Theorem nngt0 12249

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11742	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11220	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11312	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219

This theorem is referenced by:  nnnle0  12251  nngt0i  12257  nnsub  12262  nngt0d  12267  nnrecl  12476  nn0ge0  12503  0mnnnnn0  12510  elnnnn0b  12522  nn0sub  12528  elnnz  12574  nnm1ge0  12636  gtndiv  12645  elpq  12965  elpqb  12966  rpnnen1lem2  12967  rpnnen1lem1  12968  rpnnen1lem3  12969  rpnnen1lem5  12971  nnrp  12991  nnledivrp  13092  qbtwnre  13184  fzo1fzo0n0  13689  ubmelfzo  13703  elfznelfzo  13743  adddivflid  13789  flltdivnn0lt  13804  quoremz  13826  quoremnn0ALT  13828  intfracq  13830  fldiv  13831  expnnval  14036  nnlesq  14175  expnngt1  14210  faclbnd  14256  bc0k  14277  ccatval21sw  14541  ccats1pfxeqrex  14671  harmonic  15811  nndivdvds  16212  evennn2n  16300  nnoddm1d2  16335  ndvdssub  16358  ndvdsadd  16359  sqgcd  16508  lcmgcdlem  16549  qredeu  16601  isprm5  16650  divdenle  16691  hashgcdlem  16727  oddprm  16749  pythagtriplem12  16765  pythagtriplem13  16766  pythagtriplem14  16767  pythagtriplem16  16769  pythagtriplem19  16772  pc2dvds  16818  fldivp1  16836  prmreclem3  16857  prmgaplem7  16996  mulgnn  18996  mulgnegnn  19002  odmodnn0  19451  prmirredlem  21245  znidomb  21338  fvmptnn04if  22573  chfacfscmul0  22582  chfacfpmmul0  22586  dyadss  25345  volivth  25358  vitali  25364  mbfi1fseqlem3  25469  itg2gt0  25512  dgrcolem2  26022  logtayllem  26401  leibpi  26681  eldmgm  26760  basellem6  26824  muinv  26931  logfac2  26954  bcmono  27014  bposlem5  27025  bposlem6  27026  lgsval4a  27056  gausslemma2dlem1a  27102  ostth2lem1  27355  ostth2lem3  27372  clwwlkf1  29567  clwwlknonccat  29614  minvecolem3  30394  xnn0gt0  32247  tgoldbachgtda  33969  subfaclim  34475  subfacval3  34476  snmlff  34616  nn0prpwlem  35512  nndivsub  35647  nndivlub  35648  poimirlem32  36825  fzmul  36914  factwoffsmonot  41331  negn0nposznnd  41498  nn0rppwr  41528  nn0expgcd  41530  irrapxlem1  41864  irrapxlem2  41865  pellexlem1  41871  monotoddzzfi  41985  rmynn  41999  jm2.24nn  42002  jm2.17c  42005  congabseq  42017  jm2.20nn  42040  rmydioph  42057  dgrsub2  42181  idomrootle  42241  rp-isfinite6  42573  rexanuz2nf  44503  stoweidlem17  45033  stoweidlem49  45065  wallispilem4  45084  stirlinglem6  45095  stirlinglem7  45096  stirlinglem10  45099  fourierdlem73  45195  fourierdlem111  45233  2ffzoeq  46336  iccpartltu  46393  fmtnosqrt  46507  2pwp1prm  46557  nneven  46666