MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind 12066
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 11977 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 11198 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
3 uzind.5 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
42, 3jca 512 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝑀𝜓))
54ancli 549 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
6 breq2 5066 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀𝑗𝑀𝑀))
7 uzind.1 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
86, 7anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑀𝜓)))
98elrab 3683 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
105, 9sylibr 235 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
11 peano2z 12015 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
1312adantrd 492 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14 zre 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15 ltp1 11472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17 peano2re 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
1817ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19 lelttr 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20193expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2118, 20sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2216, 21mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
23 ltle 10721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2417, 23sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2522, 24syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
261, 14, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2726adantrd 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2827expimpd 454 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
30293exp 1113 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀𝑘 → (𝜒𝜃))))
3130imp4d 425 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝜃))
3228, 31jcad 513 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
3313, 32jcad 513 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34 breq2 5066 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
35 uzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3634, 35anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑘𝜒)))
3736elrab 3683 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)))
38 breq2 5066 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39 uzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4038, 39anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4140elrab 3683 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4233, 37, 413imtr4g 297 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4342ralrimiv 3185 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
44 peano5uzti 12064 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4510, 43, 44mp2and 695 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
4645sseld 3969 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
47 breq2 5066 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝑀𝑤𝑀𝑁))
4847elrab 3683 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
49 breq2 5066 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
50 uzind.4 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5149, 50anbi12d 630 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑁𝜏)))
5251elrab 3683 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5346, 48, 523imtr3g 296 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏))))
54533impib 1110 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5554simprrd 770 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wral 3142  {crab 3146  wss 3939   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cz 11973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974
This theorem is referenced by:  uzind2  12067  uzind3  12068  nn0ind  12069  fzind  12072  fi1uzind  13848  algcvga  15915  zindbi  39405
  Copyright terms: Public domain W3C validator