Theorem resubdrg 21539

Description: The real numbers form a division subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
resubdrg	⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Proof of Theorem resubdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11228	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11221	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11553	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11244	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		remulcl 11223	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
6		rereccl 11962	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cnsubdrglem 21350	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
8		df-refld 21536	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
9	8	eleq1i 2820	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ↔ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
10	9	anbi2i 622	. 2 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing) ↔ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing))
11	7, 10	mpbir 230	1 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11137   ↾_s cress 17208  SubRingcsubrg 20505  DivRingcdr 20623  ℂ_fldccnfld 21278  ℝ_fldcrefld 21535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-cnfld 21279  df-refld 21536

This theorem is referenced by:  resubgval  21540  re1r  21544  redvr  21548  refld  21550  rzgrp  21554  recvs  25072  recvsOLD  25073  taylthlem2  26308  taylthlem2OLD  26309  reefgim  26386  circgrp  26485  circsubm  26486  jensenlem2  26919  amgmlem  26921  nn0archi  33059  rrxdim  33308  ccfldextrr  33336  rezh  33572  rerrext  33610  cnrrext  33611  zrhre  33620  qqhre  33621  bj-rveccmod  36781  amgmwlem  48235