MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfuzi 12652
Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 12224 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dfuzi {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 4960 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥))
2 dfuzi.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
32peano5uzi 12650 . . 3 ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥)
41, 3mpgbir 1793 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
52zrei 12563 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
65leidi 11747 . . . . 5 𝑁𝑁
7 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑁𝑧𝑁𝑁))
87elrab 3676 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑁))
92, 6, 8mpbir2an 708 . . . 4 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
10 peano2uz2 12649 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
112, 10mpan 687 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
1211rgen 3055 . . . 4 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
13 zex 12566 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1413rabex 5323 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ V
15 eleq2 2814 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑁𝑥𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
16 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1716raleqbi1dv 3325 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1815, 17anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})))
1914, 18elab 3661 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
209, 12, 19mpbir2an 708 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21 intss1 4958 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
2220, 21ax-mp 5 . 2 {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
234, 22eqssi 3991 1 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2701  wral 3053  {crab 3424  wss 3941   cint 4941   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  1c1 11108   + caddc 11110  cle 11248  cz 12557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator