HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcexi 31274
Description: Lemma for nmcopexi 31275 and nmcfnexi 31299. The norm of a continuous linear Hilbert space operator or functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcex.1 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)
nmcex.2 (๐‘†โ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < )
nmcex.3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
nmcex.4 (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
nmcex.5 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
Assertion
Ref Expression
nmcexi (๐‘†โ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘š,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘   ๐‘‡,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š)

Proof of Theorem nmcexi
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcex.2 . . 3 (๐‘†โ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < )
2 nmcex.3 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„ โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
42, 3syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„))
54imp 407 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
65adantrl 714 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
76rexlimiva 3147 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
87abssi 4067 . . . 4 {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โŠ† โ„
9 ax-hv0cl 30251 . . . . . . 7 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
10 norm0 30376 . . . . . . . . 9 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
11 0le1 11736 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
1210, 11eqbrtri 5169 . . . . . . . 8 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) โ‰ค 1
13 nmcex.4 . . . . . . . . 9 (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)) = 0
1413eqcomi 2741 . . . . . . . 8 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
1512, 14pm3.2i 471 . . . . . . 7 ((normโ„Žโ€˜0โ„Ž) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
16 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
1716breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) โ‰ค 1))
18 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))
1918eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†” 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž))))
2017, 19anbi12d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜0โ„Ž) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))))
2120rspcev 3612 . . . . . . 7 ((0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜0โ„Ž) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜0โ„Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
229, 15, 21mp2an 690 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
23 c0ex 11207 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
24 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†” 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2524anbi2d 629 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2625rexbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2723, 26elab 3668 . . . . . 6 (0 โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง 0 = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2822, 27mpbir 230 . . . . 5 0 โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}
2928ne0ii 4337 . . . 4 {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โ‰  โˆ…
30 nmcex.1 . . . . 5 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)
31 2rp 12978 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„+
32 rpdivcl 12998 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
3331, 32mpan 688 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
3433rpred 13015 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โ†’ (2 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
36 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3837rehalfcld 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„)
3938recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚)
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
41 hvmulcl 30261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
43 normcl 30373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
45 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)
46 normcl 30373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4746ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
48 1red 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
49 rphalfcl 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+)
5147, 48, 50lemul2d 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((๐‘ฆ / 2) ยท 1)))
5245, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((๐‘ฆ / 2) ยท 1))
53 rpcn 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚)
54 norm-iii 30388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
5553, 54sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
56 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„)
57 rpge0 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฆ / 2))
5856, 57absidd 15368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) = (๐‘ฆ / 2))
5958oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฆ / 2)) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
6155, 60eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
6250, 40, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
6339mulridd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท 1) = (๐‘ฆ / 2))
6452, 62, 633brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฆ / 2))
65 rphalflt 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 2) < ๐‘ฆ)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (๐‘ฆ / 2) < ๐‘ฆ)
6744, 38, 37, 64, 66lelttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ)
68 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) = (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
6968breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†” (normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ))
70 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
7170breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1 โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1))
7269, 71imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1) โ†” ((normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1)))
7372rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1)))
7442, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1)))
7567, 74mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1))
762ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
7776, 48, 50ltmuldiv2d 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ฆ / 2) ยท (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < 1 โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) < (1 / (๐‘ฆ / 2))))
7850rprecred 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (1 / (๐‘ฆ / 2)) โˆˆ โ„)
79 ltle 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / (๐‘ฆ / 2)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) < (1 / (๐‘ฆ / 2)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 / (๐‘ฆ / 2))))
8076, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) < (1 / (๐‘ฆ / 2)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 / (๐‘ฆ / 2))))
8177, 80sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ฆ / 2) ยท (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < 1 โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 / (๐‘ฆ / 2))))
82 nmcex.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
8350, 40, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘ฆ / 2) ยท (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
8483breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ฆ / 2) ยท (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) < 1 โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1))
85 rpcn 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
86 rpne0 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
87 2cn 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โˆˆ โ„‚
88 2ne0 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โ‰  0
89 recdiv 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (1 / (๐‘ฆ / 2)) = (2 / ๐‘ฆ))
9087, 88, 89mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (1 / (๐‘ฆ / 2)) = (2 / ๐‘ฆ))
9185, 86, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / (๐‘ฆ / 2)) = (2 / ๐‘ฆ))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (1 / (๐‘ฆ / 2)) = (2 / ๐‘ฆ))
9392breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 / (๐‘ฆ / 2)) โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
9481, 84, 933imtr3d 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฆ / 2) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))) < 1 โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
9575, 94syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
9695imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))
9796an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))
9897anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))
99 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
10098, 99syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
101100expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
102101rexlimdva 3155 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
103102alrimiv 1930 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โ†’ โˆ€๐‘›(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
104 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
105104anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
106105rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
107106ralab 3687 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘›(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘ง))
108 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (2 / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› โ‰ค ๐‘ง โ†” ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ)))
109108imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (2 / ๐‘ฆ) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))))
110109albidv 1923 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (2 / ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘›(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘›(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))))
111107, 110bitrid 282 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (2 / ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘›(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))))
112111rspcev 3612 . . . . . . 7 (((2 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘›(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘› = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (2 / ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง)
11335, 103, 112syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง)
114113rexlimiva 3147 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) < 1) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง)
11530, 114ax-mp 5 . . . 4 โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง
116 supxrre 13305 . . . 4 (({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โŠ† โ„ โˆง {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง) โ†’ sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < ) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„, < ))
1178, 29, 115, 116mp3an 1461 . . 3 sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„*, < ) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„, < )
1181, 117eqtri 2760 . 2 (๐‘†โ€˜๐‘‡) = sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„, < )
119 suprcl 12173 . . 3 (({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โŠ† โ„ โˆง {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}๐‘› โ‰ค ๐‘ง) โ†’ sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1208, 29, 115, 119mp3an 1461 . 2 sup({๐‘š โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โˆง ๐‘š = (๐‘โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))}, โ„, < ) โˆˆ โ„
121118, 120eqeltri 2829 1 (๐‘†โ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396  โˆ€wal 1539   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266  โ„+crp 12973  abscabs 15180   โ„‹chba 30167   ยทโ„Ž csm 30169  normโ„Žcno 30171  0โ„Žc0v 30172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hv0cl 30251  ax-hfvmul 30253  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his3 30332  ax-his4 30333
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-hnorm 30216
This theorem is referenced by:  nmcopexi  31275  nmcfnexi  31299
  Copyright terms: Public domain W3C validator