Theorem oldfi 27894

Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oldfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oldval 27814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
4		madef 27816	. . . . 5 ⊢ M :On⟶𝒫 No
5		ffun 6663	. . . . 5 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun M
7		nnfi 9093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8		imafi 9216	. . . 4 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10		elnn 7819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
11	10	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12		madefi 27893	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
14	13	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15		onss 7730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
17	4	fdmi 6671	. . . . . 6 ⊢ dom M = On
18	16, 17	sseqtrrdi 3964	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19		funimass4 6896	. . . . 5 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
20	6, 18, 19	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
21	14, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22		unifi 9245	. . 3 ⊢ ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
23	9, 21, 22	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
24	3, 23	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  dom cdm 5622   “ cima 5625  Oncon0 6315  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ωcom 7808  Fincfn 8884   No csur 27591   M cmade 27802   O cold 27803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-ac2 10374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-fin 8888  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-made 27807  df-old 27808

This theorem is referenced by:  onsfi  28336  oldfib  28357  bdayfinbndlem1  28447