Theorem peano2uz2 12704

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12656	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 12615	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 12615	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lep1 12106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7		peano2re 11432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
8	7	ancli 548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9		letr 11353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
10	9	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	8, 10	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	6, 11	mpan2d 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	3, 4, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
14	13	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
15	2, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16		breq2 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16	elrab 3695	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		breq2 5152	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
20	19	elrab 3695	. 2 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
21	15, 18, 20	3imtr4i 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  dfuzi  12707