Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resum2sqgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resum2sqgt0 47891
Description: The sum of the square of a nonzero real number and the square of another real number is greater than zero. (Contributed by AV, 7-Feb-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
resum2sqcl.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
Assertion
Ref Expression
resum2sqgt0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)

Proof of Theorem resum2sqgt0
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21resqcld 14119 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
32adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4 simpr 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
54resqcld 14119 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
6 sqgt0 14120 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴↑2))
76adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴↑2))
8 sqge0 14130 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵↑2))
98adantl 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐵↑2))
103, 5, 7, 9addgtge0d 11816 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
11 resum2sqcl.q . 2 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
1210, 11breqtrrdi 5185 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   < clt 11276  cle 11277  2c2 12295  cexp 14056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-exp 14057
This theorem is referenced by:  resum2sqrp  47892  resum2sqorgt0  47893  itsclc0yqsol  47948  itscnhlc0xyqsol  47949
  Copyright terms: Public domain W3C validator