Theorem zeo2 12672

Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zeo2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		peano2cn 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4		2cnd 12310	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
5		2ne0 12336	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
7	3, 4, 6	divcan2d 12011	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
8	1, 4, 6	divcan2d 12011	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
9	8	oveq1d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
10	7, 9	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
11		zneo 12668	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
13	12	necon2bd 2947	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
14	10, 13	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
15		zeo 12671	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
16	15	ord 864	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
17	16	con1d 145	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
18	14, 17	impbid 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  0cc0 11121  1c1 11122   + caddc 11124   · cmul 11126   / cdiv 11886  2c2 12287  ℤcz 12580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-z 12581

This theorem is referenced by:  zesq  14232  oddfl  45233  evennodd  47575  oddneven  47576  dignn0flhalflem1  48481