Theorem cosq14ge0 26475

Description: The cosine of a number between -π / 2 and π / 2 is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cosq14ge0	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosq14ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 26428	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2		neghalfpire 26429	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
3	2, 1	elicc2i 13365	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (π / 2)))
4	3	simp1bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		resubcl 11458	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7	3	simp3bi 1148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ≤ (π / 2))
8		subge0 11663	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ (π / 2)))
9	1, 4, 8	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ (π / 2)))
10	7, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝐴))
11		picn 26422	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
12		halfcl 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14	13	negcli 11462	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
15	11, 13	negsubi 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
16		pidiv2halves 26431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
17	11, 13, 13, 16	subaddrii 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
18	15, 17	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
19	13, 11, 14, 18	subaddrii 11483	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
20	3	simp2bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝐴)
21	19, 20	eqbrtrid 5120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝐴)
22		pire 26421	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
23		suble 11628	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((π / 2) − 𝐴) ≤ π ↔ ((π / 2) − π) ≤ 𝐴))
24	1, 22, 23	mp3an13 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) − 𝐴) ≤ π ↔ ((π / 2) − π) ≤ 𝐴))
25	4, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − 𝐴) ≤ π ↔ ((π / 2) − π) ≤ 𝐴))
26	21, 25	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ≤ π)
27		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
28	27, 22	elicc2i 13365	. . . 4 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) ≤ π))
29	6, 10, 26, 28	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π))
30		sinq12ge0 26472	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
32	4	recnd 11173	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
33		sinhalfpim 26457	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
35	31, 34	breqtrd 5111	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  [,]cicc 13301  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  efif1olem4  26509  cxpsqrtlem  26666  cos2h  37932