MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zeo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zeo2 12648
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zeo2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem zeo2
StepHypRef Expression
1 zcn 12562 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 peano2cn 11385 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
4 2cnd 12289 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5 2ne0 12315 . . . . . 6 2 โ‰  0
65a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
73, 4, 6divcan2d 11991 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = (๐‘ + 1))
81, 4, 6divcan2d 11991 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (๐‘ / 2)) = ๐‘)
98oveq1d 7417 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1) = (๐‘ + 1))
107, 9eqtr4d 2767 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1))
11 zneo 12644 . . . . 5 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โ‰  ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1))
1211expcom 413 . . . 4 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โ‰  ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1)))
1312necon2bd 2948 . . 3 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1) โ†’ ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
1410, 13syl5com 31 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
15 zeo 12647 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
1615ord 861 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
1716con1d 145 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
1814, 17impbid 211 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   / cdiv 11870  2c2 12266  โ„คcz 12557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558
This theorem is referenced by:  zesq  14190  oddfl  44532  evennodd  46856  oddneven  46857  dignn0flhalflem1  47549
  Copyright terms: Public domain W3C validator