Theorem reccot 48839

Description: The reciprocal of cotangent is tangent. (Contributed by David A. Wheeler, 21-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reccot	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (1 / (cot‘𝐴)))

Proof of Theorem reccot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincl 16168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		coscl 16169	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		recdiv 11994	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
4	2, 3	sylanl1 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
5	1, 4	sylanr1 681	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
6	5	3impdi 1350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
7	6	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
8		cotval 48830	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
9	8	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
10	9	oveq2d 7459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (cot‘𝐴)) = (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))))
11		tanval 16170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
12	11	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
13	7, 10, 12	3eqtr4rd 2791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (1 / (cot‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  ℂcc 11176  0cc0 11178  1c1 11179   / cdiv 11941  sincsin 16105  cosccos 16106  tanctan 16107  cotccot 48824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-inf2 9704  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-er 8757  df-pm 8881  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-card 10002  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-n0 12548  df-z 12634  df-uz 12898  df-rp 13052  df-ico 13407  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-fl 13837  df-seq 14047  df-exp 14107  df-fac 14317  df-hash 14374  df-shft 15110  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144  df-sqrt 15278  df-abs 15279  df-limsup 15511  df-clim 15528  df-rlim 15529  df-sum 15729  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-tan 16113  df-cot 48827

This theorem is referenced by: (None)