MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldfi 27969
Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
oldfi (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7909 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 oldval 27911 . . 3 (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ( M “ 𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ( M “ 𝐴))
4 madef 27913 . . . . 5 M :On⟶𝒫 No
5 ffun 6750 . . . . 5 ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
64, 5ax-mp 5 . . . 4 Fun M
7 nnfi 9233 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8 imafi 9381 . . . 4 ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10 elnn 7914 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
1110ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12 madefi 27968 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
1413ralrimiva 3152 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15 onss 7820 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
174fdmi 6758 . . . . . 6 dom M = On
1816, 17sseqtrrdi 4060 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19 funimass4 6986 . . . . 5 ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
206, 18, 19sylancr 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
2114, 20mpbird 257 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22 unifi 9412 . . 3 ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
239, 21, 22syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
243, 23eqeltrd 2844 1 (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wss 3976  𝒫 cpw 4622   cuni 4931  dom cdm 5700  cima 5703  Oncon0 6395  Fun wfun 6567  wf 6569  cfv 6573  ωcom 7903  Fincfn 9003   No csur 27702   M cmade 27899   O cold 27900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-ac2 10532
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-fin 9007  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-made 27904  df-old 27905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator