Theorem resubdrg 21907

Description: The real numbers form a division subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
resubdrg	⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

Proof of Theorem resubdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11283	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11276	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11614	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11301	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		remulcl 11278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
6		rereccl 12028	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cnsubdrglem 21717	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
8		df-refld 21904	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
9	8	eleq1i 2852	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ↔ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing)
10	9	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing) ↔ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ DivRing))
11	7, 10	mpbir 234	1 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192   ↾_s cress 17401  SubRingcsubrg 20814  DivRingcdr 20973  ℂ_fldccnfld 21671  ℝ_fldcrefld 21903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-subg 19326  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-drng 20975  df-cnfld 21672  df-refld 21904

This theorem is used by:  resubgval  21908  re1r  21912  redvr  21916  refld  21918  rzgrp  21922  recvs  25460  taylthlem2  26694  reefgim  26770  circgrp  26873  circsubm  26874  jensenlem2  27308  amgmlem  27310  nn0archi  33901  rrxdim  34239  ccfldextrr  34271  rezh  34594  rerrext  34634  cnrrext  34635  zrhre  34644  qqhre  34645  bj-rveccmod  38203  amgmwlem  50956