Theorem reccot 44931

Description: The reciprocal of cotangent is tangent. (Contributed by David A. Wheeler, 21-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reccot	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (1 / (cot‘𝐴)))

Proof of Theorem reccot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincl 15475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		coscl 15476	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		recdiv 11343	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
4	2, 3	sylanl1 678	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
5	1, 4	sylanr1 680	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0)) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
6	5	3impdi 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
7	6	3com23 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
8		cotval 44922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
9	8	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cot‘𝐴) = ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴)))
10	9	oveq2d 7169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (cot‘𝐴)) = (1 / ((cos‘𝐴) / (sin‘𝐴))))
11		tanval 15477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
12	11	3adant2 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
13	7, 10, 12	3eqtr4rd 2866	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (1 / (cot‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℂcc 10532  0cc0 10534  1c1 10535   / cdiv 11294  sincsin 15413  cosccos 15414  tanctan 15415  cotccot 44916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612  ax-addf 10613  ax-mulf 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-pm 8406  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-rp 12388  df-ico 12742  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13428  df-fac 13632  df-hash 13689  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-tan 15421  df-cot 44919

This theorem is referenced by: (None)