Theorem peano5uzti 12624

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴))
2	1	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)))
3		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘))
4	3	rabbidv 3413	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘})
5	4	sseq1d 3978	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))
6	2, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)))
7		1z 12563	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
8	7	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
9	8	peano5uzi 12623	. 2 ⊢ ((if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
10	6, 9	dedth 4547	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   ≤ cle 11209  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  uzind  12626