Theorem itscnhlinecirc02plem2 49414

Description: Lemma 2 for itscnhlinecirc02p 49416. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
itscnhlinecirc02plem2.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
itscnhlinecirc02plem2.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1241	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpl1r 1242	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl2l 1243	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
4		simpl2r 1244	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itscnhlinecirc02plem2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
6		itscnhlinecirc02plem2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
8		simprl 782	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		simprr 784	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
10		simpl3 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ≠ 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	itscnhlinecirc02plem1 49413	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
12		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑋) = (𝑋 · 𝐵))
17		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑌) = (𝑌 · 𝐴))
22	16, 21	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
23	15, 18, 13	subdird 11659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
24	13, 20, 18	subdird 11659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)))
25	23, 24	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))))
26	13, 18	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
27	26	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
28	27	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))))
29	15, 13	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
30	18, 13	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	20, 18	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 · 𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	npncand 11581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
34	22, 33	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)))
35		itscnhlinecirc02plem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))
36	5	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)
37	6	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 · 𝐴) = ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)
38	36, 37	oveq12i 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴))
39	34, 35, 38	3eqtr4g 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐷 · 𝐶) = (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))
41	40	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐷 · 𝐶)) = (2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
42	41	negeqd 11439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -(2 · (𝐷 · 𝐶)) = -(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
43	42	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2))
44	39	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
45	44	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))
46	45	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))
47	46	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
48	43, 47	oveq12d 7418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
49	48	3adant3 1148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
50	49	adantr 485	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
51	11, 50	breqtrrd 5133	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   − cmin 11429  -cneg 11430  2c2 12286  4c4 12288  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem3  49415