MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind 11716
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 11628 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 10848 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
3 uzind.5 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
42, 3jca 507 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝑀𝜓))
54ancli 544 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
6 breq2 4813 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀𝑗𝑀𝑀))
7 uzind.1 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
86, 7anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑀𝜓)))
98elrab 3519 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
105, 9sylibr 225 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
11 peano2z 11665 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
1312adantrd 485 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14 zre 11628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15 ltp1 11115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
1615adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17 peano2re 10463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
1817ancli 544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19 lelttr 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20193expb 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2118, 20sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2216, 21mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
23 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2417, 23sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2522, 24syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
261, 14, 25syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2726adantrd 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2827expimpd 445 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
30293exp 1148 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀𝑘 → (𝜒𝜃))))
3130imp4d 415 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝜃))
3228, 31jcad 508 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
3313, 32jcad 508 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
35 uzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3634, 35anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑘𝜒)))
3736elrab 3519 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)))
38 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39 uzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4038, 39anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4140elrab 3519 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4233, 37, 413imtr4g 287 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4342ralrimiv 3112 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
44 peano5uzti 11714 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4510, 43, 44mp2and 690 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
4645sseld 3760 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
47 breq2 4813 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝑀𝑤𝑀𝑁))
4847elrab 3519 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
49 breq2 4813 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
50 uzind.4 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5149, 50anbi12d 624 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑁𝜏)))
5251elrab 3519 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5346, 48, 523imtr3g 286 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏))))
54533impib 1144 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5554simprrd 790 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  wss 3732   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cz 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by:  uzind2  11717  uzind3  11718  nn0ind  11719  fzind  11722  fi1uzind  13480  algcvga  15573  zindbi  38188
  Copyright terms: Public domain W3C validator