Theorem dfuzi 12574

Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 12149 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuzi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4917	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ 𝑥))
2		dfuzi.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3	2	peano5uzi 12572	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ 𝑥)
4	1, 3	mpgbir 1800	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
5	2	zrei 12485	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	5	leidi 11662	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≤ 𝑁
7		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑧 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
8	7	elrab 3643	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
9	2, 6, 8	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
10		peano2uz2 12571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
11	2, 10	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
12	11	rgen 3050	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
13		zex 12488	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
14	13	rabex 5281	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ V
15		eleq2 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
16		eleq2 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
17	16	raleqbi1dv 3305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
18	15, 17	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})))
19	14, 18	elab 3631	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
20	9, 12, 19	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21		intss1 4915	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
23	4, 22	eqssi 3947	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∀wral 3048  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∩ cint 4899   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020   ≤ cle 11158  ℤcz 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480

This theorem is referenced by: (None)