Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumltlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumltlt 47284
Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumltlt ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt
StepHypRef Expression
1 nn0re 12482 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
2 nn0re 12482 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
3 nn0re 12482 . . 3 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
4 ltaddsub2 11690 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < (𝑐𝑎)))
51, 2, 3, 4syl3an 1157 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < (𝑐𝑎)))
6 nn0ge0 12498 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
81, 3anim12ci 613 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
983adant2 1128 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10 subge02 11731 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐𝑎) ≤ 𝑐))
1110bicomd 222 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
137, 12mpbird 257 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ≤ 𝑐)
1423ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 nn0resubcl 46570 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
1615ancoms 458 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
17163adant2 1128 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
1833ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19 ltletr 11307 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐𝑎) ∧ (𝑐𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
2014, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐𝑎) ∧ (𝑐𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
2113, 20mpan2d 691 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
225, 21sylbid 239 1 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250  cmin 11445  0cn0 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  47324
  Copyright terms: Public domain W3C validator