Theorem oldfi 28330

Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oldfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (O‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oldval 28250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (O‘𝐴) = ∪ (M “ 𝐴))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (O‘𝐴) = ∪ (M “ 𝐴))
4		madef 28252	. . . . 5 ⊢ M:On⟶𝒫 No
5		ffun 6734	. . . . 5 ⊢ (M:On⟶𝒫 No → Fun M)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun M
7		nnfi 9211	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8		imafi 9335	. . . 4 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (M “ 𝐴) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (M “ 𝐴) ∈ Fin)
10		elnn 7912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
11	10	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12		madefi 28329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (M‘𝑥) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (M‘𝑥) ∈ Fin)
14	13	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (M‘𝑥) ∈ Fin)
15		onss 7823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
16	1, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
17	4	fdmi 6743	. . . . . 6 ⊢ dom M = On
18	16, 17	sseqtrrdi 3954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M)
19		funimass4 6972	. . . . 5 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M) → ((M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (M‘𝑥) ∈ Fin))
20	6, 18, 19	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (M‘𝑥) ∈ Fin))
21	14, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22		unifi 9361	. . 3 ⊢ (((M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ (M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ∪ (M “ 𝐴) ∈ Fin)
23	9, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ (M “ 𝐴) ∈ Fin)
24	3, 23	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (O‘𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5655   “ cima 5658  Oncon0 6380  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  ωcom 7901  Fincfn 9001  Nocsur 28027  Mcmade 28238  Ocold 28239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-made 28243  df-old 28244

This theorem is used by:  onsfi  28772  oldfib  28793  bdayfinbndlem1  28883