Theorem vitalilem1 25582

Description: Lemma for vitali 25587. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vitali.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
vitalilem1	⊢ ∼ Er (0[,]1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦, ∼

Proof of Theorem vitalilem1

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
2	1	relopabiv 5779	. 2 ⊢ Rel ∼
3		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5		unitssre 13429	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
9	5	sseli 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
11	10	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
12	8, 11	negsubdi2d 11522	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
13		qnegcl 12893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
15	12, 14	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ)
16	3, 4, 15	jca31 514	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
17		oveq12 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
18	17	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
19	18, 1	brab2a 5727	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
20		oveq12 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑢))
21	20	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
22	21, 1	brab2a 5727	. . 3 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
23	16, 19, 22	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 → 𝑣 ∼ 𝑢)
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑣)
25	24, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
26	25	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
27	26	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∼ 𝑤)
29		oveq12 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑤))
30	29	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
31	30, 1	brab2a 5727	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
32	28, 31	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
33	32	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
34	33	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
35	27, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
36	25, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
37	5, 34	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
39	35, 36, 38	npncand 11530	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑤))
40	25	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
41	32	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ)
42		qaddcl 12892	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
44	39, 43	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ)
45		oveq12 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑤))
46	45	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
47	46, 1	brab2a 5727	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
48	27, 34, 44, 47	syl21anbrc 1346	. 2 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑤)
49	7	subidd 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) = 0)
50		0z 12513	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zq 12881	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
53	49, 52	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
55	54	pm4.71i 559	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
56		pm4.24 563	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
57		oveq12 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑢))
58	57	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
59	58, 1	brab2a 5727	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
60	55, 56, 59	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 ∼ 𝑢)
61	2, 23, 48, 60	iseri 8675	1 ⊢ ∼ Er (0[,]1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  {copab 5162  (class class class)co 7370   Er wer 8644  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   − cmin 11378  -cneg 11379  ℤcz 12502  ℚcq 12875  [,]cicc 13278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-q 12876  df-icc 13282

This theorem is referenced by:  vitalilem2  25583  vitalilem3  25584  vitalilem5  25586  vitali  25587