MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ege2le3 15977
Description: Lemma for egt2lt3 16093. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
erelem1.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12810 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0nn0 12433 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
32a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
4 1e0p1 12665 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
5 0z 12515 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
6 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜0))
7 fac0 14182 . . . . . . . . . . . 12 (!โ€˜0) = 1
86, 7eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = 1)
98oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / 1))
10 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
1110div1i 11888 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
129, 11eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = 1)
13 erelem1.2 . . . . . . . . 9 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
14 1ex 11156 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ V
1512, 13, 14fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜0) = 1)
162, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜0) = 1)
175, 16seq1i 13926 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = 1)
18 1nn0 12434 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
19 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜1))
20 fac1 14183 . . . . . . . . . . 11 (!โ€˜1) = 1
2119, 20eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = 1)
2221oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / 1))
2322, 11eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = 1)
2423, 13, 14fvmpt 6949 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜1) = 1)
2518, 24mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜1) = 1)
261, 3, 4, 17, 25seqp1d 13929 . . . . 5 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) = (1 + 1))
27 df-2 12221 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2826, 27eqtr4di 2791 . . . 4 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) = 2)
2918a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
30 nn0z 12529 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
31 1exp 14003 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
3332oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘›)))
3433mpteq2ia 5209 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
3513, 34eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
3635efcvg 15972 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ (expโ€˜1))
3710, 36mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ (expโ€˜1))
38 df-e 15956 . . . . . 6 e = (expโ€˜1)
3937, 38breqtrrdi 5148 . . . . 5 (โŠค โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ e)
40 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘˜))
4140oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
42 ovex 7391 . . . . . . . 8 (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ V
4341, 13, 42fvmpt 6949 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
4443adantl 483 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
45 faccl 14189 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4645adantl 483 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4746nnrecred 12209 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4844, 47eqeltrd 2834 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4946nnred 12173 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
5046nngt0d 12207 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
51 1re 11160 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
52 0le1 11683 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
53 divge0 12029 . . . . . . . 8 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
5451, 52, 53mpanl12 701 . . . . . . 7 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
5549, 50, 54syl2anc 585 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
5655, 44breqtrrd 5134 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
571, 29, 39, 48, 56climserle 15553 . . . 4 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) โ‰ค e)
5828, 57eqbrtrrd 5130 . . 3 (โŠค โ†’ 2 โ‰ค e)
5958mptru 1549 . 2 2 โ‰ค e
60 nnuz 12811 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
61 1zzd 12539 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
6248recnd 11188 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
631, 3, 62, 39clim2ser 15545 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐บ) โ‡ (e โˆ’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0)))
64 0p1e1 12280 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65 seqeq1 13915 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐บ) = seq1( + , ๐บ))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , ๐บ) = seq1( + , ๐บ)
6717mptru 1549 . . . . . . . 8 (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = 1
6867oveq2i 7369 . . . . . . 7 (e โˆ’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0)) = (e โˆ’ 1)
6963, 66, 683brtr3g 5139 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ (e โˆ’ 1))
70 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
71 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))
73 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
7471, 72, 73fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
7574adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
76 halfre 12372 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) โˆˆ โ„
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
78 reexpcl 13990 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
7976, 77, 78sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
8079recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8175, 80eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
82 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
83 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„
84 0le2 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โ‰ค 2
85 absid 15187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (absโ€˜2) = 2)
8683, 84, 85mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜2) = 2
8782, 86breqtrri 5133 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (absโ€˜2)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 1 < (absโ€˜2))
8970, 88, 75georeclim 15762 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (2 / (2 โˆ’ 1)))
90 2m1e1 12284 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆ’ 1) = 1
9190oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 โˆ’ 1)) = (2 / 1)
92 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„‚
9392div1i 11888 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
9491, 93eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 โˆ’ 1)) = 2
9589, 94breqtrdi 5147 . . . . . . . . . 10 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ 2)
961, 3, 81, 95clim2ser 15545 . . . . . . . . 9 (โŠค โ†’ seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)))
97 seqeq1 13915 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 โ†’ seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))))
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
99 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘0))
100 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2)โ†‘0) โˆˆ V
10199, 72, 100fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = ((1 / 2)โ†‘0))
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = ((1 / 2)โ†‘0)
103 halfcn 12373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
104 exp0 13977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 2)โ†‘0) = 1)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)โ†‘0) = 1
106102, 105eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = 1)
1085, 107seq1i 13926 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = 1)
109108mptru 1549 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = 1
110109oveq2i 7369 . . . . . . . . . 10 (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)) = (2 โˆ’ 1)
111110, 90eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)) = 1
11296, 98, 1113brtr3g 5139 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ 1)
113 nnnn0 12425 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
114113, 81sylan2 594 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
11571oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
117 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ V
118115, 116, 117fvmpt 6949 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
119118adantl 483 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
120113, 75sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
121120oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
122119, 121eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
12360, 61, 70, 112, 114, 122isermulc2 15548 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ (2 ยท 1))
124 2t1e2 12321 . . . . . . 7 (2 ยท 1) = 2
125123, 124breqtrdi 5147 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ 2)
126113, 48sylan2 594 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
127 remulcl 11141 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
12883, 79, 127sylancr 588 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
129113, 128sylan2 594 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
130119, 129eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
131 faclbnd2 14197 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
132131adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
133 2nn 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
134 nnexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
135133, 77, 134sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
136135nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
137136rphalfcld 12974 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โˆˆ โ„+)
13846nnrpd 12960 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
139137, 138lerecd 12981 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โ†” (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2))))
140132, 139mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)))
141 2cnd 12236 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
142135nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
143135nnne0d 12208 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
144141, 142, 143divrecd 11939 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / (2โ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
145 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
146 recdiv 11866 . . . . . . . . . . . 12 ((((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
14792, 145, 146mpanr12 704 . . . . . . . . . . 11 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
148142, 143, 147syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โ‰  0)
150 nn0z 12529 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
151150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
152141, 149, 151exprecd 14065 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
153152oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
154144, 148, 1533eqtr4rd 2784 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)))
155140, 154breqtrrd 5134 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
156113, 155sylan2 594 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
157113, 44sylan2 594 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
158156, 157, 1193brtr4d 5138 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
15960, 61, 69, 125, 126, 130, 158iserle 15550 . . . . 5 (โŠค โ†’ (e โˆ’ 1) โ‰ค 2)
160159mptru 1549 . . . 4 (e โˆ’ 1) โ‰ค 2
161 ere 15976 . . . . 5 e โˆˆ โ„
162161, 51, 83lesubaddi 11718 . . . 4 ((e โˆ’ 1) โ‰ค 2 โ†” e โ‰ค (2 + 1))
163160, 162mpbi 229 . . 3 e โ‰ค (2 + 1)
164 df-3 12222 . . 3 3 = (2 + 1)
165163, 164breqtrri 5133 . 2 e โ‰ค 3
16659, 165pm3.2i 472 1 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  abscabs 15125   โ‡ cli 15372  expce 15949  eceu 15950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956
This theorem is referenced by:  egt2lt3  16093
  Copyright terms: Public domain W3C validator