Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovn0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovn0lem 45281
Description: For any finite dimension, the Lebesgue outer measure of the empty set is zero. This is step (a)(ii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovn0lem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovn0lem.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovn0lem.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))}
ovn0lem.infm (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
ovn0lem.i 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
Assertion
Ref Expression
ovn0lem (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = 0)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑘   𝐼,𝑙,𝑗,𝑘   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧   𝑋,𝑙   𝜑,𝑗,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)

Proof of Theorem ovn0lem
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13407 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 ovn0lem.infm . . 3 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
31, 2sselid 3981 . 2 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 0xr 11261 . . 3 0 ∈ ℝ*
54a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
6 ovn0lem.m . . . . 5 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))}
7 ssrab2 4078 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))} ⊆ ℝ*
86, 7eqsstri 4017 . . . 4 𝑀 ⊆ ℝ*
98a1i 11 . . 3 (𝜑𝑀 ⊆ ℝ*)
10 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
11 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
1210, 11pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
13 opelxp 5713 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨1, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
1412, 13mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 ⟨1, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑙𝑋) → ⟨1, 0⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩)
1715, 16fmptd 7114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
18 reex 11201 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
1918, 18xpex 7740 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ × ℝ) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
21 ovn0lem.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
22 elmapg 8833 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
2320, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
26 ovn0lem.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
2725, 26fmptd 7114 . . . . . . 7 (𝜑𝐼:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
28 ovexd 7444 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ∈ V)
29 nnex 12218 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℕ ∈ V)
31 elmapg 8833 . . . . . . . 8 ((((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ↔ 𝐼:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋)))
3228, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ↔ 𝐼:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋)))
3327, 32mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ))
34 ovn0lem.n0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
35 n0 4347 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 𝑙𝑋)
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑙 𝑙𝑋)
3736adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∃𝑙 𝑙𝑋)
38 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋)
39 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙))
4021ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
4127ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
42 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑗) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
45 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
4644, 45fvovco 43892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))))
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4825elexd 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ V)
4926fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩) ∈ V) → (𝐼𝑗) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
5047, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐼𝑗) = (𝑙𝑋 ↦ ⟨1, 0⟩))
52 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) ∧ 𝑙 = 𝑘) → ⟨1, 0⟩ = ⟨1, 0⟩)
5314elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⟨1, 0⟩ ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ⟨1, 0⟩ ∈ V)
5551, 52, 45, 54fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐼𝑗)‘𝑘) = ⟨1, 0⟩)
5655fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = (1st ‘⟨1, 0⟩))
5710elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ V
584elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ V
5957, 58op1st 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1st ‘⟨1, 0⟩) = 1
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘⟨1, 0⟩) = 1)
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = 1)
6255fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = (2nd ‘⟨1, 0⟩))
6357, 58op2nd 7984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2nd ‘⟨1, 0⟩) = 0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘⟨1, 0⟩) = 0)
6562, 64eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘)) = 0)
6661, 65oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑘))) = (1[,)0))
67 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
68 1xr 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
69 ico0 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((1[,)0) = ∅ ↔ 0 ≤ 1))
7068, 4, 69mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1[,)0) = ∅ ↔ 0 ≤ 1)
7167, 70mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1[,)0) = ∅
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1[,)0) = ∅)
7346, 66, 723eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘) = ∅)
7473fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = (vol‘∅))
75 vol0 44675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘∅) = 0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘∅) = 0)
7774, 76eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0)
78 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 0 ∈ ℂ)
8077, 79eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) ∈ ℂ)
8180adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) ∈ ℂ)
82 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)))
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → 𝑙𝑋)
84 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘𝑋𝑙𝑋))
8584anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋)))
8682eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → ((vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0 ↔ (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)) = 0))
8785, 86imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0) ↔ (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)) = 0)))
8887, 77chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑙)) = 0)
8938, 39, 40, 81, 82, 83, 88fprod0 44312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑙𝑋) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0)
9089ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑙𝑋 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0))
9190exlimdv 1937 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∃𝑙 𝑙𝑋 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0))
9237, 91mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)) = 0)
9392mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ 0))
9493fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ 0)))
95 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑗𝜑
9695, 30sge0z 45091 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ 0)) = 0)
97 eqidd 2734 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = 0)
9894, 96, 973eqtrrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))))
99 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗) = (𝐼𝑗))
10099coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ (𝑖𝑗)) = ([,) ∘ (𝐼𝑗)))
101100fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) = (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))
102101fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))
103102ralrimivw 3151 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))
104103prodeq2d 15866 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))
105104mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))))
106105fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘)))))
107106rspceeqv 3634 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∧ 0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑘))))) → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
10833, 98, 107syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))
1095, 108jca 513 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
110 eqeq1 2737 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → (𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ 0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
111110rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))) ↔ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
112111, 6elrab2 3687 . . . 4 (0 ∈ 𝑀 ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)0 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘))))))
113109, 112sylibr 233 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ 𝑀)
114 infxrlb 13313 . . 3 ((𝑀 ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ 𝑀) → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 0)
1159, 113, 114syl2anc 585 . 2 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 0)
116 pnfxr 11268 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
117116a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
118 iccgelb 13380 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ inf(𝑀, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1195, 117, 2, 118syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑀, ℝ*, < ))
1203, 5, 115, 119xrletrid 13134 1 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323  cop 4635   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5675  ccom 5681  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  m cmap 8820  Fincfn 8939  infcinf 9436  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  cn 12212  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  cprod 15849  volcvol 24980  Σ^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-prod 15850  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  ovn0  45282
  Copyright terms: Public domain W3C validator