Theorem peano5uzti 12688

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2823	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴))
2	1	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)))
3		breq1 5127	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘))
4	3	rabbidv 3428	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘})
5	4	sseq1d 3995	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))
6	2, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)))
7		1z 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
8	7	elimel 4575	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
9	8	peano5uzi 12687	. 2 ⊢ ((if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
10	6, 9	dedth 4564	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420   ⊆ wss 3931  ifcif 4505   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137   ≤ cle 11275  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594

This theorem is referenced by:  uzind  12690