Theorem uzind 12342

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3		uzind.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
4	2, 3	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓))
5	4	ancli 548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
6		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
7		uzind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
9	8	elrab 3617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
10	5, 9	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
11		peano2z 12291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
13	12	adantrd 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15		ltp1 11745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
18	17	ancli 548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19		lelttr 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20	19	3expb 1118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
21	18, 20	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
22	16, 21	mpan2d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
23		ltle 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
24	17, 23	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
25	22, 24	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
26	1, 14, 25	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
27	26	adantrd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
28	27	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
30	29	3exp 1117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
31	30	imp4d 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝜃))
32	28, 31	jcad 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
33	13, 32	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34		breq2 5074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
35		uzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
36	34, 35	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
37	36	elrab 3617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
38		breq2 5074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39		uzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
40	38, 39	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
41	40	elrab 3617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
42	33, 37, 41	3imtr4g 295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
43	42	ralrimiv 3106	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
44		peano5uzti 12340	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
45	10, 43, 44	mp2and 695	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
46	45	sseld 3916	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
47		breq2 5074	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑤 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
48	47	elrab 3617	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
49		breq2 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		uzind.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
51	49, 50	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
52	51	elrab 3617	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
53	46, 48, 52	3imtr3g 294	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))))
54	53	3impib 1114	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
55	54	simprrd 770	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  uzind2  12343  uzind3  12344  nn0ind  12345  fzind  12348  fi1uzind  14139  algcvga  16212  uzindd  39913  zindbi  40684