Theorem nngt0 12273

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11742	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11216	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11308	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240

This theorem is used by:  nnnle0  12275  nngt0i  12281  nnsub  12286  nngt0d  12291  nnrecl  12508  nn0ge0  12535  0mnnnnn0  12542  elnnnn0b  12554  nn0sub  12560  elnnz  12607  nnm1ge0  12670  gtndiv  12679  elpq  13005  elpqb  13006  rpnnen1lem2  13007  rpnnen1lem1  13008  rpnnen1lem3  13009  rpnnen1lem5  13011  nnrp  13034  nnledivrp  13136  qbtwnre  13231  fzo1fzo0n0  13751  ubmelfzo  13766  elfznelfzo  13809  adddivflid  13858  flltdivnn0lt  13873  quoremz  13895  quoremnn0ALT  13897  intfracq  13899  fldiv  13900  expnnval  14107  nnlesq  14248  expnngt1  14284  faclbnd  14333  bc0k  14354  ccatval21sw  14630  ccats1pfxeqrex  14759  harmonic  15920  nndivdvds  16325  evennn2n  16415  nnoddm1d2  16450  ndvdssub  16473  ndvdsadd  16474  nn0rppwr  16625  sqgcd  16626  nn0expgcd  16628  lcmgcdlem  16670  qredeu  16722  isprm5  16772  divdenle  16814  hashgcdlem  16853  oddprm  16876  pythagtriplem12  16892  pythagtriplem13  16893  pythagtriplem14  16894  pythagtriplem16  16896  pythagtriplem19  16899  pc2dvds  16945  fldivp1  16963  prmreclem3  16984  prmgaplem7  17123  mulgnn  19147  mulgnegnn  19156  odmodnn0  19616  prmirredlem  21633  znidomb  21722  fvmptnn04if  23017  chfacfscmul0  23026  chfacfpmmul0  23030  dyadss  25764  volivth  25777  vitali  25783  mbfi1fseqlem3  25887  itg2gt0  25930  idomrootle  26341  dgrcolem2  26442  logtayllem  26835  leibpi  27118  eldmgm  27197  basellem6  27261  muinv  27368  logfac2  27392  bcmono  27452  bposlem5  27463  bposlem6  27464  lgsval4a  27494  gausslemma2dlem1a  27540  ostth2lem1  27793  ostth2lem3  27810  clwwlkf1  30411  clwwlknonccat  30458  minvecolem3  31239  xnn0gt0  33125  tgoldbachgtda  35057  subfaclim  35688  subfacval3  35689  snmlff  35829  nn0prpwlem  36861  nndivsub  36996  nndivlub  36997  poimirlem32  38331  fzmul  38420  negn0nposznnd  43071  fimgmcyc  43330  irrapxlem1  43577  irrapxlem2  43578  pellexlem1  43584  monotoddzzfi  43697  rmynn  43711  jm2.24nn  43714  jm2.17c  43717  congabseq  43729  jm2.20nn  43752  rmydioph  43769  dgrsub2  43890  rp-isfinite6  44272  rexanuz2nf  46234  stoweidlem17  46759  stoweidlem49  46791  wallispilem4  46810  stirlinglem6  46821  stirlinglem7  46822  stirlinglem10  46825  fourierdlem73  46921  fourierdlem111  46959  2ffzoeq  48093  modlt0b  48134  iccpartltu  48202  fmtnosqrt  48319  2pwp1prm  48369  nneven  48491