Theorem nngt0 12298

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 12295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 11786	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 11264	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11262	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11354	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   < clt 11296   ≤ cle 11297  ℕcn 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268

This theorem is referenced by:  nnnle0  12300  nngt0i  12306  nnsub  12311  nngt0d  12316  nnrecl  12526  nn0ge0  12553  0mnnnnn0  12560  elnnnn0b  12572  nn0sub  12578  elnnz  12625  nnm1ge0  12688  gtndiv  12697  elpq  13018  elpqb  13019  rpnnen1lem2  13020  rpnnen1lem1  13021  rpnnen1lem3  13022  rpnnen1lem5  13024  nnrp  13047  nnledivrp  13148  qbtwnre  13242  fzo1fzo0n0  13755  ubmelfzo  13770  elfznelfzo  13812  adddivflid  13859  flltdivnn0lt  13874  quoremz  13896  quoremnn0ALT  13898  intfracq  13900  fldiv  13901  expnnval  14106  nnlesq  14245  expnngt1  14281  faclbnd  14330  bc0k  14351  ccatval21sw  14624  ccats1pfxeqrex  14754  harmonic  15896  nndivdvds  16300  evennn2n  16389  nnoddm1d2  16424  ndvdssub  16447  ndvdsadd  16448  nn0rppwr  16599  sqgcd  16600  nn0expgcd  16602  lcmgcdlem  16644  qredeu  16696  isprm5  16745  divdenle  16787  hashgcdlem  16826  oddprm  16849  pythagtriplem12  16865  pythagtriplem13  16866  pythagtriplem14  16867  pythagtriplem16  16869  pythagtriplem19  16872  pc2dvds  16918  fldivp1  16936  prmreclem3  16957  prmgaplem7  17096  mulgnn  19094  mulgnegnn  19103  odmodnn0  19559  prmirredlem  21484  znidomb  21581  fvmptnn04if  22856  chfacfscmul0  22865  chfacfpmmul0  22869  dyadss  25630  volivth  25643  vitali  25649  mbfi1fseqlem3  25753  itg2gt0  25796  idomrootle  26213  dgrcolem2  26315  logtayllem  26702  leibpi  26986  eldmgm  27066  basellem6  27130  muinv  27237  logfac2  27262  bcmono  27322  bposlem5  27333  bposlem6  27334  lgsval4a  27364  gausslemma2dlem1a  27410  ostth2lem1  27663  ostth2lem3  27680  clwwlkf1  30069  clwwlknonccat  30116  minvecolem3  30896  xnn0gt0  32774  tgoldbachgtda  34677  subfaclim  35194  subfacval3  35195  snmlff  35335  nn0prpwlem  36324  nndivsub  36459  nndivlub  36460  poimirlem32  37660  fzmul  37749  factwoffsmonot  42244  negn0nposznnd  42322  fimgmcyc  42549  irrapxlem1  42838  irrapxlem2  42839  pellexlem1  42845  monotoddzzfi  42959  rmynn  42973  jm2.24nn  42976  jm2.17c  42979  congabseq  42991  jm2.20nn  43014  rmydioph  43031  dgrsub2  43152  rp-isfinite6  43536  rexanuz2nf  45508  stoweidlem17  46037  stoweidlem49  46069  wallispilem4  46088  stirlinglem6  46099  stirlinglem7  46100  stirlinglem10  46103  fourierdlem73  46199  fourierdlem111  46237  2ffzoeq  47344  iccpartltu  47417  fmtnosqrt  47531  2pwp1prm  47581  nneven  47690