Theorem resubdrg 21490

Description: The real numbers form a division subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
resubdrg	⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Proof of Theorem resubdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11197	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11190	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11522	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11213	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		remulcl 11192	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
6		rereccl 11931	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cnsubdrglem 21301	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
8		df-refld 21487	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
9	8	eleq1i 2816	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ↔ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
10	9	anbi2i 622	. 2 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing) ↔ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing))
11	7, 10	mpbir 230	1 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106   ↾_s cress 17178  SubRingcsubrg 20465  DivRingcdr 20583  ℂ_fldccnfld 21234  ℝ_fldcrefld 21486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-cnfld 21235  df-refld 21487

This theorem is referenced by:  resubgval  21491  re1r  21495  redvr  21499  refld  21501  rzgrp  21505  recvs  25017  recvsOLD  25018  taylthlem2  26250  reefgim  26327  circgrp  26426  circsubm  26427  jensenlem2  26860  amgmlem  26862  nn0archi  32954  rrxdim  33206  ccfldextrr  33234  rezh  33470  rerrext  33508  cnrrext  33509  zrhre  33518  qqhre  33519  gg-taylthlem2  35683  bj-rveccmod  36683  amgmwlem  48096