MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfuzi 12707
Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 12277 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dfuzi {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 4970 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥))
2 dfuzi.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
32peano5uzi 12705 . . 3 ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥)
41, 3mpgbir 1796 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
52zrei 12617 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
65leidi 11795 . . . . 5 𝑁𝑁
7 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑁𝑧𝑁𝑁))
87elrab 3695 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑁))
92, 6, 8mpbir2an 711 . . . 4 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
10 peano2uz2 12704 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
112, 10mpan 690 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
1211rgen 3061 . . . 4 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
13 zex 12620 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1413rabex 5345 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ V
15 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑁𝑥𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
16 eleq2 2828 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1716raleqbi1dv 3336 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1815, 17anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})))
1914, 18elab 3681 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
209, 12, 19mpbir2an 711 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21 intss1 4968 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
2220, 21ax-mp 5 . 2 {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
234, 22eqssi 4012 1 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  {crab 3433  wss 3963   cint 4951   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator