MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem1 23669
Description: Lemma for vitali 23674. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
Assertion
Ref Expression
vitalilem1 Er (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,

Proof of Theorem vitalilem1
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vitali.1 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
21relopabi 5416 . 2 Rel
3 simplr 785 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4 simpll 783 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5 unitssre 12529 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
65sseli 3759 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
76recnd 10324 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
87ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
95sseli 3759 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
109recnd 10324 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
1110ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
128, 11negsubdi2d 10664 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) = (𝑣𝑢))
13 qnegcl 12009 . . . . . 6 ((𝑢𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1413adantl 473 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1512, 14eqeltrrd 2845 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣𝑢) ∈ ℚ)
163, 4, 15jca31 510 . . 3 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
17 oveq12 6853 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑣))
1817eleq1d 2829 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
1918, 1brab2a 5366 . . 3 (𝑢 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
20 oveq12 6853 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑢))
2120eleq1d 2829 . . . 4 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2221, 1brab2a 5366 . . 3 (𝑣 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2316, 19, 223imtr4i 283 . 2 (𝑢 𝑣𝑣 𝑢)
24 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑣)
2524, 19sylib 209 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
2625simpld 488 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
2726simpld 488 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 𝑤)
29 oveq12 6853 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑤))
3029eleq1d 2829 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3130, 1brab2a 5366 . . . . . . 7 (𝑣 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3228, 31sylib 209 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3332simpld 488 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3433simprd 489 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
3527, 34jca 507 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3627, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
3725, 11syl 17 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
385, 34sseldi 3761 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
3938recnd 10324 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
4036, 37, 39npncand 10672 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) = (𝑢𝑤))
4125simprd 489 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑣) ∈ ℚ)
4232simprd 489 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣𝑤) ∈ ℚ)
43 qaddcl 12008 . . . . 5 (((𝑢𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4441, 42, 43syl2anc 579 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4540, 44eqeltrrd 2845 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑤) ∈ ℚ)
46 oveq12 6853 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑤))
4746eleq1d 2829 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
4847, 1brab2a 5366 . . 3 (𝑢 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
4935, 45, 48sylanbrc 578 . 2 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑤)
507subidd 10636 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) = 0)
51 0z 11637 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
52 zq 11998 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ ℚ
5450, 53syl6eqel 2852 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5554adantr 472 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5655pm4.71i 555 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
57 pm4.24 559 . . 3 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
58 oveq12 6853 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑢))
5958eleq1d 2829 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6059, 1brab2a 5366 . . 3 (𝑢 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6156, 57, 603bitr4i 294 . 2 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 𝑢)
622, 23, 49, 61iseri 7976 1 Er (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811  {copab 4873  (class class class)co 6844   Er wer 7946  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194  cmin 10522  -cneg 10523  cz 11626  cq 11992  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-q 11993  df-icc 12387
This theorem is referenced by:  vitalilem2  23670  vitalilem3  23671  vitalilem5  23673  vitali  23674
  Copyright terms: Public domain W3C validator