Theorem itscnhlinecirc02plem2 47968

Description: Lemma 2 for itscnhlinecirc02p 47970. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
itscnhlinecirc02plem2.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
itscnhlinecirc02plem2.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpl1r 1222	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl2l 1223	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
4		simpl2r 1224	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itscnhlinecirc02plem2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
6		itscnhlinecirc02plem2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
7		eqid 2725	. . 3 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
8		simprl 769	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		simprr 771	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
10		simpl3 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ≠ 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	itscnhlinecirc02plem1 47967	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
12		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcomd 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑋) = (𝑋 · 𝐵))
17		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcomd 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑌) = (𝑌 · 𝐴))
22	16, 21	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
23	15, 18, 13	subdird 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
24	13, 20, 18	subdird 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)))
25	23, 24	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))))
26	13, 18	mulcomd 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
27	26	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
28	27	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))))
29	15, 13	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
30	18, 13	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	20, 18	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 · 𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	npncand 11625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
34	22, 33	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)))
35		itscnhlinecirc02plem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))
36	5	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)
37	6	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 · 𝐴) = ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)
38	36, 37	oveq12i 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴))
39	34, 35, 38	3eqtr4g 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐷 · 𝐶) = (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))
41	40	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐷 · 𝐶)) = (2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
42	41	negeqd 11484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -(2 · (𝐷 · 𝐶)) = -(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
43	42	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2))
44	39	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
45	44	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))
46	45	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))
47	46	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
48	43, 47	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
49	48	3adant3 1129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
50	49	adantr 479	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
51	11, 50	breqtrrd 5176	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   − cmin 11474  -cneg 11475  2c2 12297  4c4 12299  ↑cexp 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem3  47969