Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovn0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovn0lem 45579
Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (a)(ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovn0lem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovn0lem.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovn0lem.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))}
ovn0lem.infm (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
ovn0lem.i 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
Assertion
Ref Expression
ovn0lem (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = 0)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑘   𝐼,𝑙,𝑗,𝑘   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧   𝑋,𝑙   𝜑,𝑗,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)

Proof of Theorem ovn0lem
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13411 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 ovn0lem.infm . . 3 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
31, 2sselid 3979 . 2 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 0xr 11265 . . 3 0 ∈ ℝ*
54a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
6 ovn0lem.m . . . . 5 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))}
7 ssrab2 4076 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))} ⊆ ℝ*
86, 7eqsstri 4015 . . . 4 𝑀 ⊆ ℝ*
98a1i 11 . . 3 (𝜑𝑀 ⊆ ℝ*)
10 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
11 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
1210, 11pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
13 opelxp 5711 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨1, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
1412, 13mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 ⟨1, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑙𝑋) → ⟨1, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩)
1715, 16fmptd 7114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
18 reex 11203 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
1918, 18xpex 7742 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ × ℝ) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
21 ovn0lem.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
22 elmapg 8835 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
2320, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
2417, 23mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
2524adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
26 ovn0lem.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
2725, 26fmptd 7114 . . . . . . 7 (𝜑𝐼:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
28 ovexd 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ∈ V)
29 nnex 12222 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℕ ∈ V)
31 elmapg 8835 . . . . . . . 8 ((((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ↔ 𝐼:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋)))
3228, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ↔ 𝐼:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋)))
3327, 32mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ))
34 ovn0lem.n0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
35 n0 4345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 𝑙𝑋)
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑙 𝑙𝑋)
3736adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑙 𝑙𝑋)
38 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋)
39 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙))
4021ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
4127ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
42 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑗) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
4443adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
4644, 45fvovco 44190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))))
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4825elexd 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ V)
4926fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ V) → (𝐼𝑗) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
5047, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐼𝑗) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
52 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑙 = 𝑘) → ⟨1, 0⟩ = ⟨1, 0⟩)
5314elexi 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⟨1, 0⟩ ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ⟨1, 0⟩ ∈ V)
5551, 52, 45, 54fvmptd 7004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐼𝑗)‘𝑘) = ⟨1, 0⟩)
5655fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = (1st ‘⟨1, 0⟩))
5710elexi 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ V
584elexi 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ V
5957, 58op1st 7985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1st ‘⟨1, 0⟩) = 1
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘⟨1, 0⟩) = 1)
6156, 60eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = 1)
6255fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = (2nd ‘⟨1, 0⟩))
6357, 58op2nd 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2nd ‘⟨1, 0⟩) = 0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘⟨1, 0⟩) = 0)
6562, 64eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = 0)
6661, 65oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))) = (1[,)0))
67 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
68 1xr 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
69 ico0 13374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((1[,)0) = ∅ ↔ 0 ≤ 1))
7068, 4, 69mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1[,)0) = ∅ ↔ 0 ≤ 1)
7167, 70mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1[,)0) = ∅
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1[,)0) = ∅)
7346, 66, 723eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘) = ∅)
7473fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = (vol‘∅))
75 vol0 44973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘∅) = 0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘∅) = 0)
7774, 76eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0)
78 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 0 ∈ ℂ)
8077, 79eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) ∈ ℂ)
8180adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) ∈ ℂ)
82 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)))
83 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → 𝑙𝑋)
84 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘𝑋𝑙𝑋))
8584anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋)))
8682eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → ((vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0 ↔ (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)) = 0))
8785, 86imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0) ↔ (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)) = 0)))
8887, 77chvarvv 2000 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)) = 0)
8938, 39, 40, 81, 82, 83, 88fprod0 44610 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0)
9089ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑙𝑋 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0))
9190exlimdv 1934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑙 𝑙𝑋 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0))
9237, 91mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0)
9392mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ 0))
9493fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ 0)))
95 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑗𝜑
9695, 30sge0z 45389 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ 0)) = 0)
97 eqidd 2731 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = 0)
9894, 96, 973eqtrrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))))
99 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗) = (𝐼𝑗))
10099coeq2d 5861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ (𝑖𝑗)) = ([,) ∘ (𝐼𝑗)))
101100fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))
102101fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))
103102ralrimivw 3148 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))
104103prodeq2d 15870 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))
105104mpteq2dv 5249 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))))
106105fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))))
107106rspceeqv 3632 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
10833, 98, 107syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
1095, 108jca 510 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
110 eqeq1 2734 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ 0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
111110rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
112111, 6elrab2 3685 . . . 4 (0 ∈ 𝑀 ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
113109, 112sylibr 233 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ 𝑀)
114 infxrlb 13317 . . 3 ((𝑀 ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ 𝑀) → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 0)
1159, 113, 114syl2anc 582 . 2 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 0)
116 pnfxr 11272 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
117116a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
118 iccgelb 13384 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1195, 117, 2, 118syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1203, 5, 115, 119xrletrid 13138 1 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  wne 2938  wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  wss 3947  c0 4321  cop 4633   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5673  ccom 5679  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  m cmap 8822  Fincfn 8941  infcinf 9438  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  cn 12216  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  cprod 15853  volcvol 25212  Σ^csumge0 45376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-prod 15854  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-sumge0 45377
This theorem is referenced by:  ovn0  45580
  Copyright terms: Public domain W3C validator