MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ege2le3 16029
Description: Lemma for egt2lt3 16145. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
erelem1.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12860 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
32a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
4 1e0p1 12715 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
5 0z 12565 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
6 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜0))
7 fac0 14232 . . . . . . . . . . . 12 (!โ€˜0) = 1
86, 7eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = 1)
98oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / 1))
10 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
1110div1i 11938 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
129, 11eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = 1)
13 erelem1.2 . . . . . . . . 9 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
14 1ex 11206 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ V
1512, 13, 14fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜0) = 1)
162, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜0) = 1)
175, 16seq1i 13976 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = 1)
18 1nn0 12484 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
19 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜1))
20 fac1 14233 . . . . . . . . . . 11 (!โ€˜1) = 1
2119, 20eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = 1)
2221oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / 1))
2322, 11eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = 1)
2423, 13, 14fvmpt 6995 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜1) = 1)
2518, 24mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜1) = 1)
261, 3, 4, 17, 25seqp1d 13979 . . . . 5 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) = (1 + 1))
27 df-2 12271 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2826, 27eqtr4di 2790 . . . 4 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) = 2)
2918a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
30 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
31 1exp 14053 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
3332oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘›)))
3433mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
3513, 34eqtr4i 2763 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
3635efcvg 16024 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ (expโ€˜1))
3710, 36mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ (expโ€˜1))
38 df-e 16008 . . . . . 6 e = (expโ€˜1)
3937, 38breqtrrdi 5189 . . . . 5 (โŠค โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ e)
40 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘˜))
4140oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
42 ovex 7438 . . . . . . . 8 (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ V
4341, 13, 42fvmpt 6995 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
4443adantl 482 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
45 faccl 14239 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4746nnrecred 12259 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4844, 47eqeltrd 2833 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4946nnred 12223 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
5046nngt0d 12257 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
51 1re 11210 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
52 0le1 11733 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
53 divge0 12079 . . . . . . . 8 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
5451, 52, 53mpanl12 700 . . . . . . 7 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
5549, 50, 54syl2anc 584 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
5655, 44breqtrrd 5175 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
571, 29, 39, 48, 56climserle 15605 . . . 4 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) โ‰ค e)
5828, 57eqbrtrrd 5171 . . 3 (โŠค โ†’ 2 โ‰ค e)
5958mptru 1548 . 2 2 โ‰ค e
60 nnuz 12861 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
61 1zzd 12589 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
6248recnd 11238 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
631, 3, 62, 39clim2ser 15597 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐บ) โ‡ (e โˆ’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0)))
64 0p1e1 12330 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65 seqeq1 13965 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐บ) = seq1( + , ๐บ))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , ๐บ) = seq1( + , ๐บ)
6717mptru 1548 . . . . . . . 8 (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = 1
6867oveq2i 7416 . . . . . . 7 (e โˆ’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0)) = (e โˆ’ 1)
6963, 66, 683brtr3g 5180 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ (e โˆ’ 1))
70 2cnd 12286 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
71 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
72 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))
73 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
7471, 72, 73fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
76 halfre 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) โˆˆ โ„
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
78 reexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
7976, 77, 78sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
8079recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
8175, 80eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
82 1lt2 12379 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
83 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„
84 0le2 12310 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โ‰ค 2
85 absid 15239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (absโ€˜2) = 2)
8683, 84, 85mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜2) = 2
8782, 86breqtrri 5174 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (absโ€˜2)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 1 < (absโ€˜2))
8970, 88, 75georeclim 15814 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (2 / (2 โˆ’ 1)))
90 2m1e1 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆ’ 1) = 1
9190oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 โˆ’ 1)) = (2 / 1)
92 2cn 12283 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„‚
9392div1i 11938 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
9491, 93eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 โˆ’ 1)) = 2
9589, 94breqtrdi 5188 . . . . . . . . . 10 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ 2)
961, 3, 81, 95clim2ser 15597 . . . . . . . . 9 (โŠค โ†’ seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)))
97 seqeq1 13965 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 โ†’ seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))))
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
99 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘0))
100 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2)โ†‘0) โˆˆ V
10199, 72, 100fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = ((1 / 2)โ†‘0))
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = ((1 / 2)โ†‘0)
103 halfcn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
104 exp0 14027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 2)โ†‘0) = 1)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)โ†‘0) = 1
106102, 105eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = 1)
1085, 107seq1i 13976 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = 1)
109108mptru 1548 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = 1
110109oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)) = (2 โˆ’ 1)
111110, 90eqtri 2760 . . . . . . . . 9 (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)) = 1
11296, 98, 1113brtr3g 5180 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ 1)
113 nnnn0 12475 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
114113, 81sylan2 593 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
11571oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
117 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ V
118115, 116, 117fvmpt 6995 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
119118adantl 482 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
120113, 75sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
121120oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
122119, 121eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
12360, 61, 70, 112, 114, 122isermulc2 15600 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ (2 ยท 1))
124 2t1e2 12371 . . . . . . 7 (2 ยท 1) = 2
125123, 124breqtrdi 5188 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ 2)
126113, 48sylan2 593 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
127 remulcl 11191 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
12883, 79, 127sylancr 587 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
129113, 128sylan2 593 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
130119, 129eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
131 faclbnd2 14247 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
132131adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
133 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
134 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
135133, 77, 134sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
136135nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
137136rphalfcld 13024 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โˆˆ โ„+)
13846nnrpd 13010 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
139137, 138lerecd 13031 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โ†” (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2))))
140132, 139mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)))
141 2cnd 12286 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
142135nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
143135nnne0d 12258 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
144141, 142, 143divrecd 11989 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / (2โ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
145 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
146 recdiv 11916 . . . . . . . . . . . 12 ((((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
14792, 145, 146mpanr12 703 . . . . . . . . . . 11 (((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
148142, 143, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โ‰  0)
150 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
151150adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
152141, 149, 151exprecd 14115 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
153152oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
154144, 148, 1533eqtr4rd 2783 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)))
155140, 154breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
156113, 155sylan2 593 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
157113, 44sylan2 593 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
158156, 157, 1193brtr4d 5179 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
15960, 61, 69, 125, 126, 130, 158iserle 15602 . . . . 5 (โŠค โ†’ (e โˆ’ 1) โ‰ค 2)
160159mptru 1548 . . . 4 (e โˆ’ 1) โ‰ค 2
161 ere 16028 . . . . 5 e โˆˆ โ„
162161, 51, 83lesubaddi 11768 . . . 4 ((e โˆ’ 1) โ‰ค 2 โ†” e โ‰ค (2 + 1))
163160, 162mpbi 229 . . 3 e โ‰ค (2 + 1)
164 df-3 12272 . . 3 3 = (2 + 1)
165163, 164breqtrri 5174 . 2 e โ‰ค 3
16659, 165pm3.2i 471 1 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  seqcseq 13962  โ†‘cexp 14023  !cfa 14229  abscabs 15177   โ‡ cli 15424  expce 16001  eceu 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008
This theorem is referenced by:  egt2lt3  16145
  Copyright terms: Public domain W3C validator