Theorem oldfi 27882

Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oldfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oldval 27819	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
4		madef 27821	. . . . 5 ⊢ M :On⟶𝒫 No
5		ffun 6714	. . . . 5 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun M
7		nnfi 9186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8		imafi 9330	. . . 4 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10		elnn 7877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
11	10	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12		madefi 27881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
14	13	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15		onss 7784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
17	4	fdmi 6722	. . . . . 6 ⊢ dom M = On
18	16, 17	sseqtrrdi 4005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19		funimass4 6948	. . . . 5 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
20	6, 18, 19	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
21	14, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22		unifi 9361	. . 3 ⊢ ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
23	9, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
24	3, 23	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888  dom cdm 5659   “ cima 5662  Oncon0 6357  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ωcom 7866  Fincfn 8964   No csur 27608   M cmade 27807   O cold 27808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-ac2 10482

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968  df-card 9958  df-acn 9961  df-ac 10135  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-made 27812  df-old 27813

This theorem is referenced by:  onsfi  28304