![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > zeo2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
zeo2 | โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12587 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | peano2cn 11410 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ โ) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (๐ + 1) โ โ) |
4 | 2cnd 12314 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ 2 โ โ) | |
5 | 2ne0 12340 | . . . . . 6 โข 2 โ 0 | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ 2 โ 0) |
7 | 3, 4, 6 | divcan2d 12016 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ((๐ + 1) / 2)) = (๐ + 1)) |
8 | 1, 4, 6 | divcan2d 12016 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (2 ยท (๐ / 2)) = ๐) |
9 | 8 | oveq1d 7429 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ ((2 ยท (๐ / 2)) + 1) = (๐ + 1)) |
10 | 7, 9 | eqtr4d 2771 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ((๐ + 1) / 2)) = ((2 ยท (๐ / 2)) + 1)) |
11 | zneo 12669 | . . . . 5 โข ((((๐ + 1) / 2) โ โค โง (๐ / 2) โ โค) โ (2 ยท ((๐ + 1) / 2)) โ ((2 ยท (๐ / 2)) + 1)) | |
12 | 11 | expcom 413 | . . . 4 โข ((๐ / 2) โ โค โ (((๐ + 1) / 2) โ โค โ (2 ยท ((๐ + 1) / 2)) โ ((2 ยท (๐ / 2)) + 1))) |
13 | 12 | necon2bd 2952 | . . 3 โข ((๐ / 2) โ โค โ ((2 ยท ((๐ + 1) / 2)) = ((2 ยท (๐ / 2)) + 1) โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) |
14 | 10, 13 | syl5com 31 | . 2 โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) |
15 | zeo 12672 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โจ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | |
16 | 15 | ord 863 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (ยฌ (๐ / 2) โ โค โ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) |
17 | 16 | con1d 145 | . 2 โข (๐ โ โค โ (ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค โ (๐ / 2) โ โค)) |
18 | 14, 17 | impbid 211 | 1 โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2936 (class class class)co 7414 โcc 11130 0cc0 11132 1c1 11133 + caddc 11135 ยท cmul 11137 / cdiv 11895 2c2 12291 โคcz 12582 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-n0 12497 df-z 12583 |
This theorem is referenced by: zesq 14214 oddfl 44653 evennodd 46977 oddneven 46978 dignn0flhalflem1 47682 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |