Theorem nngt0 12218

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12194	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12215	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11706	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11182	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11180	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11272	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   < clt 11214   ≤ cle 11215  ℕcn 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188

This theorem is referenced by:  nnnle0  12220  nngt0i  12226  nnsub  12231  nngt0d  12236  nnrecl  12446  nn0ge0  12473  0mnnnnn0  12480  elnnnn0b  12492  nn0sub  12498  elnnz  12545  nnm1ge0  12608  gtndiv  12617  elpq  12940  elpqb  12941  rpnnen1lem2  12942  rpnnen1lem1  12943  rpnnen1lem3  12944  rpnnen1lem5  12946  nnrp  12969  nnledivrp  13071  qbtwnre  13165  fzo1fzo0n0  13682  ubmelfzo  13697  elfznelfzo  13739  adddivflid  13786  flltdivnn0lt  13801  quoremz  13823  quoremnn0ALT  13825  intfracq  13827  fldiv  13828  expnnval  14035  nnlesq  14176  expnngt1  14212  faclbnd  14261  bc0k  14282  ccatval21sw  14556  ccats1pfxeqrex  14686  harmonic  15831  nndivdvds  16237  evennn2n  16327  nnoddm1d2  16362  ndvdssub  16385  ndvdsadd  16386  nn0rppwr  16537  sqgcd  16538  nn0expgcd  16540  lcmgcdlem  16582  qredeu  16634  isprm5  16683  divdenle  16725  hashgcdlem  16764  oddprm  16787  pythagtriplem12  16803  pythagtriplem13  16804  pythagtriplem14  16805  pythagtriplem16  16807  pythagtriplem19  16810  pc2dvds  16856  fldivp1  16874  prmreclem3  16895  prmgaplem7  17034  mulgnn  19013  mulgnegnn  19022  odmodnn0  19476  prmirredlem  21388  znidomb  21477  fvmptnn04if  22742  chfacfscmul0  22751  chfacfpmmul0  22755  dyadss  25501  volivth  25514  vitali  25520  mbfi1fseqlem3  25624  itg2gt0  25667  idomrootle  26084  dgrcolem2  26186  logtayllem  26574  leibpi  26858  eldmgm  26938  basellem6  27002  muinv  27109  logfac2  27134  bcmono  27194  bposlem5  27205  bposlem6  27206  lgsval4a  27236  gausslemma2dlem1a  27282  ostth2lem1  27535  ostth2lem3  27552  clwwlkf1  29984  clwwlknonccat  30031  minvecolem3  30811  xnn0gt0  32698  tgoldbachgtda  34658  subfaclim  35175  subfacval3  35176  snmlff  35316  nn0prpwlem  36305  nndivsub  36440  nndivlub  36441  poimirlem32  37641  fzmul  37730  negn0nposznnd  42265  fimgmcyc  42515  irrapxlem1  42803  irrapxlem2  42804  pellexlem1  42810  monotoddzzfi  42924  rmynn  42938  jm2.24nn  42941  jm2.17c  42944  congabseq  42956  jm2.20nn  42979  rmydioph  42996  dgrsub2  43117  rp-isfinite6  43500  rexanuz2nf  45481  stoweidlem17  46008  stoweidlem49  46040  wallispilem4  46059  stirlinglem6  46070  stirlinglem7  46071  stirlinglem10  46074  fourierdlem73  46170  fourierdlem111  46208  2ffzoeq  47318  modlt0b  47354  iccpartltu  47416  fmtnosqrt  47530  2pwp1prm  47580  nneven  47689