Theorem ege2le3 16056

Description: Lemma for egt2lt3 16174. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12835	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0nn0 12457	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
4		1e0p1 12691	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
5		0z 12540	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
7		fac0 14241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (!‘0) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
9	8	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
10		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	div1i 11910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
12	9, 11	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
13		erelem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
14		1ex 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6968	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
16	2, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
17	5, 16	seq1i 13980	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
18		1nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
20		fac1 14242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
22	21	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
23	22, 11	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
24	23, 13, 14	fvmpt 6968	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
25	18, 24	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
26	1, 3, 4, 17, 25	seqp1d 13983	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = (1 + 1))
27		df-2 12249	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
28	26, 27	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
29	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
30		nn0z 12554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
31		1exp 14056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
33	32	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
34	33	mpteq2ia 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
35	13, 34	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
36	35	efcvg 16051	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
37	10, 36	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
38		df-e 16034	. . . . . 6 ⊢ e = (exp‘1)
39	37, 38	breqtrrdi 5149	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
40		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
41	40	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
42		ovex 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
43	41, 13, 42	fvmpt 6968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45		faccl 14248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
47	46	nnrecred 12237	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
48	44, 47	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
49	46	nnred 12201	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
50	46	nngt0d 12235	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
51		1re 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		0le1 11701	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
53		divge0 12052	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
54	51, 52, 53	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
55	49, 50, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
56	55, 44	breqtrrd 5135	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
57	1, 29, 39, 48, 56	climserle 15629	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
58	28, 57	eqbrtrrd 5131	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 ≤ e)
59	58	mptru 1547	. 2 ⊢ 2 ≤ e
60		nnuz 12836	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61		1zzd 12564	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
62	48	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
63	1, 3, 62, 39	clim2ser 15621	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
64		0p1e1 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
65		seqeq1 13969	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
67	17	mptru 1547	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
68	67	oveq2i 7398	. . . . . . 7 ⊢ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
69	63, 66, 68	3brtr3g 5140	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
70		2cnd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
71		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
72		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
73		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
74	71, 72, 73	fvmpt 6968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
76		halfre 12395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
78		reexpcl 14043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
79	76, 77, 78	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
81	75, 80	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
82		1lt2 12352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
83		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
84		0le2 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
85		absid 15262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
86	83, 84, 85	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘2) = 2
87	82, 86	breqtrri 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < (abs‘2)
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 1 < (abs‘2))
89	70, 88, 75	georeclim 15838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
90		2m1e1 12307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
91	90	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
92		2cn 12261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
93	92	div1i 11910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / 1) = 2
94	91, 93	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / (2 − 1)) = 2
95	89, 94	breqtrdi 5148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
96	1, 3, 81, 95	clim2ser 15621	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
97		seqeq1 13969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
98	64, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
99		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
100		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2)↑0) ∈ V
101	99, 72, 100	fvmpt 6968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
102	2, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
103		halfcn 12396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104		exp0 14030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
105	103, 104	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2)↑0) = 1
106	102, 105	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1)
108	5, 107	seq1i 13980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
109	108	mptru 1547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
110	109	oveq2i 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
111	110, 90	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
112	96, 98, 111	3brtr3g 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
113		nnnn0 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
114	113, 81	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
115	71	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
116		erelem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
117		ovex 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
120	113, 75	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
121	120	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
122	119, 121	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
123	60, 61, 70, 112, 114, 122	isermulc2 15624	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
124		2t1e2 12344	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
125	123, 124	breqtrdi 5148	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
126	113, 48	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
127		remulcl 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
128	83, 79, 127	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
129	113, 128	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
130	119, 129	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
131		faclbnd2 14256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
132	131	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
133		2nn 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
134		nnexpcl 14039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
135	133, 77, 134	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
136	135	nnrpd 12993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
137	136	rphalfcld 13007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
138	46	nnrpd 12993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
139	137, 138	lerecd 13014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
140	132, 139	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
141		2cnd 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
142	135	nncnd 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
143	135	nnne0d 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ≠ 0)
144	141, 142, 143	divrecd 11961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
145		2ne0 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
146		recdiv 11888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
147	92, 145, 146	mpanr12 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
148	142, 143, 147	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
149	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
150		nn0z 12554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
151	150	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
152	141, 149, 151	exprecd 14119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
153	152	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
154	144, 148, 153	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
155	140, 154	breqtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
156	113, 155	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
157	113, 44	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
158	156, 157, 119	3brtr4d 5139	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
159	60, 61, 69, 125, 126, 130, 158	iserle 15626	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
160	159	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (e − 1) ≤ 2
161		ere 16055	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
162	161, 51, 83	lesubaddi 11736	. . . 4 ⊢ ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
163	160, 162	mpbi 230	. . 3 ⊢ e ≤ (2 + 1)
164		df-3 12250	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
165	163, 164	breqtrri 5134	. 2 ⊢ e ≤ 3
166	59, 165	pm3.2i 470	1 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  !cfa 14238  abscabs 15200   ⇝ cli 15450  expce 16027  eceu 16028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-e 16034

This theorem is referenced by:  egt2lt3  16174