Theorem peano2z 11747

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11736	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zaddcl 11746	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 684	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6906  1c1 10254   + caddc 10256  ℤcz 11705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706

This theorem is referenced by:  zleltp1  11757  btwnnz  11782  peano2uz2  11794  uzind  11798  uzind2  11799  peano2zd  11814  eluzp1m1  11993  eluzp1p1  11995  peano2uz  12024  zltaddlt1le  12618  elfzp1b  12712  fzval3  12833  fzossfzop1  12842  zesq  13282  hashfzp1  13508  odd2np1lem  15439  odd2np1  15440  mulsucdiv2z  15452  oddp1d2  15457  zob  15458  ltoddhalfle  15460  fldivp1  15973  telgsumfzs  18741  degltp1le  24233  ppiprm  25291  ppinprm  25292  chtprm  25293  chtnprm  25294  chtub  25351  lgsdir2lem2  25465  poimirlem3  33957  poimirlem4  33958  poimirlem16  33970  poimirlem17  33971  poimirlem19  33973  poimirlem20  33974  itg2addnclem2  34006  fdc  34084  ellz1  38175  rmxluc  38345  rmyluc  38346  jm2.27dlem2  38421  fzopredsuc  42222  icceuelpartlem  42260  oddp1evenALTV  42418  elfzolborelfzop1  43157  dignn0flhalflem1  43257