Theorem itscnhlinecirc02plem2 49591

Description: Lemma 2 for itscnhlinecirc02p 49593. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
itscnhlinecirc02plem2.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
itscnhlinecirc02plem2.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1242	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpl1r 1243	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl2l 1244	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
4		simpl2r 1245	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itscnhlinecirc02plem2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
6		itscnhlinecirc02plem2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
8		simprl 782	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		simprr 784	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
10		simpl3 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ≠ 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	itscnhlinecirc02plem1 49590	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
12		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑋) = (𝑋 · 𝐵))
17		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑌) = (𝑌 · 𝐴))
22	16, 21	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
23	15, 18, 13	subdird 11677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
24	13, 20, 18	subdird 11677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)))
25	23, 24	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))))
26	13, 18	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
27	26	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
28	27	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))))
29	15, 13	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
30	18, 13	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	20, 18	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 · 𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	npncand 11599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
34	22, 33	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)))
35		itscnhlinecirc02plem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))
36	5	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)
37	6	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 · 𝐴) = ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)
38	36, 37	oveq12i 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴))
39	34, 35, 38	3eqtr4g 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐷 · 𝐶) = (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐷 · 𝐶)) = (2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
42	41	negeqd 11457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -(2 · (𝐷 · 𝐶)) = -(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
43	42	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2))
44	39	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
45	44	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))
46	45	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))
47	46	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
48	43, 47	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
49	48	3adant3 1149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
50	49	adantr 485	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
51	11, 50	breqtrrd 5138	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11249   − cmin 11447  -cneg 11448  2c2 12301  4c4 12303  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  itscnhlinecirc02plem3  49592