Theorem vitalilem1 25488

Description: Lemma for vitali 25493. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vitali.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
vitalilem1	⊢ ∼ Er (0[,]1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦, ∼

Proof of Theorem vitalilem1

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
2	1	relopabiv 5813	. 2 ⊢ Rel ∼
3		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5		unitssre 13479	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
9	5	sseli 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
11	10	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
12	8, 11	negsubdi2d 11588	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
13		qnegcl 12951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
15	12, 14	eqeltrrd 2828	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ)
16	3, 4, 15	jca31 514	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
17		oveq12 7413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
18	17	eleq1d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
19	18, 1	brab2a 5762	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
20		oveq12 7413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑢))
21	20	eleq1d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
22	21, 1	brab2a 5762	. . 3 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
23	16, 19, 22	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 → 𝑣 ∼ 𝑢)
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑣)
25	24, 19	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
26	25	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
27	26	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∼ 𝑤)
29		oveq12 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑤))
30	29	eleq1d 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
31	30, 1	brab2a 5762	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
32	28, 31	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
33	32	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
34	33	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
35	27, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
36	25, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
37	5, 34	sselid 3975	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
39	35, 36, 38	npncand 11596	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑤))
40	25	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
41	32	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ)
42		qaddcl 12950	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
44	39, 43	eqeltrrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ)
45		oveq12 7413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑤))
46	45	eleq1d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
47	46, 1	brab2a 5762	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
48	27, 34, 44, 47	syl21anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑤)
49	7	subidd 11560	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) = 0)
50		0z 12570	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zq 12939	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
53	49, 52	eqeltrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
55	54	pm4.71i 559	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
56		pm4.24 563	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
57		oveq12 7413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑢))
58	57	eleq1d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
59	58, 1	brab2a 5762	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
60	55, 56, 59	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 ∼ 𝑢)
61	2, 23, 48, 60	iseri 8729	1 ⊢ ∼ Er (0[,]1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  {copab 5203  (class class class)co 7404   Er wer 8699  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   − cmin 11445  -cneg 11446  ℤcz 12559  ℚcq 12933  [,]cicc 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-q 12934  df-icc 13334

This theorem is referenced by:  vitalilem2  25489  vitalilem3  25490  vitalilem5  25492  vitali  25493