Theorem nngt0 12237

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11702	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11268	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1471	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   < clt 11209   ≤ cle 11210  ℕcn 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204

This theorem is referenced by:  nnnle0  12239  nngt0i  12245  nnsub  12250  nngt0d  12255  nnrecl  12472  nn0ge0  12499  0mnnnnn0  12506  elnnnn0b  12518  nn0sub  12524  elnnz  12571  nnm1ge0  12634  gtndiv  12643  elpq  12969  elpqb  12970  rpnnen1lem2  12971  rpnnen1lem1  12972  rpnnen1lem3  12973  rpnnen1lem5  12975  nnrp  12998  nnledivrp  13100  qbtwnre  13195  fzo1fzo0n0  13714  ubmelfzo  13729  elfznelfzo  13772  adddivflid  13821  flltdivnn0lt  13836  quoremz  13858  quoremnn0ALT  13860  intfracq  13862  fldiv  13863  expnnval  14070  nnlesq  14211  expnngt1  14247  faclbnd  14296  bc0k  14317  ccatval21sw  14592  ccats1pfxeqrex  14721  harmonic  15879  nndivdvds  16285  evennn2n  16375  nnoddm1d2  16410  ndvdssub  16433  ndvdsadd  16434  nn0rppwr  16585  sqgcd  16586  nn0expgcd  16588  lcmgcdlem  16630  qredeu  16682  isprm5  16732  divdenle  16774  hashgcdlem  16813  oddprm  16836  pythagtriplem12  16852  pythagtriplem13  16853  pythagtriplem14  16854  pythagtriplem16  16856  pythagtriplem19  16859  pc2dvds  16905  fldivp1  16923  prmreclem3  16944  prmgaplem7  17083  mulgnn  19107  mulgnegnn  19116  odmodnn0  19570  prmirredlem  21511  znidomb  21600  fvmptnn04if  22896  chfacfscmul0  22905  chfacfpmmul0  22909  dyadss  25643  volivth  25656  vitali  25662  mbfi1fseqlem3  25766  itg2gt0  25809  idomrootle  26220  dgrcolem2  26321  logtayllem  26711  leibpi  26994  eldmgm  27073  basellem6  27137  muinv  27244  logfac2  27268  bcmono  27328  bposlem5  27339  bposlem6  27340  lgsval4a  27370  gausslemma2dlem1a  27416  ostth2lem1  27669  ostth2lem3  27686  clwwlkf1  30207  clwwlknonccat  30254  minvecolem3  31035  xnn0gt0  32931  tgoldbachgtda  34915  subfaclim  35498  subfacval3  35499  snmlff  35639  nn0prpwlem  36642  nndivsub  36777  nndivlub  36778  poimirlem32  38111  fzmul  38200  negn0nposznnd  42851  fimgmcyc  43112  irrapxlem1  43359  irrapxlem2  43360  pellexlem1  43366  monotoddzzfi  43479  rmynn  43493  jm2.24nn  43496  jm2.17c  43499  congabseq  43511  jm2.20nn  43534  rmydioph  43551  dgrsub2  43672  rp-isfinite6  44054  rexanuz2nf  46026  stoweidlem17  46551  stoweidlem49  46583  wallispilem4  46602  stirlinglem6  46613  stirlinglem7  46614  stirlinglem10  46617  fourierdlem73  46713  fourierdlem111  46751  2ffzoeq  47882  modlt0b  47923  iccpartltu  47991  fmtnosqrt  48108  2pwp1prm  48158  nneven  48280