![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subsq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Factor the difference of two squares. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.) |
Ref | Expression |
---|---|
subsq | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 482 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
2 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ โ) | |
3 | subcl 11458 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) | |
4 | 1, 2, 3 | adddird 11238 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) + (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
5 | subdi 11646 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
6 | 5 | 3anidm12 1416 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
7 | sqval 14081 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) | |
8 | 7 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) |
9 | 8 | oveq1d 7417 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ด) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
10 | 6, 9 | eqtr4d 2767 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 2, 1, 2 | subdid 11669 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ต ยท ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ต))) |
12 | mulcom 11193 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
13 | sqval 14081 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) | |
14 | 13 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) |
15 | 12, 14 | oveq12d 7420 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2)) = ((๐ต ยท ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ต))) |
16 | 11, 15 | eqtr4d 2767 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2))) |
17 | 10, 16 | oveq12d 7420 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท (๐ด โ ๐ต)) + (๐ต ยท (๐ด โ ๐ต))) = (((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2)))) |
18 | sqcl 14084 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) โ โ) | |
19 | 18 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ2) โ โ) |
20 | mulcl 11191 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
21 | sqcl 14084 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) โ โ) | |
22 | 21 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ตโ2) โ โ) |
23 | 19, 20, 22 | npncand 11594 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ดโ2) โ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โ (๐ตโ2))) = ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2))) |
24 | 4, 17, 23 | 3eqtrrd 2769 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7402 โcc 11105 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โ cmin 11443 2c2 12266 โcexp 14028 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-seq 13968 df-exp 14029 |
This theorem is referenced by: subsq2 14176 subsqi 14178 pythagtriplem4 16757 pythagtriplem6 16759 pythagtriplem7 16760 pythagtriplem12 16764 pythagtriplem14 16766 pythagtriplem16 16768 difsqpwdvds 16825 4sqlem8 16883 4sqlem10 16885 4sqlem11 16893 chordthmlem4 26707 heron 26710 dcubic2 26716 cubic 26721 dquart 26725 asinlem2 26741 asinsin 26764 efiatan2 26789 atans2 26803 dvatan 26807 wilthlem1 26940 lgslem1 27170 lgsqrlem2 27220 2sqlem4 27294 2sqblem 27304 2sqmod 27309 rplogsumlem1 27357 pellexlem2 42118 pell1234qrne0 42141 pell1234qrreccl 42142 pell1234qrmulcl 42143 pell14qrdich 42157 rmxyneg 42209 sqrtcval 42941 stoweidlem1 45262 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |