Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem1 47057
Description: Lemma 1 for ply1mulgsum 47061. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.a ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
ply1mulgsum.c ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
ply1mulgsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.pm ร— = (.rโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.sm ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.rm โˆ— = (.rโ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘    ๐ต,๐‘›,๐‘    ๐ถ,๐‘›,๐‘    ๐‘›,๐พ,๐‘    ๐‘›,๐ฟ,๐‘    ๐‘…,๐‘›,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘›,๐‘ )   ยท (๐‘›,๐‘ )   ร— (๐‘›,๐‘ )   โ†‘ (๐‘›,๐‘ )   โˆ— (๐‘›,๐‘ )   ๐‘€(๐‘›,๐‘ )   ๐‘‹(๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem ply1mulgsumlem1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.a . . . 4 ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
2 ply1mulgsum.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 eqid 2732 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
51, 2, 3, 4coe1ae0 21739 . . 3 (๐พ โˆˆ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
653ad2ant2 1134 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
7 ply1mulgsum.c . . . . 5 ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
87, 2, 3, 4coe1ae0 21739 . . . 4 (๐ฟ โˆˆ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
983ad2ant3 1135 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
10 nn0addcl 12506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
13 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ (๐‘  < ๐‘› โ†” (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›))
1413imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ ((๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
1514ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง ๐‘  = (๐‘Ž + ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
17 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
18 nn0cn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2219, 21addcomd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘Ž))
23223adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘Ž))
2423breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†” (๐‘ + ๐‘Ž) < ๐‘›))
25 nn0sumltlt 47016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐‘Ž) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›))
2624, 25sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›))
27263expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›)))
2827ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›)))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›)))
3029imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘Ž < ๐‘›))
3130imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
3332imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
34 nn0sumltlt 47016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›))
35343expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›)))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›)))
3736imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ๐‘ < ๐‘›))
3837imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
3938com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
4039imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
4133, 40anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โ†’ (((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
4241imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โˆง ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
4342ancomd 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘›) โˆง ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))
4443exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ (((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4544com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4645ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4717, 46biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4847imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘Ž + ๐‘) < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
4912, 16, 48rspcedvd 3614 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
5049exp31 420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5251expd 416 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5352com34 91 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5453impancom 452 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5554com14 96 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))))
5655impcom 408 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5756rexlimiva 3147 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5857com13 88 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
5958rexlimiva 3147 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘Ž < ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))))
609, 59mpcom 38 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘ < ๐‘› โ†’ (๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…)))))
616, 60mpd 15 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐‘…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   < clt 11247  โ„•0cn0 12471  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700  coe1cco1 21701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-ply1 21705  df-coe1 21706
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem2  47058
  Copyright terms: Public domain W3C validator