Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem1 46557
Description: Lemma 1 for ply1mulgsum 46561. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.a ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
ply1mulgsum.c ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
ply1mulgsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.pm ร— = (.rโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.sm ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.rm โˆ— = (.rโ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘    ๐ต,๐‘›,๐‘    ๐ถ,๐‘›,๐‘    ๐‘›,๐พ,๐‘    ๐‘›,๐ฟ,๐‘    ๐‘…,๐‘›,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘›,๐‘ )   ยท (๐‘›,๐‘ )   ร— (๐‘›,๐‘ )   โ†‘ (๐‘›,๐‘ )   โˆ— (๐‘›,๐‘ )   ๐‘€(๐‘›,๐‘ )   ๐‘‹(๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem ply1mulgsumlem1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.a . . . 4 ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
2 ply1mulgsum.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 eqid 2733 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
51, 2, 3, 4coe1ae0 21610 . . 3 (๐พ โˆˆ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
653ad2ant2 1135 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
7 ply1mulgsum.c . . . . 5 ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
87, 2, 3, 4coe1ae0 21610 . . . 4 (๐ฟ โˆˆ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
983ad2ant3 1136 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
10 nn0addcl 12456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
13 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ (๐‘  < ๐‘› โ†” (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›))
1413imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ ((๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
1514ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง ๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
17 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
18 nn0cn 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2219, 21addcomd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘Ž))
23223adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘Ž))
2423breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†” (๐‘ + ๐‘Ž) < ๐‘›))
25 nn0sumltlt 46516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐‘Ž) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›))
2624, 25sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›))
27263expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›)))
2827ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›)))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›)))
3029imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›))
3130imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
3332imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
34 nn0sumltlt 46516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›))
35343expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›)))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›)))
3736imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›))
3837imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
3938com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
4039imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
4133, 40anim12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โ†’ (((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
4241imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โˆง ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
4342ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โˆง ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
4443exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ (((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4544com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4645ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4717, 46biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4847imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
4912, 16, 48rspcedvd 3585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
5049exp31 421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5251expd 417 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5352com34 91 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5453impancom 453 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5554com14 96 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5655impcom 409 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5756rexlimiva 3141 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5857com13 88 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5958rexlimiva 3141 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
609, 59mpcom 38 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
616, 60mpd 15 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   + caddc 11062   < clt 11197  โ„•0cn0 12421  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-ple 17161  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-ply1 21576  df-coe1 21577
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem2  46558
  Copyright terms: Public domain W3C validator