Theorem nn0sumltlt 47181

Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumltlt	⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12477	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
2		nn0re 12477	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nn0re 12477	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
4		ltaddsub2 11685	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1157	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
6		nn0ge0 12493	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
7	6	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
8	1, 3	anim12ci 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
9	8	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10		subge02 11726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐))
11	10	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐)
14	2	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		nn0resubcl 46467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
17	16	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
18	3	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19		ltletr 11302	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
21	13, 20	mpan2d 691	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐 − 𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
22	5, 21	sylbid 239	1 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105   + caddc 11108   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  47221