![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subsq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Factor the difference of two squares. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.) |
Ref | Expression |
---|---|
subsq | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 484 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
2 | simpr 486 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ โ) | |
3 | subcl 11407 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) | |
4 | 1, 2, 3 | adddird 11187 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) + (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
5 | subdi 11595 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
6 | 5 | 3anidm12 1420 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
7 | sqval 14027 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) | |
8 | 7 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) |
9 | 8 | oveq1d 7377 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
10 | 6, 9 | eqtr4d 2780 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 2, 1, 2 | subdid 11618 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ต))) |
12 | mulcom 11144 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
13 | sqval 14027 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) | |
14 | 13 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) |
15 | 12, 14 | oveq12d 7380 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2)) = ((๐ต ยท ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ต))) |
16 | 11, 15 | eqtr4d 2780 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2))) |
17 | 10, 16 | oveq12d 7380 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) + (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต))) = (((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2)))) |
18 | sqcl 14030 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) โ โ) | |
19 | 18 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ2) โ โ) |
20 | mulcl 11142 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
21 | sqcl 14030 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) โ โ) | |
22 | 21 | adantl 483 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ตโ2) โ โ) |
23 | 19, 20, 22 | npncand 11543 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2))) = ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
24 | 4, 17, 23 | 3eqtrrd 2782 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7362 โcc 11056 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โ cmin 11392 2c2 12215 โcexp 13974 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-2 12223 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-seq 13914 df-exp 13975 |
This theorem is referenced by: subsq2 14122 subsqi 14124 pythagtriplem4 16698 pythagtriplem6 16700 pythagtriplem7 16701 pythagtriplem12 16705 pythagtriplem14 16707 pythagtriplem16 16709 difsqpwdvds 16766 4sqlem8 16824 4sqlem10 16826 4sqlem11 16834 chordthmlem4 26201 heron 26204 dcubic2 26210 cubic 26215 dquart 26219 asinlem2 26235 asinsin 26258 efiatan2 26283 atans2 26297 dvatan 26301 wilthlem1 26433 lgslem1 26661 lgsqrlem2 26711 2sqlem4 26785 2sqblem 26795 2sqmod 26800 rplogsumlem1 26848 pellexlem2 41182 pell1234qrne0 41205 pell1234qrreccl 41206 pell1234qrmulcl 41207 pell14qrdich 41221 rmxyneg 41273 sqrtcval 41987 stoweidlem1 44316 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |