Theorem nngt0 12013

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12010	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11506	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 10986	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11076	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   < clt 11018   ≤ cle 11019  ℕcn 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983

This theorem is referenced by:  nnnle0  12015  nngt0i  12021  nnsub  12026  nngt0d  12031  nnrecl  12240  nn0ge0  12267  0mnnnnn0  12274  elnnnn0b  12286  nn0sub  12292  elnnz  12338  nnm1ge0  12397  gtndiv  12406  elpq  12724  elpqb  12725  rpnnen1lem2  12726  rpnnen1lem1  12727  rpnnen1lem3  12728  rpnnen1lem5  12730  nnrp  12750  nnledivrp  12851  qbtwnre  12942  fzo1fzo0n0  13447  ubmelfzo  13461  elfznelfzo  13501  adddivflid  13547  flltdivnn0lt  13562  quoremz  13584  quoremnn0ALT  13586  intfracq  13588  fldiv  13589  expnnval  13794  nnlesq  13931  expnngt1  13965  faclbnd  14013  bc0k  14034  ccatval21sw  14299  ccats1pfxeqrex  14437  harmonic  15580  nndivdvds  15981  evennn2n  16069  nnoddm1d2  16104  ndvdssub  16127  ndvdsadd  16128  sqgcd  16279  lcmgcdlem  16320  qredeu  16372  isprm5  16421  divdenle  16462  hashgcdlem  16498  oddprm  16520  pythagtriplem12  16536  pythagtriplem13  16537  pythagtriplem14  16538  pythagtriplem16  16540  pythagtriplem19  16543  pc2dvds  16589  fldivp1  16607  prmreclem3  16628  prmgaplem7  16767  mulgnn  18717  mulgnegnn  18723  odmodnn0  19157  prmirredlem  20703  znidomb  20778  fvmptnn04if  22007  chfacfscmul0  22016  chfacfpmmul0  22020  dyadss  24767  volivth  24780  vitali  24786  mbfi1fseqlem3  24891  itg2gt0  24934  dgrcolem2  25444  logtayllem  25823  leibpi  26101  eldmgm  26180  basellem6  26244  muinv  26351  logfac2  26374  bcmono  26434  bposlem5  26445  bposlem6  26446  lgsval4a  26476  gausslemma2dlem1a  26522  ostth2lem1  26775  ostth2lem3  26792  clwwlkf1  28422  clwwlknonccat  28469  minvecolem3  29247  xnn0gt0  31101  tgoldbachgtda  32650  subfaclim  33159  subfacval3  33160  snmlff  33300  nn0prpwlem  34520  nndivsub  34655  nndivlub  34656  poimirlem32  35818  fzmul  35908  factwoffsmonot  40170  negn0nposznnd  40317  nn0rppwr  40340  nn0expgcd  40342  irrapxlem1  40651  irrapxlem2  40652  pellexlem1  40658  monotoddzzfi  40771  rmynn  40785  jm2.24nn  40788  jm2.17c  40791  congabseq  40803  jm2.20nn  40826  rmydioph  40843  dgrsub2  40967  idomrootle  41027  rp-isfinite6  41132  stoweidlem17  43565  stoweidlem49  43597  wallispilem4  43616  stirlinglem6  43627  stirlinglem7  43628  stirlinglem10  43631  fourierdlem73  43727  fourierdlem111  43765  2ffzoeq  44831  iccpartltu  44888  fmtnosqrt  45002  2pwp1prm  45052  nneven  45161