MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uz2 12654
Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 12607 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
21ad2antrl 725 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3 zre 12566 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 12566 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5 lep1 12059 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7 peano2re 11391 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
87ancli 548 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9 letr 11312 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
1093expb 1117 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
118, 10sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
126, 11mpan2d 691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
133, 4, 12syl2an 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
1413impr 454 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
152, 14jca 511 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16 breq2 5145 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
1716elrab 3678 . . 3 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵))
1817anbi2i 622 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)))
19 breq2 5145 . . 3 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
2019elrab 3678 . 2 ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
2115, 18, 203imtr4i 292 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  cle 11253  cz 12562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563
This theorem is referenced by:  dfuzi  12657
  Copyright terms: Public domain W3C validator