Theorem dfuzi 11889

Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 11456 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuzi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4767	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ 𝑥))
2		dfuzi.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3	2	peano5uzi 11887	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ 𝑥)
4	1, 3	mpgbir 1762	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
5	2	zrei 11802	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	5	leidi 10977	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≤ 𝑁
7		breq2 4934	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑧 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
8	7	elrab 3595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
9	2, 6, 8	mpbir2an 698	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
10		peano2uz2 11886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
11	2, 10	mpan 677	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
12	11	rgen 3098	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
13		zex 11805	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
14	13	rabex 5092	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ V
15		eleq2 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
16		eleq2 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
17	16	raleqbi1dv 3343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
18	15, 17	anbi12d 621	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})))
19	14, 18	elab 3582	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}))
20	9, 12, 19	mpbir2an 698	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21		intss1 4765	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧})
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧}
23	4, 22	eqssi 3876	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑧} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {cab 2758  ∀wral 3088  {crab 3092   ⊆ wss 3831  ∩ cint 4750   class class class wbr 4930  (class class class)co 6978  1c1 10338   + caddc 10340   ≤ cle 10477  ℤcz 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797

This theorem is referenced by: (None)