Theorem ege2le3 16297

Description: Lemma for egt2lt3 16415. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13041	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0nn0 12659	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
4		1e0p1 12899	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
5		0z 12742	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
7		fac0 14459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (!‘0) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
9	8	oveq2d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
10		ax-1cn 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	div1i 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	9, 11	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
13		erelem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
14		1ex 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
16	2, 15	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
17	5, 16	seq1i 14196	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
18		1nn0 12660	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		fveq2 6914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
20		fac1 14460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
22	21	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
23	22, 11	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
24	23, 13, 14	fvmpt 7022	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
25	18, 24	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
26	1, 3, 4, 17, 25	seqp1d 14199	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = (1 + 1))
27		df-2 12443	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
28	26, 27	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
29	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
30		nn0z 12755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31		1exp 14272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
33	32	oveq1d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
34	33	mpteq2ia 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
35	13, 34	eqtr4i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
36	35	efcvg 16292	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
37	10, 36	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
38		df-e 16275	. . . . . 6 ⊢ e = (exp‘1)
39	37, 38	breqtrrdi 5151	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
40		fveq2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
41	40	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
42		ovex 7482	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
43	41, 13, 42	fvmpt 7022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
44	43	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45		faccl 14466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
46	45	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
47	46	nnrecred 12427	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
48	44, 47	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
49	46	nnred 12388	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
50	46	nngt0d 12425	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
51		1re 11345	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		0le1 11877	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
53		divge0 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
54	51, 52, 53	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
55	49, 50, 54	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
56	55, 44	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
57	1, 29, 39, 48, 56	climserle 15871	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
58	28, 57	eqbrtrrd 5133	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 ≤ e)
59	58	mptru 1577	. 2 ⊢ 2 ≤ e
60		nnuz 13042	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61		1zzd 12765	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
62	48	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
63	1, 3, 62, 39	clim2ser 15863	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
64		0p1e1 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
65		seqeq1 14185	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
67	17	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
68	67	oveq2i 7460	. . . . . . 7 ⊢ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
69	63, 66, 68	3brtr3g 5142	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
70		2cnd 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
71		oveq2 7457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
72		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
73		ovex 7482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
74	71, 72, 73	fvmpt 7022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
76		halfre 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
77		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78		reexpcl 14259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
79	76, 77, 78	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
81	75, 80	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
82		1lt2 12553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
83		2re 12455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
84		0le2 12483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
85		absid 15504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
86	83, 84, 85	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘2) = 2
87	82, 86	breqtrri 5136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < (abs‘2)
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 1 < (abs‘2))
89	70, 88, 75	georeclim 16082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
90		2m1e1 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
91	90	oveq2i 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
92		2cn 12456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
93	92	div1i 12083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / 1) = 2
94	91, 93	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / (2 − 1)) = 2
95	89, 94	breqtrdi 5150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
96	1, 3, 81, 95	clim2ser 15863	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
97		seqeq1 14185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
98	64, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
99		oveq2 7457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
100		ovex 7482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2)↑0) ∈ V
101	99, 72, 100	fvmpt 7022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
102	2, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
103		halfcn 12598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104		exp0 14246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
105	103, 104	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2)↑0) = 1
106	102, 105	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1)
108	5, 107	seq1i 14196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
109	108	mptru 1577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
110	109	oveq2i 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
111	110, 90	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
112	96, 98, 111	3brtr3g 5142	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
113		nnnn0 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
114	113, 81	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
115	71	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
116		erelem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
117		ovex 7482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
119	118	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
120	113, 75	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
121	120	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
122	119, 121	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
123	60, 61, 70, 112, 114, 122	isermulc2 15866	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
124		2t1e2 12543	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
125	123, 124	breqtrdi 5150	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
126	113, 48	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
127		remulcl 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
128	83, 79, 127	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
129	113, 128	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
130	119, 129	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
131		faclbnd2 14474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
132	131	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
133		2nn 12454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
134		nnexpcl 14255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
135	133, 77, 134	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
136	135	nnrpd 13200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
137	136	rphalfcld 13214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
138	46	nnrpd 13200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
139	137, 138	lerecd 13221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
140	132, 139	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
141		2cnd 12459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
142	135	nncnd 12389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
143	135	nnne0d 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ≠ 0)
144	141, 142, 143	divrecd 12134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
145		2ne0 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
146		recdiv 12061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
147	92, 145, 146	mpanr12 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
148	142, 143, 147	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
149	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
150		nn0z 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
151	150	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
152	141, 149, 151	exprecd 14335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
153	152	oveq2d 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
154	144, 148, 153	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
155	140, 154	breqtrrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
156	113, 155	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
157	113, 44	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
158	156, 157, 119	3brtr4d 5141	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
159	60, 61, 69, 125, 126, 130, 158	iserle 15868	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
160	159	mptru 1577	. . . 4 ⊢ (e − 1) ≤ 2
161		ere 16296	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
162	161, 51, 83	lesubaddi 11912	. . . 4 ⊢ ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
163	160, 162	mpbi 233	. . 3 ⊢ e ≤ (2 + 1)
164		df-3 12444	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
165	163, 164	breqtrri 5136	. 2 ⊢ e ≤ 3
166	59, 165	pm3.2i 476	1 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578   / cdiv 12011  ℕcn 12373  2c2 12435  3c3 12436  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  seqcseq 14182  ↑cexp 14242  !cfa 14456  abscabs 15442   ⇝ cli 15692  expce 16268  eceu 16269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-ico 13520  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-e 16275

This theorem is used by:  egt2lt3  16415