Theorem oldfi 27973

Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oldfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7837	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oldval 27893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
4		madef 27895	. . . . 5 ⊢ M :On⟶𝒫 No
5		ffun 6679	. . . . 5 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun M
7		nnfi 9121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8		imafi 9244	. . . 4 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10		elnn 7842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
11	10	ancoms 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12		madefi 27972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
14	13	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15		onss 7753	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
17	4	fdmi 6688	. . . . . 6 ⊢ dom M = On
18	16, 17	sseqtrrdi 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19		funimass4 6916	. . . . 5 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
20	6, 18, 19	sylancr 595	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
21	14, 20	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22		unifi 9273	. . 3 ⊢ ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
23	9, 21, 22	syl2anc 592	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
24	3, 23	eqeltrd 2852	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4545  ∪ cuni 4855  dom cdm 5636   “ cima 5639  Oncon0 6331  Fun wfun 6500  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  ωcom 7831  Fincfn 8912   No csur 27670   M cmade 27881   O cold 27882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-ac2 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-fin 8916  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10058  df-no 27673  df-lts 27674  df-bday 27675  df-slts 27817  df-cuts 27819  df-made 27886  df-old 27887

This theorem is referenced by:  onsfi  28415  oldfib  28436  bdayfinbndlem1  28526