MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ege2le3 15439
Description: Lemma for egt2lt3 15555. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12272 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2 0nn0 11904 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
4 1e0p1 12132 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
5 0z 11984 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
6 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
7 fac0 13636 . . . . . . . . . . . 12 (!‘0) = 1
86, 7eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
98oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
10 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1110div1i 11361 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
129, 11eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
13 erelem1.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
14 1ex 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6749 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
162, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
175, 16seq1i 13382 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
18 1nn0 11905 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
20 fac1 13637 . . . . . . . . . . 11 (!‘1) = 1
2119, 20eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
2221oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
2322, 11eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
2423, 13, 14fvmpt 6749 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
2518, 24mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
261, 3, 4, 17, 25seqp1d 13385 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = (1 + 1))
27 df-2 11692 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2826, 27eqtr4di 2854 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
2918a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
30 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
31 1exp 13458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
3332oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
3433mpteq2ia 5124 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3513, 34eqtr4i 2827 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
3635efcvg 15434 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
3710, 36mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
38 df-e 15418 . . . . . 6 e = (exp‘1)
3937, 38breqtrrdi 5075 . . . . 5 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
40 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
4140oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
42 ovex 7172 . . . . . . . 8 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
4341, 13, 42fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
4443adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45 faccl 13643 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nnrecred 11680 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4844, 47eqeltrd 2893 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4946nnred 11644 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5046nngt0d 11678 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
51 1re 10634 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
52 0le1 11156 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
53 divge0 11502 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5451, 52, 53mpanl12 701 . . . . . . 7 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5549, 50, 54syl2anc 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5655, 44breqtrrd 5061 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
571, 29, 39, 48, 56climserle 15015 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
5828, 57eqbrtrrd 5057 . . 3 (⊤ → 2 ≤ e)
5958mptru 1545 . 2 2 ≤ e
60 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
61 1zzd 12005 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
6248recnd 10662 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
631, 3, 62, 39clim2ser 15007 . . . . . . 7 (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
64 0p1e1 11751 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65 seqeq1 13371 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
6717mptru 1545 . . . . . . . 8 (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
6867oveq2i 7150 . . . . . . 7 (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
6963, 66, 683brtr3g 5066 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
70 2cnd 11707 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
71 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
72 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
73 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
7574adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
76 halfre 11843 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
77 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78 reexpcl 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
7976, 77, 78sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
8079recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
8175, 80eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
82 1lt2 11800 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
83 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
84 0le2 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
85 absid 14652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
8683, 84, 85mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘2) = 2
8782, 86breqtrri 5060 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (abs‘2)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 < (abs‘2))
8970, 88, 75georeclim 15224 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
90 2m1e1 11755 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
9190oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
92 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
9392div1i 11361 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
9491, 93eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 − 1)) = 2
9589, 94breqtrdi 5074 . . . . . . . . . 10 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
961, 3, 81, 95clim2ser 15007 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
97 seqeq1 13371 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
99 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
100 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2)↑0) ∈ V
10199, 72, 100fvmpt 6749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
103 halfcn 11844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℂ
104 exp0 13433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)↑0) = 1
106102, 105eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1)
1085, 107seq1i 13382 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
109108mptru 1545 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
110109oveq2i 7150 . . . . . . . . . 10 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
111110, 90eqtri 2824 . . . . . . . . 9 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
11296, 98, 1113brtr3g 5066 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
113 nnnn0 11896 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
114113, 81sylan2 595 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
11571oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
117 ovex 7172 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6749 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
119118adantl 485 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
120113, 75sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
121120oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
122119, 121eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
12360, 61, 70, 112, 114, 122isermulc2 15010 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
124 2t1e2 11792 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
125123, 124breqtrdi 5074 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
126113, 48sylan2 595 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
127 remulcl 10615 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
12883, 79, 127sylancr 590 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
129113, 128sylan2 595 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
130119, 129eqeltrd 2893 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
131 faclbnd2 13651 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
132131adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
133 2nn 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
134 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
135133, 77, 134sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
136135nnrpd 12421 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
137136rphalfcld 12435 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
13846nnrpd 12421 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
139137, 138lerecd 12442 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
140132, 139mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
141 2cnd 11707 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
142135nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
143135nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ≠ 0)
144141, 142, 143divrecd 11412 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
145 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
146 recdiv 11339 . . . . . . . . . . . 12 ((((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
14792, 145, 146mpanr12 704 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
148142, 143, 147syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
150 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
151150adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
152141, 149, 151exprecd 13518 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
153152oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
154144, 148, 1533eqtr4rd 2847 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
155140, 154breqtrrd 5061 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
156113, 155sylan2 595 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
157113, 44sylan2 595 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
158156, 157, 1193brtr4d 5065 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
15960, 61, 69, 125, 126, 130, 158iserle 15012 . . . . 5 (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
160159mptru 1545 . . . 4 (e − 1) ≤ 2
161 ere 15438 . . . . 5 e ∈ ℝ
162161, 51, 83lesubaddi 11191 . . . 4 ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
163160, 162mpbi 233 . . 3 e ≤ (2 + 1)
164 df-3 11693 . . 3 3 = (2 + 1)
165163, 164breqtrri 5060 . 2 e ≤ 3
16659, 165pm3.2i 474 1 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  0cn0 11889  cz 11973  seqcseq 13368  cexp 13429  !cfa 13633  abscabs 14589  cli 14837  expce 15411  eceu 15412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-e 15418
This theorem is referenced by:  egt2lt3  15555
  Copyright terms: Public domain W3C validator