Theorem peano2uz2 12680

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12633	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 12592	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 12592	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lep1 12085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
6	5	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7		peano2re 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
8	7	ancli 547	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9		letr 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
10	9	3expb 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	8, 10	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	6, 11	mpan2d 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	3, 4, 12	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
14	13	impr 453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
15	2, 14	jca 510	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16		breq2 5147	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16	elrab 3674	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	anbi2i 621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		breq2 5147	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
20	19	elrab 3674	. 2 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
21	15, 18, 20	3imtr4i 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   ≤ cle 11279  ℤcz 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589

This theorem is referenced by:  dfuzi  12683