Theorem dfuzi 12559

Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 12133 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuzi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4910	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ 𝑥))
2		dfuzi.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3	2	peano5uzi 12557	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ 𝑥)
4	1, 3	mpgbir 1800	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
5	2	zrei 12469	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	5	leidi 11646	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≤ 𝑁
7		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑧 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
8	7	elrab 3642	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
9	2, 6, 8	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
10		peano2uz2 12556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
11	2, 10	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
12	11	rgen 3049	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
13		zex 12472	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
14	13	rabex 5272	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ V
15		eleq2 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
16		eleq2 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
17	16	raleqbi1dv 3304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
18	15, 17	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})))
19	14, 18	elab 3630	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
20	9, 12, 19	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21		intss1 4908	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
23	4, 22	eqssi 3946	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∩ cint 4892   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004   ≤ cle 11142  ℤcz 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464

This theorem is referenced by: (None)