Theorem nn0sumltlt 48212

Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumltlt	⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12519	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
2		nn0re 12519	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nn0re 12519	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
4		ltaddsub2 11721	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
6		nn0ge0 12535	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
8	1, 3	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
9	8	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10		subge02 11762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐))
11	10	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐)
14	2	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		nn0resubcl 47266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
17	16	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
18	3	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19		ltletr 11336	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
21	13, 20	mpan2d 694	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐 − 𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
22	5, 21	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  (class class class)co 7414  ℝcr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11475  ℕ₀cn0 12510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  48249