Theorem nn0sumltlt 48512

Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumltlt	⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12401	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℝ)
2		nn0re 12401	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nn0re 12401	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → 𝑐 ∈ ℝ)
4		ltaddsub2 11603	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 ↔ 𝑏 < (𝑐 − 𝑎)))
6		nn0ge0 12417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
8	1, 3	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
9	8	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10		subge02 11644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐))
11	10	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐)
14	2	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		nn0resubcl 47470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
17	16	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ)
18	3	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19		ltletr 11216	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐 − 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐 − 𝑎) ∧ (𝑐 − 𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
21	13, 20	mpan2d 694	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐 − 𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
22	5, 21	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐 → 𝑏 < 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017   + caddc 11020   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℕ₀cn0 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  48548