MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldfi 27960
Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
oldfi (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7905 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 oldval 27902 . . 3 (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ( M “ 𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ( M “ 𝐴))
4 madef 27904 . . . . 5 M :On⟶𝒫 No
5 ffun 6749 . . . . 5 ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
64, 5ax-mp 5 . . . 4 Fun M
7 nnfi 9229 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8 imafi 9377 . . . 4 ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10 elnn 7910 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
1110ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12 madefi 27959 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
1413ralrimiva 3148 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15 onss 7816 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
174fdmi 6757 . . . . . 6 dom M = On
1816, 17sseqtrrdi 4054 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19 funimass4 6985 . . . . 5 ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
206, 18, 19sylancr 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
2114, 20mpbird 257 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22 unifi 9408 . . 3 ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
239, 21, 22syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
243, 23eqeltrd 2838 1 (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  wss 3970  𝒫 cpw 4622   cuni 4931  dom cdm 5699  cima 5702  Oncon0 6394  Fun wfun 6566  wf 6568  cfv 6572  ωcom 7899  Fincfn 8999   No csur 27693   M cmade 27890   O cold 27891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-ac2 10528
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-fin 9003  df-card 10004  df-acn 10007  df-ac 10181  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sslt 27835  df-scut 27837  df-made 27895  df-old 27896
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator