Theorem oldfi 27825

Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oldfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oldval 27762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
4		madef 27764	. . . . 5 ⊢ M :On⟶𝒫 No
5		ffun 6691	. . . . 5 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun M
7		nnfi 9131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8		imafi 9264	. . . 4 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10		elnn 7853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
11	10	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12		madefi 27824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
14	13	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15		onss 7761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
17	4	fdmi 6699	. . . . . 6 ⊢ dom M = On
18	16, 17	sseqtrrdi 3988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19		funimass4 6925	. . . . 5 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
20	6, 18, 19	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
21	14, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22		unifi 9295	. . 3 ⊢ ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
23	9, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
24	3, 23	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  dom cdm 5638   “ cima 5641  Oncon0 6332  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ωcom 7842  Fincfn 8918   No csur 27551   M cmade 27750   O cold 27751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-made 27755  df-old 27756

This theorem is referenced by:  onsfi  28247