MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zeo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zeo2 12705
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zeo2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo2
StepHypRef Expression
1 zcn 12618 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 peano2cn 11433 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4 2cnd 12344 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
5 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
65a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
73, 4, 6divcan2d 12045 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
81, 4, 6divcan2d 12045 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
98oveq1d 7446 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
107, 9eqtr4d 2780 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
11 zneo 12701 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1211expcom 413 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1312necon2bd 2956 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1410, 13syl5com 31 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
15 zeo 12704 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1615ord 865 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1716con1d 145 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
1814, 17impbid 212 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  zesq  14265  oddfl  45289  evennodd  47630  oddneven  47631  dignn0flhalflem1  48536
  Copyright terms: Public domain W3C validator