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Theorem peano5uzi 11713
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
peano5uzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
peano5uzi ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4813 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁𝑘𝑁𝑛))
21elrab 3519 . . 3 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛))
3 zcn 11629 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
43ad2antrl 719 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5 peano5uzi.1 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℤ
6 zcn 11629 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
8 ax-1cn 10247 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
97, 8subcli 10611 . . . . . 6 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
10 npcan 10544 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
114, 9, 10sylancl 580 . . . . 5 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
12 subsub 10565 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
137, 8, 12mp3an23 1577 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
15 znn0sub 11671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
165, 15mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
1716biimpa 468 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1817adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11579 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2114, 20eqeltrd 2844 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
22 simpl 474 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
23 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
2423eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2524imbi2d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
26 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
2726eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2827imbi2d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
29 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
3029eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3130imbi2d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
3332eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3433imbi2d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
358, 7pncan3i 10612 . . . . . . . 8 (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁
36 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁𝐴)
3735, 36syl5eqel 2848 . . . . . . 7 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
38 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
3938eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4039rspccv 3458 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4140ad2antll 720 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
42 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
44 add32 10508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
459, 8, 44mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
4746eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
4841, 47sylibd 230 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
4948ex 401 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5049a2d 29 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5125, 28, 31, 34, 37, 50nnind 11294 . . . . . 6 ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5221, 22, 51sylc 65 . . . . 5 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
5311, 52eqeltrrd 2845 . . . 4 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛𝐴)
5453ex 401 . . 3 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) → 𝑛𝐴))
552, 54syl5bi 233 . 2 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} → 𝑛𝐴))
5655ssrdv 3767 1 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  wss 3732   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by:  peano5uzti  11714  dfuzi  11715
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