Theorem vitalilem1 25657

Description: Lemma for vitali 25662. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vitali.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
vitalilem1	⊢ ∼ Er (0[,]1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦, ∼

Proof of Theorem vitalilem1

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
2	1	relopabiv 5833	. 2 ⊢ Rel ∼
3		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5		unitssre 13536	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
9	5	sseli 3991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
11	10	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
12	8, 11	negsubdi2d 11634	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
13		qnegcl 13006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
15	12, 14	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ)
16	3, 4, 15	jca31 514	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
17		oveq12 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
18	17	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
19	18, 1	brab2a 5782	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
20		oveq12 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑢))
21	20	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
22	21, 1	brab2a 5782	. . 3 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
23	16, 19, 22	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 → 𝑣 ∼ 𝑢)
24		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑣)
25	24, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
26	25	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
27	26	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∼ 𝑤)
29		oveq12 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑤))
30	29	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
31	30, 1	brab2a 5782	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
32	28, 31	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
33	32	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
34	33	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
35	27, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
36	25, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
37	5, 34	sselid 3993	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
39	35, 36, 38	npncand 11642	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑤))
40	25	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
41	32	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ)
42		qaddcl 13005	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
44	39, 43	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ)
45		oveq12 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑤))
46	45	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
47	46, 1	brab2a 5782	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
48	27, 34, 44, 47	syl21anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑤)
49	7	subidd 11606	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) = 0)
50		0z 12622	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zq 12994	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
53	49, 52	eqeltrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
55	54	pm4.71i 559	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
56		pm4.24 563	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
57		oveq12 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑢))
58	57	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
59	58, 1	brab2a 5782	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
60	55, 56, 59	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 ∼ 𝑢)
61	2, 23, 48, 60	iseri 8771	1 ⊢ ∼ Er (0[,]1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  {copab 5210  (class class class)co 7431   Er wer 8741  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  -cneg 11491  ℤcz 12611  ℚcq 12988  [,]cicc 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-q 12989  df-icc 13391

This theorem is referenced by:  vitalilem2  25658  vitalilem3  25659  vitalilem5  25661  vitali  25662