Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem2 46187
Description: Lemma 2 for itscnhlinecirc02p 46189. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem2.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
itscnhlinecirc02plem2.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
itscnhlinecirc02plem2.c ๐ถ = ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1224 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpl1r 1225 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simpl2l 1226 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
4 simpl2r 1227 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
5 itscnhlinecirc02plem2.d . . 3 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
6 itscnhlinecirc02plem2.e . . 3 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
7 eqid 2736 . . 3 ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
8 simprl 769 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9 simprr 771 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))
10 simpl3 1193 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐ต โ‰  ๐‘Œ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itscnhlinecirc02plem1 46186 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1312recnd 11049 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1514recnd 11049 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1613, 15mulcomd 11042 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘‹) = (๐‘‹ ยท ๐ต))
17 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1817recnd 11049 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2019recnd 11049 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
2118, 20mulcomd 11042 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Œ) = (๐‘Œ ยท ๐ด))
2216, 21oveq12d 7325 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
2315, 18, 13subdird 11478 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)))
2413, 20, 18subdird 11478 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด) = ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
2523, 24oveq12d 7325 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)) = (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))))
2613, 18mulcomd 11042 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
2726oveq1d 7322 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
2827oveq2d 7323 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))) = (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))))
2915, 13mulcld 11041 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3018, 13mulcld 11041 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3120, 18mulcld 11041 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3229, 30, 31npncand 11402 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
3325, 28, 323eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
3422, 33eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ)) = (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)))
35 itscnhlinecirc02plem2.c . . . . . . . . . 10 ๐ถ = ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ))
365oveq1i 7317 . . . . . . . . . . 11 (๐ท ยท ๐ต) = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต)
376oveq1i 7317 . . . . . . . . . . 11 (๐ธ ยท ๐ด) = ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)
3836, 37oveq12i 7319 . . . . . . . . . 10 ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) = (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด))
3934, 35, 383eqtr4g 2801 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)))
4039oveq2d 7323 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) = (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))
4140oveq2d 7323 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)))))
4241negeqd 11261 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ -(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = -(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)))))
4342oveq1d 7322 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) = (-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2))
4439oveq1d 7322 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2))
4544oveq1d 7322 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
4645oveq2d 7323 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
4746oveq2d 7323 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))
4843, 47oveq12d 7325 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
49483adant3 1132 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
5049adantr 482 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
5111, 50breqtrrd 5109 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  โ„cr 10916  0cc0 10917   + caddc 10920   ยท cmul 10922   < clt 11055   โˆ’ cmin 11251  -cneg 11252  2c2 12074  4c4 12076  โ†‘cexp 13828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-seq 13768  df-exp 13829
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem3  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator