Theorem oldfi 27906

Description: The old set of an ordinal natural is finite. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oldfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem oldfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		oldval 27848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) = ∪ ( M “ 𝐴))
4		madef 27850	. . . . 5 ⊢ M :On⟶𝒫 No
5		ffun 6720	. . . . 5 ⊢ ( M :On⟶𝒫 No → Fun M )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun M
7		nnfi 9190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8		imafi 9336	. . . 4 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
10		elnn 7881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
11	10	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
12		madefi 27905	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
14	13	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin)
15		onss 7788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ On)
17	4	fdmi 6728	. . . . . 6 ⊢ dom M = On
18	16, 17	sseqtrrdi 4007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ dom M )
19		funimass4 6954	. . . . 5 ⊢ ((Fun M ∧ 𝐴 ⊆ dom M ) → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
20	6, 18, 19	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (( M “ 𝐴) ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ( M ‘𝑥) ∈ Fin))
21	14, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( M “ 𝐴) ⊆ Fin)
22		unifi 9367	. . 3 ⊢ ((( M “ 𝐴) ∈ Fin ∧ ( M “ 𝐴) ⊆ Fin) → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
23	9, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ ( M “ 𝐴) ∈ Fin)
24	3, 23	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ( O ‘𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ⊆ wss 3933  𝒫 cpw 4582  ∪ cuni 4889  dom cdm 5667   “ cima 5670  Oncon0 6365  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ωcom 7870  Fincfn 8968   No csur 27639   M cmade 27836   O cold 27837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-ac2 10486

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-fin 8972  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-no 27642  df-slt 27643  df-bday 27644  df-sslt 27781  df-scut 27783  df-made 27841  df-old 27842

This theorem is referenced by: (None)