Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ege2le3 15439
 Description: Lemma for egt2lt3 15555. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12272 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2 0nn0 11904 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
4 1e0p1 12132 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
5 0z 11984 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
6 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
7 fac0 13636 . . . . . . . . . . . 12 (!‘0) = 1
86, 7eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
98oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
10 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1110div1i 11361 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
129, 11eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
13 erelem1.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
14 1ex 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6749 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
162, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
175, 16seq1i 13382 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
18 1nn0 11905 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
20 fac1 13637 . . . . . . . . . . 11 (!‘1) = 1
2119, 20eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
2221oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
2322, 11eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
2423, 13, 14fvmpt 6749 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
2518, 24mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
261, 3, 4, 17, 25seqp1d 13385 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = (1 + 1))
27 df-2 11692 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2826, 27eqtr4di 2854 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
2918a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
30 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
31 1exp 13458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
3332oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
3433mpteq2ia 5124 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3513, 34eqtr4i 2827 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
3635efcvg 15434 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
3710, 36mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
38 df-e 15418 . . . . . 6 e = (exp‘1)
3937, 38breqtrrdi 5075 . . . . 5 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
40 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
4140oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
42 ovex 7172 . . . . . . . 8 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
4341, 13, 42fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
4443adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45 faccl 13643 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nnrecred 11680 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4844, 47eqeltrd 2893 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4946nnred 11644 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5046nngt0d 11678 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
51 1re 10634 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
52 0le1 11156 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
53 divge0 11502 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5451, 52, 53mpanl12 701 . . . . . . 7 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5549, 50, 54syl2anc 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5655, 44breqtrrd 5061 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
571, 29, 39, 48, 56climserle 15015 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
5828, 57eqbrtrrd 5057 . . 3 (⊤ → 2 ≤ e)
5958mptru 1545 . 2 2 ≤ e
60 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
61 1zzd 12005 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
6248recnd 10662 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
631, 3, 62, 39clim2ser 15007 . . . . . . 7 (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
64 0p1e1 11751 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65 seqeq1 13371 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
6717mptru 1545 . . . . . . . 8 (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
6867oveq2i 7150 . . . . . . 7 (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
6963, 66, 683brtr3g 5066 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
70 2cnd 11707 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
71 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
72 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
73 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
7574adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
76 halfre 11843 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
77 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78 reexpcl 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
7976, 77, 78sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
8079recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
8175, 80eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
82 1lt2 11800 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
83 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
84 0le2 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
85 absid 14652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
8683, 84, 85mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘2) = 2
8782, 86breqtrri 5060 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (abs‘2)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 < (abs‘2))
8970, 88, 75georeclim 15224 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
90 2m1e1 11755 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
9190oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
92 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
9392div1i 11361 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
9491, 93eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 − 1)) = 2
9589, 94breqtrdi 5074 . . . . . . . . . 10 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
961, 3, 81, 95clim2ser 15007 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
97 seqeq1 13371 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
99 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
100 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2)↑0) ∈ V
10199, 72, 100fvmpt 6749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
103 halfcn 11844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℂ
104 exp0 13433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)↑0) = 1
106102, 105eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1)
1085, 107seq1i 13382 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
109108mptru 1545 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
110109oveq2i 7150 . . . . . . . . . 10 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
111110, 90eqtri 2824 . . . . . . . . 9 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
11296, 98, 1113brtr3g 5066 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
113 nnnn0 11896 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
114113, 81sylan2 595 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
11571oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
117 ovex 7172 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6749 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
119118adantl 485 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
120113, 75sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
121120oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
122119, 121eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
12360, 61, 70, 112, 114, 122isermulc2 15010 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
124 2t1e2 11792 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
125123, 124breqtrdi 5074 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
126113, 48sylan2 595 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
127 remulcl 10615 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
12883, 79, 127sylancr 590 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
129113, 128sylan2 595 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
130119, 129eqeltrd 2893 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
131 faclbnd2 13651 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
132131adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
133 2nn 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
134 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
135133, 77, 134sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
136135nnrpd 12421 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
137136rphalfcld 12435 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
13846nnrpd 12421 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
139137, 138lerecd 12442 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
140132, 139mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
141 2cnd 11707 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
142135nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
143135nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ≠ 0)
144141, 142, 143divrecd 11412 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
145 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
146 recdiv 11339 . . . . . . . . . . . 12 ((((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
14792, 145, 146mpanr12 704 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
148142, 143, 147syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
150 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
151150adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
152141, 149, 151exprecd 13518 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
153152oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
154144, 148, 1533eqtr4rd 2847 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
155140, 154breqtrrd 5061 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
156113, 155sylan2 595 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
157113, 44sylan2 595 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
158156, 157, 1193brtr4d 5065 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
15960, 61, 69, 125, 126, 130, 158iserle 15012 . . . . 5 (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
160159mptru 1545 . . . 4 (e − 1) ≤ 2
161 ere 15438 . . . . 5 e ∈ ℝ
162161, 51, 83lesubaddi 11191 . . . 4 ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
163160, 162mpbi 233 . . 3 e ≤ (2 + 1)
164 df-3 11693 . . 3 3 = (2 + 1)
165163, 164breqtrri 5060 . 2 e ≤ 3
16659, 165pm3.2i 474 1 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  seqcseq 13368  ↑cexp 13429  !cfa 13633  abscabs 14589   ⇝ cli 14837  expce 15411  eceu 15412 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-e 15418 This theorem is referenced by:  egt2lt3  15555
 Copyright terms: Public domain W3C validator