MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind 12650
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12558 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 11776 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
3 uzind.5 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
42, 3jca 512 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝑀𝜓))
54ancli 549 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
6 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀𝑗𝑀𝑀))
7 uzind.1 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
86, 7anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑀𝜓)))
98elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
105, 9sylibr 233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
11 peano2z 12599 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
1312adantrd 492 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14 zre 12558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15 ltp1 12050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
1817ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19 lelttr 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20193expb 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2118, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2216, 21mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
23 ltle 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2417, 23sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2522, 24syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
261, 14, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2726adantrd 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2827expimpd 454 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
30293exp 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀𝑘 → (𝜒𝜃))))
3130imp4d 425 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝜃))
3228, 31jcad 513 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
3313, 32jcad 513 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
35 uzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3634, 35anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑘𝜒)))
3736elrab 3682 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)))
38 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39 uzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4038, 39anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4140elrab 3682 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4233, 37, 413imtr4g 295 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4342ralrimiv 3145 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
44 peano5uzti 12648 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4510, 43, 44mp2and 697 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
4645sseld 3980 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
47 breq2 5151 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝑀𝑤𝑀𝑁))
4847elrab 3682 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
49 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
50 uzind.4 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5149, 50anbi12d 631 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑁𝜏)))
5251elrab 3682 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5346, 48, 523imtr3g 294 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏))))
54533impib 1116 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5554simprrd 772 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  {crab 3432  wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cz 12554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555
This theorem is referenced by:  uzind2  12651  uzind3  12652  nn0ind  12653  fzind  12656  fi1uzind  14454  algcvga  16512  uzindd  40830  zindbi  41670
  Copyright terms: Public domain W3C validator