Theorem vitalilem1 25566

Description: Lemma for vitali 25571. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vitali.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
vitalilem1	⊢ ∼ Er (0[,]1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦, ∼

Proof of Theorem vitalilem1

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
2	1	relopabiv 5804	. 2 ⊢ Rel ∼
3		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5		unitssre 13521	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
9	5	sseli 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
11	10	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
12	8, 11	negsubdi2d 11615	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
13		qnegcl 12987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
15	12, 14	eqeltrrd 2836	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ)
16	3, 4, 15	jca31 514	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
17		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
18	17	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
19	18, 1	brab2a 5753	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
20		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑢))
21	20	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
22	21, 1	brab2a 5753	. . 3 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
23	16, 19, 22	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 → 𝑣 ∼ 𝑢)
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑣)
25	24, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
26	25	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
27	26	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∼ 𝑤)
29		oveq12 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑤))
30	29	eleq1d 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
31	30, 1	brab2a 5753	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
32	28, 31	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
33	32	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
34	33	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
35	27, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
36	25, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
37	5, 34	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
39	35, 36, 38	npncand 11623	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑤))
40	25	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
41	32	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ)
42		qaddcl 12986	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
44	39, 43	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ)
45		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑤))
46	45	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
47	46, 1	brab2a 5753	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
48	27, 34, 44, 47	syl21anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑤)
49	7	subidd 11587	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) = 0)
50		0z 12604	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zq 12975	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
53	49, 52	eqeltrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
55	54	pm4.71i 559	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
56		pm4.24 563	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
57		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑢))
58	57	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
59	58, 1	brab2a 5753	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
60	55, 56, 59	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 ∼ 𝑢)
61	2, 23, 48, 60	iseri 8751	1 ⊢ ∼ Er (0[,]1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  {copab 5186  (class class class)co 7410   Er wer 8721  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  -cneg 11472  ℤcz 12593  ℚcq 12969  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-q 12970  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  vitalilem2  25567  vitalilem3  25568  vitalilem5  25570  vitali  25571