Theorem peano5uzi 12707

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano5uzi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
peano5uzi	⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5147	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑛))
2	1	elrab 3692	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛))
3		zcn 12618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5		peano5uzi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
6		zcn 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
8		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	7, 8	subcli 11585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℂ
10		npcan 11517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11	4, 9, 10	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
12		subsub 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
13	7, 8, 12	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
15		znn0sub 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16	5, 15	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19		nn0p1nn 12565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21	14, 20	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
22		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
23		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
24	23	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
25	24	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
26		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
27	26	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
28	27	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
29		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
30	29	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
33	32	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
34	33	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
35	8, 7	pncan3i 11586	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁
36		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ 𝐴)
37	35, 36	eqeltrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
38		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
39	38	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
40	39	rspccv 3619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
41	40	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
42		nncn 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
44		add32 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
45	9, 8, 44	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
47	46	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
48	41, 47	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
50	49	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
51	25, 28, 31, 34, 37, 50	nnind 12284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
52	21, 22, 51	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
53	11, 52	eqeltrrd 2842	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ 𝐴)
54	53	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝐴))
55	2, 54	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} → 𝑛 ∈ 𝐴))
56	55	ssrdv 3989	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  peano5uzti  12708  dfuzi  12709