MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem1 25459
Description: Lemma for vitali 25464. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
Assertion
Ref Expression
vitalilem1 Er (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,

Proof of Theorem vitalilem1
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vitali.1 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
21relopabiv 5810 . 2 Rel
3 simplr 766 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4 simpll 764 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5 unitssre 13473 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
65sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
76recnd 11239 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
87ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
95sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
109recnd 11239 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
1110ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
128, 11negsubdi2d 11584 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) = (𝑣𝑢))
13 qnegcl 12947 . . . . . 6 ((𝑢𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1413adantl 481 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1512, 14eqeltrrd 2826 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣𝑢) ∈ ℚ)
163, 4, 15jca31 514 . . 3 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
17 oveq12 7410 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑣))
1817eleq1d 2810 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
1918, 1brab2a 5759 . . 3 (𝑢 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
20 oveq12 7410 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑢))
2120eleq1d 2810 . . . 4 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2221, 1brab2a 5759 . . 3 (𝑣 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2316, 19, 223imtr4i 292 . 2 (𝑢 𝑣𝑣 𝑢)
24 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑣)
2524, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
2625simpld 494 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
2726simpld 494 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 𝑤)
29 oveq12 7410 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑤))
3029eleq1d 2810 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3130, 1brab2a 5759 . . . . . 6 (𝑣 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3228, 31sylib 217 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3332simpld 494 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3433simprd 495 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
3527, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
3625, 11syl 17 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
375, 34sselid 3972 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
3837recnd 11239 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
3935, 36, 38npncand 11592 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) = (𝑢𝑤))
4025simprd 495 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑣) ∈ ℚ)
4132simprd 495 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣𝑤) ∈ ℚ)
42 qaddcl 12946 . . . . 5 (((𝑢𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4340, 41, 42syl2anc 583 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4439, 43eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑤) ∈ ℚ)
45 oveq12 7410 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑤))
4645eleq1d 2810 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
4746, 1brab2a 5759 . . 3 (𝑢 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
4827, 34, 44, 47syl21anbrc 1341 . 2 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑤)
497subidd 11556 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) = 0)
50 0z 12566 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
51 zq 12935 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ ℚ
5349, 52eqeltrdi 2833 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5453adantr 480 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5554pm4.71i 559 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
56 pm4.24 563 . . 3 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
57 oveq12 7410 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑢))
5857eleq1d 2810 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
5958, 1brab2a 5759 . . 3 (𝑢 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6055, 56, 593bitr4i 303 . 2 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 𝑢)
612, 23, 48, 60iseri 8726 1 Er (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5138  {copab 5200  (class class class)co 7401   Er wer 8696  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  cmin 11441  -cneg 11442  cz 12555  cq 12929  [,]cicc 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-q 12930  df-icc 13328
This theorem is referenced by:  vitalilem2  25460  vitalilem3  25461  vitalilem5  25463  vitali  25464
  Copyright terms: Public domain W3C validator