![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subsq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Factor the difference of two squares. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.) |
Ref | Expression |
---|---|
subsq | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 482 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
2 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ โ) | |
3 | subcl 11489 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) | |
4 | 1, 2, 3 | adddird 11269 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) + (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
5 | subdi 11677 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
6 | 5 | 3anidm12 1417 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
7 | sqval 14111 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) | |
8 | 7 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) |
9 | 8 | oveq1d 7435 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
10 | 6, 9 | eqtr4d 2771 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 2, 1, 2 | subdid 11700 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ต))) |
12 | mulcom 11224 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
13 | sqval 14111 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) | |
14 | 13 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) |
15 | 12, 14 | oveq12d 7438 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2)) = ((๐ต ยท ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ต))) |
16 | 11, 15 | eqtr4d 2771 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2))) |
17 | 10, 16 | oveq12d 7438 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) + (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต))) = (((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2)))) |
18 | sqcl 14114 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) โ โ) | |
19 | 18 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ2) โ โ) |
20 | mulcl 11222 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
21 | sqcl 14114 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) โ โ) | |
22 | 21 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ตโ2) โ โ) |
23 | 19, 20, 22 | npncand 11625 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2))) = ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
24 | 4, 17, 23 | 3eqtrrd 2773 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7420 โcc 11136 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โ cmin 11474 2c2 12297 โcexp 14058 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-2 12305 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-seq 13999 df-exp 14059 |
This theorem is referenced by: subsq2 14206 subsqi 14208 pythagtriplem4 16787 pythagtriplem6 16789 pythagtriplem7 16790 pythagtriplem12 16794 pythagtriplem14 16796 pythagtriplem16 16798 difsqpwdvds 16855 4sqlem8 16913 4sqlem10 16915 4sqlem11 16923 chordthmlem4 26766 heron 26769 dcubic2 26775 cubic 26780 dquart 26784 asinlem2 26800 asinsin 26823 efiatan2 26848 atans2 26862 dvatan 26866 wilthlem1 26999 lgslem1 27229 lgsqrlem2 27279 2sqlem4 27353 2sqblem 27363 2sqmod 27368 rplogsumlem1 27416 pellexlem2 42250 pell1234qrne0 42273 pell1234qrreccl 42274 pell1234qrmulcl 42275 pell14qrdich 42289 rmxyneg 42341 sqrtcval 43071 stoweidlem1 45389 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |