Theorem itscnhlinecirc02plem2 47850

Description: Lemma 2 for itscnhlinecirc02p 47852. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
itscnhlinecirc02plem2.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
itscnhlinecirc02plem2.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1222	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpl1r 1223	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl2l 1224	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
4		simpl2r 1225	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itscnhlinecirc02plem2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
6		itscnhlinecirc02plem2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
7		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
8		simprl 770	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		simprr 772	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
10		simpl3 1191	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 𝐵 ≠ 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	itscnhlinecirc02plem1 47849	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
12		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcomd 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑋) = (𝑋 · 𝐵))
17		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
21	18, 20	mulcomd 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑌) = (𝑌 · 𝐴))
22	16, 21	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
23	15, 18, 13	subdird 11695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
24	13, 20, 18	subdird 11695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)))
25	23, 24	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))))
26	13, 18	mulcomd 11259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
27	26	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
28	27	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵 · 𝐴) − (𝑌 · 𝐴))) = (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))))
29	15, 13	mulcld 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
30	18, 13	mulcld 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	20, 18	mulcld 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 · 𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	npncand 11619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑌 · 𝐴)))
34	22, 33	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)))
35		itscnhlinecirc02plem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌))
36	5	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)
37	6	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 · 𝐴) = ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴)
38	36, 37	oveq12i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) + ((𝐵 − 𝑌) · 𝐴))
39	34, 35, 38	3eqtr4g 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐷 · 𝐶) = (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))
41	40	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐷 · 𝐶)) = (2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
42	41	negeqd 11478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -(2 · (𝐷 · 𝐶)) = -(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)))))
43	42	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2))
44	39	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
45	44	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))
46	45	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))
47	46	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
48	43, 47	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
49	48	3adant3 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
50	49	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐷 · ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
51	11, 50	breqtrrd 5170	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272   − cmin 11468  -cneg 11469  2c2 12291  4c4 12293  ↑cexp 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem3  47851