Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem2 47779
Description: Lemma 2 for itscnhlinecirc02p 47781. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem2.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
itscnhlinecirc02plem2.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
itscnhlinecirc02plem2.c ๐ถ = ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1222 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpl1r 1223 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simpl2l 1224 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
4 simpl2r 1225 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
5 itscnhlinecirc02plem2.d . . 3 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
6 itscnhlinecirc02plem2.e . . 3 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
7 eqid 2727 . . 3 ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
8 simprl 770 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9 simprr 772 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))
10 simpl3 1191 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ๐ต โ‰  ๐‘Œ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itscnhlinecirc02plem1 47778 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
12 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1312recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1514recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1613, 15mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘‹) = (๐‘‹ ยท ๐ต))
17 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1817recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2019recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
2118, 20mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Œ) = (๐‘Œ ยท ๐ด))
2216, 21oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
2315, 18, 13subdird 11693 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)))
2413, 20, 18subdird 11693 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด) = ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
2523, 24oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)) = (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))))
2613, 18mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
2726oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
2827oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ต ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))) = (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))))
2915, 13mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3018, 13mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3120, 18mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3229, 30, 31npncand 11617 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด))) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
3325, 28, 323eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)) = ((๐‘‹ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐ด)))
3422, 33eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ)) = (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)))
35 itscnhlinecirc02plem2.c . . . . . . . . . 10 ๐ถ = ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Œ))
365oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐ท ยท ๐ต) = ((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต)
376oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐ธ ยท ๐ด) = ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด)
3836, 37oveq12i 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) = (((๐‘‹ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) + ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐ด))
3934, 35, 383eqtr4g 2792 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)))
4039oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) = (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))
4140oveq2d 7430 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)))))
4241negeqd 11476 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ -(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = -(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)))))
4342oveq1d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) = (-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2))
4439oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2))
4544oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
4645oveq2d 7430 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
4746oveq2d 7430 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))
4843, 47oveq12d 7432 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
49483adant3 1130 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
5049adantr 480 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ท ยท ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
5111, 50breqtrrd 5170 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))) โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  2c2 12289  4c4 12291  โ†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem3  47780
  Copyright terms: Public domain W3C validator