MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ege2le3 15972
Description: Lemma for egt2lt3 16088. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2 0nn0 12428 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
4 1e0p1 12660 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
5 0z 12510 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
6 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
7 fac0 14176 . . . . . . . . . . . 12 (!‘0) = 1
86, 7eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
98oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
10 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1110div1i 11883 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
129, 11eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
13 erelem1.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
14 1ex 11151 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
162, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
175, 16seq1i 13920 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
18 1nn0 12429 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
20 fac1 14177 . . . . . . . . . . 11 (!‘1) = 1
2119, 20eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
2221oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
2322, 11eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
2423, 13, 14fvmpt 6948 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
2518, 24mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
261, 3, 4, 17, 25seqp1d 13923 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = (1 + 1))
27 df-2 12216 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2826, 27eqtr4di 2794 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
2918a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
30 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
31 1exp 13997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
3332oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
3433mpteq2ia 5208 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3513, 34eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
3635efcvg 15967 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
3710, 36mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
38 df-e 15951 . . . . . 6 e = (exp‘1)
3937, 38breqtrrdi 5147 . . . . 5 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
40 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
4140oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
42 ovex 7390 . . . . . . . 8 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
4341, 13, 42fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
4443adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45 faccl 14183 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nnrecred 12204 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4844, 47eqeltrd 2838 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4946nnred 12168 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5046nngt0d 12202 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
51 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
52 0le1 11678 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
53 divge0 12024 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5451, 52, 53mpanl12 700 . . . . . . 7 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5549, 50, 54syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
5655, 44breqtrrd 5133 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
571, 29, 39, 48, 56climserle 15547 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
5828, 57eqbrtrrd 5129 . . 3 (⊤ → 2 ≤ e)
5958mptru 1548 . 2 2 ≤ e
60 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
61 1zzd 12534 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
6248recnd 11183 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
631, 3, 62, 39clim2ser 15539 . . . . . . 7 (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
64 0p1e1 12275 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65 seqeq1 13909 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
6717mptru 1548 . . . . . . . 8 (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
6867oveq2i 7368 . . . . . . 7 (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
6963, 66, 683brtr3g 5138 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
70 2cnd 12231 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
71 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
72 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
73 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
76 halfre 12367 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
7976, 77, 78sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
8079recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
8175, 80eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
82 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
83 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
84 0le2 12255 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
85 absid 15181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
8683, 84, 85mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘2) = 2
8782, 86breqtrri 5132 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (abs‘2)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 < (abs‘2))
8970, 88, 75georeclim 15757 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
90 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
9190oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
92 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
9392div1i 11883 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
9491, 93eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 − 1)) = 2
9589, 94breqtrdi 5146 . . . . . . . . . 10 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
961, 3, 81, 95clim2ser 15539 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
97 seqeq1 13909 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
99 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
100 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2)↑0) ∈ V
10199, 72, 100fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
103 halfcn 12368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℂ
104 exp0 13971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)↑0) = 1
106102, 105eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1)
1085, 107seq1i 13920 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
109108mptru 1548 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
110109oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
111110, 90eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
11296, 98, 1113brtr3g 5138 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
113 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
114113, 81sylan2 593 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
11571oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
117 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ V
118115, 116, 117fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
119118adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
120113, 75sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
121120oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
122119, 121eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
12360, 61, 70, 112, 114, 122isermulc2 15542 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
124 2t1e2 12316 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
125123, 124breqtrdi 5146 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
126113, 48sylan2 593 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
127 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
12883, 79, 127sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
129113, 128sylan2 593 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
130119, 129eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
131 faclbnd2 14191 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
132131adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
133 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
134 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
135133, 77, 134sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
136135nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
137136rphalfcld 12969 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
13846nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
139137, 138lerecd 12976 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
140132, 139mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
141 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
142135nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
143135nnne0d 12203 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ≠ 0)
144141, 142, 143divrecd 11934 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
145 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
146 recdiv 11861 . . . . . . . . . . . 12 ((((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
14792, 145, 146mpanr12 703 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
148142, 143, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
150 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
151150adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
152141, 149, 151exprecd 14059 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
153152oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
154144, 148, 1533eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
155140, 154breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
156113, 155sylan2 593 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
157113, 44sylan2 593 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
158156, 157, 1193brtr4d 5137 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
15960, 61, 69, 125, 126, 130, 158iserle 15544 . . . . 5 (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
160159mptru 1548 . . . 4 (e − 1) ≤ 2
161 ere 15971 . . . . 5 e ∈ ℝ
162161, 51, 83lesubaddi 11713 . . . 4 ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
163160, 162mpbi 229 . . 3 e ≤ (2 + 1)
164 df-3 12217 . . 3 3 = (2 + 1)
165163, 164breqtrri 5132 . 2 e ≤ 3
16659, 165pm3.2i 471 1 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  seqcseq 13906  cexp 13967  !cfa 14173  abscabs 15119  cli 15366  expce 15944  eceu 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951
This theorem is referenced by:  egt2lt3  16088
  Copyright terms: Public domain W3C validator