14360  ccatval21sw  14633  ccats1pfxeqrex  14763  harmonic  15907  nndivdvds  16311  evennn2n  16399  nnoddm1d2  16434  ndvdssub  16457  ndvdsadd  16458  nn0rppwr  16608  sqgcd  16609  nn0expgcd  16611  lcmgcdlem  16653  qredeu  16705  isprm5  16754  divdenle  16796  hashgcdlem  16835  oddprm  16857  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem13  16874  pythagtriplem14  16875  pythagtriplem16  16877  pythagtriplem19  16880  pc2dvds  16926  fldivp1  16944  prmreclem3  16965  prmgaplem7  17104  mulgnn  19115  mulgnegnn  19124  odmodnn0  19582  prmirredlem  21506  znidomb  21603  fvmptnn04if  22876  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmul0  22889  dyadss  25648  volivth  25661  vitali  25667  mbfi1fseqlem3  25772  itg2gt0  25815  idomrootle  26232  dgrcolem2  26334  logtayllem  26719  leibpi  27003  eldmgm  27083  basellem6  27147  muinv  27254  logfac2  27279  bcmono  27339  bposlem5  27350  bposlem6  27351  lgsval4a  27381  gausslemma2dlem1a  27427  ostth2lem1  27680  ostth2lem3  27697  clwwlkf1  30081  clwwlknonccat  30128  minvecolem3  30908  xnn0gt0  32776  tgoldbachgtda  34638  subfaclim  35156  subfacval3  35157  snmlff  35297  nn0prpwlem  36288  nndivsub  36423  nndivlub  36424  poimirlem32  37612  fzmul  37701  factwoffsmonot  42199  negn0nposznnd  42271  fimgmcyc  42489  irrapxlem1  42778  irrapxlem2  42779  pellexlem1  42785  monotoddzzfi  42899  rmynn  42913  jm2.24nn  42916  jm2.17c  42919  congabseq  42931  jm2.20nn  42954  rmydioph  42971  dgrsub2  43092  rp-isfinite6  43480  rexanuz2nf  45408  stoweidlem17  45938  stoweidlem49  45970  wallispilem4  45989  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  fourierdlem73  46100  fourierdlem111  46138  2ffzoeq  47242  iccpartltu  47299  fmtnosqrt  47413  2pwp1prm  47463  nneven  47572