Theorem uzind 12667

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3		uzind.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
4	2, 3	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓))
5	4	ancli 556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
6		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
7		uzind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
9	8	elrab 3652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
10	5, 9	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
11		peano2z 12614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
13	12	adantrd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14		zre 12574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15		ltp1 12033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17		peano2re 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
18	17	ancli 556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19		lelttr 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20	19	3expb 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
21	18, 20	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
22	16, 21	mpan2d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
23		ltle 11273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
24	17, 23	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
25	22, 24	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
26	1, 14, 25	syl2an 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
27	26	adantrd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
28	27	expimpd 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
30	29	3exp 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
31	30	imp4d 428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝜃))
32	28, 31	jcad 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
33	13, 32	jcad 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
35		uzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
36	34, 35	anbi12d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
37	36	elrab 3652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
38		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39		uzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
40	38, 39	anbi12d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
41	40	elrab 3652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
42	33, 37, 41	3imtr4g 298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
43	42	ralrimiv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
44		peano5uzti 12665	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
45	10, 43, 44	mp2and 709	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
46	45	sseld 3937	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
47		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑤 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
48	47	elrab 3652	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
49		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		uzind.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
51	49, 50	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
52	51	elrab 3652	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
53	46, 48, 52	3imtr3g 297	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))))
54	53	3impib 1130	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
55	54	simprrd 783	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  {crab 3416   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℤcz 12570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571

This theorem is referenced by:  uzind2  12668  uzind3  12669  nn0ind  12670  fzind  12673  fi1uzind  14522  algcvga  16615  uzindd  42600  zindbi  43528