Theorem nn0sumltlt 45686

Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumltlt	⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12242	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
2		nn0re 12242	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nn0re 12242	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
4		ltaddsub2 11450	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1159	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
6		nn0ge0 12258	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
7	6	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
8	1, 3	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
9	8	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10		subge02 11491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐))
11	10	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
13	7, 12	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐)
14	2	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		nn0resubcl 44800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
16	15	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
17	16	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
18	3	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19		ltletr 11067	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
21	13, 20	mpan2d 691	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐 − 𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
22	5, 21	sylbid 239	1 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  45727