Theorem resubdrg 21723

Description: The real numbers form a division subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
resubdrg	⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Proof of Theorem resubdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11186	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11179	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11517	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		remulcl 11181	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
6		rereccl 11929	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cnsubdrglem 21533	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
8		df-refld 21720	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
9	8	eleq1i 2860	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ↔ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
10	9	anbi2i 634	. 2 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing) ↔ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing))
11	7, 10	mpbir 234	1 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095   ↾_s cress 17286  SubRingcsubrg 20650  DivRingcdr 20809  ℂ_fldccnfld 21487  ℝ_fldcrefld 21719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-cnfld 21488  df-refld 21720

This theorem is referenced by:  resubgval  21724  re1r  21728  redvr  21732  refld  21734  rzgrp  21738  recvs  25270  taylthlem2  26499  reefgim  26575  circgrp  26679  circsubm  26680  jensenlem2  27114  amgmlem  27116  nn0archi  33606  rrxdim  33945  ccfldextrr  33977  rezh  34300  rerrext  34340  cnrrext  34341  zrhre  34350  qqhre  34351  bj-rveccmod  37829  amgmwlem  50458