Theorem ege2le3 16044

Description: Lemma for egt2lt3 16162. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12815	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0nn0 12441	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
4		1e0p1 12675	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
5		0z 12524	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
7		fac0 14227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (!‘0) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
9	8	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
10		ax-1cn 11085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	div1i 11872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	9, 11	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
13		erelem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
14		1ex 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
16	2, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
17	5, 16	seq1i 13966	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
18		1nn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
20		fac1 14228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
22	21	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
23	22, 11	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
24	23, 13, 14	fvmpt 6939	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
25	18, 24	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
26	1, 3, 4, 17, 25	seqp1d 13969	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = (1 + 1))
27		df-2 12233	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
28	26, 27	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
29	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
30		nn0z 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31		1exp 14042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
33	32	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
34	33	mpteq2ia 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
35	13, 34	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
36	35	efcvg 16039	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
37	10, 36	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
38		df-e 16022	. . . . . 6 ⊢ e = (exp‘1)
39	37, 38	breqtrrdi 5128	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
40		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
41	40	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
42		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
43	41, 13, 42	fvmpt 6939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45		faccl 14234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
47	46	nnrecred 12217	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
48	44, 47	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
49	46	nnred 12178	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
50	46	nngt0d 12215	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
51		1re 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		0le1 11662	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
53		divge0 12014	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
54	51, 52, 53	mpanl12 703	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
55	49, 50, 54	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
56	55, 44	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
57	1, 29, 39, 48, 56	climserle 15614	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
58	28, 57	eqbrtrrd 5110	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 ≤ e)
59	58	mptru 1549	. 2 ⊢ 2 ≤ e
60		nnuz 12816	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61		1zzd 12547	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
62	48	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
63	1, 3, 62, 39	clim2ser 15606	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
64		0p1e1 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
65		seqeq1 13955	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
67	17	mptru 1549	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
68	67	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
69	63, 66, 68	3brtr3g 5119	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
70		2cnd 12248	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
71		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
72		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
73		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
74	71, 72, 73	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
76		halfre 12379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78		reexpcl 14029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
79	76, 77, 78	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
81	75, 80	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
82		1lt2 12336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
83		2re 12244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
84		0le2 12272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
85		absid 15247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
86	83, 84, 85	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘2) = 2
87	82, 86	breqtrri 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < (abs‘2)
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 1 < (abs‘2))
89	70, 88, 75	georeclim 15826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
90		2m1e1 12291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
91	90	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
92		2cn 12245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
93	92	div1i 11872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / 1) = 2
94	91, 93	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / (2 − 1)) = 2
95	89, 94	breqtrdi 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
96	1, 3, 81, 95	clim2ser 15606	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
97		seqeq1 13955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
98	64, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
99		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
100		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2)↑0) ∈ V
101	99, 72, 100	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
102	2, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
103		halfcn 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104		exp0 14016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
105	103, 104	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2)↑0) = 1
106	102, 105	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1)
108	5, 107	seq1i 13966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
109	108	mptru 1549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
110	109	oveq2i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
111	110, 90	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
112	96, 98, 111	3brtr3g 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
113		nnnn0 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
114	113, 81	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
115	71	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
116		erelem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
117		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
120	113, 75	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
121	120	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
122	119, 121	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
123	60, 61, 70, 112, 114, 122	isermulc2 15609	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
124		2t1e2 12328	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
125	123, 124	breqtrdi 5127	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
126	113, 48	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
127		remulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
128	83, 79, 127	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
129	113, 128	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
130	119, 129	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
131		faclbnd2 14242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
132	131	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
133		2nn 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
134		nnexpcl 14025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
135	133, 77, 134	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
136	135	nnrpd 12973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
137	136	rphalfcld 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
138	46	nnrpd 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
139	137, 138	lerecd 12994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
140	132, 139	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
141		2cnd 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
142	135	nncnd 12179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
143	135	nnne0d 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ≠ 0)
144	141, 142, 143	divrecd 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
145		2ne0 12274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
146		recdiv 11850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
147	92, 145, 146	mpanr12 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
148	142, 143, 147	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
149	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
150		nn0z 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
151	150	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
152	141, 149, 151	exprecd 14105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
153	152	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
154	144, 148, 153	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
155	140, 154	breqtrrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
156	113, 155	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
157	113, 44	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
158	156, 157, 119	3brtr4d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
159	60, 61, 69, 125, 126, 130, 158	iserle 15611	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
160	159	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (e − 1) ≤ 2
161		ere 16043	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
162	161, 51, 83	lesubaddi 11697	. . . 4 ⊢ ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
163	160, 162	mpbi 230	. . 3 ⊢ e ≤ (2 + 1)
164		df-3 12234	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
165	163, 164	breqtrri 5113	. 2 ⊢ e ≤ 3
166	59, 165	pm3.2i 470	1 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  3c3 12226  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  seqcseq 13952  ↑cexp 14012  !cfa 14224  abscabs 15185   ⇝ cli 15435  expce 16015  eceu 16016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-e 16022

This theorem is referenced by:  egt2lt3  16162