Theorem nn0sumltlt 48195

Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumltlt	⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12533	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
2		nn0re 12533	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nn0re 12533	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
4		ltaddsub2 11736	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1159	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
6		nn0ge0 12549	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
7	6	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
8	1, 3	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
9	8	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10		subge02 11777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐))
11	10	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐)
14	2	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		nn0resubcl 47258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
17	16	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
18	3	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19		ltletr 11351	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
21	13, 20	mpan2d 694	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐 − 𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
22	5, 21	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  48232