Theorem peano2z 12730

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12719	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zaddcl 12729	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℤcz 12686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687

This theorem is used by:  zleltp1  12740  btwnnz  12768  peano2uz2  12780  uzind  12784  uzind2  12785  peano2zd  12799  eluzp1m1  12984  eluzp1p1  12986  peano2uz  13021  zltaddlt1le  13629  elfzp1b  13728  fzval3  13862  fzossfzop1  13871  zesq  14363  hashfzp1  14569  odd2np1lem  16503  odd2np1  16504  mulsucdiv2z  16516  oddp1d2  16521  zob  16522  ltoddhalfle  16524  fldivp1  17068  telgsumfzs  20196  degltp1le  26384  ppiprm  27471  ppinprm  27472  chtprm  27473  chtnprm  27474  chtub  27532  lgsdir2lem2  27646  poimirlem3  38521  poimirlem4  38522  poimirlem16  38534  poimirlem17  38535  poimirlem19  38537  poimirlem20  38538  itg2addnclem2  38570  fdc  38659  eluzp1  43344  ellz1  43757  rmxluc  43922  rmyluc  43923  jm2.27dlem2  43996  fzopredsuc  48363  icceuelpartlem  48486  oddp1evenALTV  48743  elfzolborelfzop1  49600  dignn0flhalflem1  49696