Theorem nngt0 12208

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11672	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11238	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  nnnle0  12210  nngt0i  12216  nnsub  12221  nngt0d  12226  nnrecl  12435  nn0ge0  12462  0mnnnnn0  12469  elnnnn0b  12481  nn0sub  12487  elnnz  12534  nnm1ge0  12597  gtndiv  12606  elpq  12925  elpqb  12926  rpnnen1lem2  12927  rpnnen1lem1  12928  rpnnen1lem3  12929  rpnnen1lem5  12931  nnrp  12954  nnledivrp  13056  qbtwnre  13151  fzo1fzo0n0  13670  ubmelfzo  13685  elfznelfzo  13728  adddivflid  13777  flltdivnn0lt  13792  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  intfracq  13818  fldiv  13819  expnnval  14026  nnlesq  14167  expnngt1  14203  faclbnd  14252  bc0k  14273  ccatval21sw  14548  ccats1pfxeqrex  14677  harmonic  15824  nndivdvds  16230  evennn2n  16320  nnoddm1d2  16355  ndvdssub  16378  ndvdsadd  16379  nn0rppwr  16530  sqgcd  16531  nn0expgcd  16533  lcmgcdlem  16575  qredeu  16627  isprm5  16677  divdenle  16719  hashgcdlem  16758  oddprm  16781  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem13  16798  pythagtriplem14  16799  pythagtriplem16  16801  pythagtriplem19  16804  pc2dvds  16850  fldivp1  16868  prmreclem3  16889  prmgaplem7  17028  mulgnn  19051  mulgnegnn  19060  odmodnn0  19515  prmirredlem  21452  znidomb  21541  fvmptnn04if  22814  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  dyadss  25561  volivth  25574  vitali  25580  mbfi1fseqlem3  25684  itg2gt0  25727  idomrootle  26138  dgrcolem2  26239  logtayllem  26623  leibpi  26906  eldmgm  26985  basellem6  27049  muinv  27156  logfac2  27180  bcmono  27240  bposlem5  27251  bposlem6  27252  lgsval4a  27282  gausslemma2dlem1a  27328  ostth2lem1  27581  ostth2lem3  27598  clwwlkf1  30119  clwwlknonccat  30166  minvecolem3  30947  xnn0gt0  32842  tgoldbachgtda  34805  subfaclim  35370  subfacval3  35371  snmlff  35511  nn0prpwlem  36504  nndivsub  36639  nndivlub  36640  poimirlem32  37973  fzmul  38062  negn0nposznnd  42714  fimgmcyc  42979  irrapxlem1  43250  irrapxlem2  43251  pellexlem1  43257  monotoddzzfi  43370  rmynn  43384  jm2.24nn  43387  jm2.17c  43390  congabseq  43402  jm2.20nn  43425  rmydioph  43442  dgrsub2  43563  rp-isfinite6  43945  rexanuz2nf  45920  stoweidlem17  46445  stoweidlem49  46477  wallispilem4  46496  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  fourierdlem73  46607  fourierdlem111  46645  2ffzoeq  47776  modlt0b  47817  iccpartltu  47885  fmtnosqrt  48002  2pwp1prm  48052  nneven  48174