Theorem nngt0 12243

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11736	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11216	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11306	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213

This theorem is referenced by:  nnnle0  12245  nngt0i  12251  nnsub  12256  nngt0d  12261  nnrecl  12470  nn0ge0  12497  0mnnnnn0  12504  elnnnn0b  12516  nn0sub  12522  elnnz  12568  nnm1ge0  12630  gtndiv  12639  elpq  12959  elpqb  12960  rpnnen1lem2  12961  rpnnen1lem1  12962  rpnnen1lem3  12963  rpnnen1lem5  12965  nnrp  12985  nnledivrp  13086  qbtwnre  13178  fzo1fzo0n0  13683  ubmelfzo  13697  elfznelfzo  13737  adddivflid  13783  flltdivnn0lt  13798  quoremz  13820  quoremnn0ALT  13822  intfracq  13824  fldiv  13825  expnnval  14030  nnlesq  14169  expnngt1  14204  faclbnd  14250  bc0k  14271  ccatval21sw  14535  ccats1pfxeqrex  14665  harmonic  15805  nndivdvds  16206  evennn2n  16294  nnoddm1d2  16329  ndvdssub  16352  ndvdsadd  16353  sqgcd  16502  lcmgcdlem  16543  qredeu  16595  isprm5  16644  divdenle  16685  hashgcdlem  16721  oddprm  16743  pythagtriplem12  16759  pythagtriplem13  16760  pythagtriplem14  16761  pythagtriplem16  16763  pythagtriplem19  16766  pc2dvds  16812  fldivp1  16830  prmreclem3  16851  prmgaplem7  16990  mulgnn  18958  mulgnegnn  18964  odmodnn0  19408  prmirredlem  21042  znidomb  21117  fvmptnn04if  22351  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  dyadss  25111  volivth  25124  vitali  25130  mbfi1fseqlem3  25235  itg2gt0  25278  dgrcolem2  25788  logtayllem  26167  leibpi  26447  eldmgm  26526  basellem6  26590  muinv  26697  logfac2  26720  bcmono  26780  bposlem5  26791  bposlem6  26792  lgsval4a  26822  gausslemma2dlem1a  26868  ostth2lem1  27121  ostth2lem3  27138  clwwlkf1  29302  clwwlknonccat  29349  minvecolem3  30129  xnn0gt0  31982  tgoldbachgtda  33673  subfaclim  34179  subfacval3  34180  snmlff  34320  nn0prpwlem  35207  nndivsub  35342  nndivlub  35343  poimirlem32  36520  fzmul  36609  factwoffsmonot  41023  negn0nposznnd  41194  nn0rppwr  41224  nn0expgcd  41226  irrapxlem1  41560  irrapxlem2  41561  pellexlem1  41567  monotoddzzfi  41681  rmynn  41695  jm2.24nn  41698  jm2.17c  41701  congabseq  41713  jm2.20nn  41736  rmydioph  41753  dgrsub2  41877  idomrootle  41937  rp-isfinite6  42269  rexanuz2nf  44203  stoweidlem17  44733  stoweidlem49  44765  wallispilem4  44784  stirlinglem6  44795  stirlinglem7  44796  stirlinglem10  44799  fourierdlem73  44895  fourierdlem111  44933  2ffzoeq  46036  iccpartltu  46093  fmtnosqrt  46207  2pwp1prm  46257  nneven  46366