Theorem rectan 48190

Description: The reciprocal of tangent is cotangent. (Contributed by David A. Wheeler, 21-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rectan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = (1 / (tan‘𝐴)))

Proof of Theorem rectan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sincl 16102	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		recdiv 11950	. . . . 5 ⊢ ((((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
4	2, 3	sylanl1 679	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
5	1, 4	sylanr1 681	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
6	5	3impdi 1348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 / ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
7		tanval 16104	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
8	7	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
9	8	oveq2d 7436	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (tan‘𝐴)) = (1 / ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
10		cotval 48180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
11	10	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
12	6, 9, 11	3eqtr4rd 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = (1 / (tan‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   / cdiv 11901  sincsin 16039  cosccos 16040  tanctan 16041  cotccot 48174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-cot 48177

This theorem is referenced by: (None)