Theorem nngt0 11516

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 11513	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11010	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 10489	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10487	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 10579	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1443	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕcn 11486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487

This theorem is referenced by:  nnnle0  11518  nngt0i  11524  nnsub  11529  nngt0d  11534  nnrecl  11743  nn0ge0  11770  0mnnnnn0  11777  elnnnn0b  11789  nn0sub  11795  elnnz  11839  nnm1ge0  11899  gtndiv  11908  elpq  12224  elpqb  12225  rpnnen1lem2  12226  rpnnen1lem1  12227  rpnnen1lem3  12228  rpnnen1lem5  12230  nnrp  12250  nnledivrp  12351  qbtwnre  12442  fzo1fzo0n0  12938  ubmelfzo  12952  elfznelfzo  12992  adddivflid  13038  flltdivnn0lt  13053  quoremz  13073  quoremnn0ALT  13075  intfracq  13077  fldiv  13078  expnnval  13282  nnlesq  13418  expnngt1  13452  faclbnd  13500  bc0k  13521  ccatval21sw  13783  ccats1pfxeqrex  13913  harmonic  15047  nndivdvds  15449  evennn2n  15533  nnoddm1d2  15570  ndvdssub  15593  ndvdsadd  15594  sqgcd  15738  lcmgcdlem  15779  qredeu  15831  isprm5  15880  divdenle  15918  hashgcdlem  15954  oddprm  15976  pythagtriplem12  15992  pythagtriplem13  15993  pythagtriplem14  15994  pythagtriplem16  15996  pythagtriplem19  15999  pc2dvds  16044  fldivp1  16062  prmreclem3  16083  prmgaplem7  16222  mulgnn  17989  mulgnegnn  17993  odmodnn0  18399  prmirredlem  20322  znidomb  20390  fvmptnn04if  21141  chfacfscmul0  21150  chfacfpmmul0  21154  dyadss  23878  volivth  23891  vitali  23897  mbfi1fseqlem3  24001  itg2gt0  24044  dgrcolem2  24547  logtayllem  24923  leibpi  25202  eldmgm  25281  basellem6  25345  muinv  25452  logfac2  25475  bcmono  25535  bposlem5  25546  bposlem6  25547  lgsval4a  25577  gausslemma2dlem1a  25623  ostth2lem1  25876  ostth2lem3  25893  clwwlkf1  27515  clwwlknonccat  27562  minvecolem3  28344  xnn0gt0  30182  tgoldbachgtda  31549  subfaclim  32043  subfacval3  32044  snmlff  32184  nn0prpwlem  33279  nndivsub  33414  nndivlub  33415  poimirlem32  34455  fzmul  34548  negn0nposznnd  38690  nn0rppwr  38704  nn0expgcd  38706  irrapxlem1  38904  irrapxlem2  38905  pellexlem1  38911  monotoddzzfi  39024  rmynn  39038  jm2.24nn  39041  jm2.17c  39044  congabseq  39056  jm2.20nn  39079  rmydioph  39096  dgrsub2  39220  idomrootle  39280  rp-isfinite6  39369  stoweidlem17  41844  stoweidlem49  41876  wallispilem4  41895  stirlinglem6  41906  stirlinglem7  41907  stirlinglem10  41910  fourierdlem73  42006  fourierdlem111  42044  2ffzoeq  43044  iccpartltu  43067  fmtnosqrt  43183  2pwp1prm  43233  nneven  43345