Theorem peano2z 12544

Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12533	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zaddcl 12543	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  zleltp1  12554  btwnnz  12580  peano2uz2  12592  uzind  12596  uzind2  12597  peano2zd  12611  eluzp1m1  12789  eluzp1p1  12791  peano2uz  12826  zltaddlt1le  13433  elfzp1b  13529  fzval3  13662  fzossfzop1  13671  zesq  14161  hashfzp1  14366  odd2np1lem  16279  odd2np1  16280  mulsucdiv2z  16292  oddp1d2  16297  zob  16298  ltoddhalfle  16300  fldivp1  16837  telgsumfzs  19930  degltp1le  26046  ppiprm  27129  ppinprm  27130  chtprm  27131  chtnprm  27132  chtub  27191  lgsdir2lem2  27305  poimirlem3  37871  poimirlem4  37872  poimirlem16  37884  poimirlem17  37885  poimirlem19  37887  poimirlem20  37888  itg2addnclem2  37920  fdc  37993  eluzp1  42674  ellz1  43121  rmxluc  43290  rmyluc  43291  jm2.27dlem2  43364  fzopredsuc  47680  icceuelpartlem  47792  oddp1evenALTV  48033  elfzolborelfzop1  48876  dignn0flhalflem1  48972