Theorem peano2uz2 12578

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12530	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 12490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 12490	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lep1 11980	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7		peano2re 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
8	7	ancli 548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9		letr 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
10	9	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	8, 10	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	6, 11	mpan2d 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	3, 4, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
14	13	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
15	2, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16		breq2 5100	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		breq2 5100	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
20	19	elrab 3644	. 2 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
21	15, 18, 20	3imtr4i 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  {crab 3397   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   ≤ cle 11165  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  dfuzi  12581