Theorem resqcld 14048

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14047	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  2c2 12200  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  zzlesq  14129  cjmulge0  15069  01sqrexlem1  15165  01sqrexlem6  15170  01sqrexlem7  15171  absrele  15231  abstri  15254  amgm2  15293  sinbnd  16105  cosbnd  16106  cos01bnd  16111  cos01gt0  16116  absefi  16121  pythagtriplem10  16748  pockthg  16834  prmreclem1  16844  4sqlem12  16884  4sqlem15  16887  4sqlem16  16888  prmlem1  17035  prmlem2  17047  cphnmf  25151  reipcl  25153  ipcau2  25190  csbren  25355  trirn  25356  rrxmval  25361  rrxmet  25364  rrxdstprj1  25365  rrxdsfi  25367  ehl1eudis  25376  ehl2eudis  25378  minveclem2  25382  minveclem3b  25384  minveclem3  25385  minveclem4  25388  minveclem6  25390  minveclem7  25391  pjthlem1  25393  itgabs  25792  dveflem  25939  tangtx  26470  tanregt0  26504  cxpsqrt  26668  lawcoslem1  26781  birthdaylem3  26919  cxp2limlem  26942  basellem8  27054  bposlem6  27256  2sqblem  27398  2sqmod  27403  2sqreulem1  27413  2sqreunnlem1  27416  rplogsumlem2  27452  logdivsum  27500  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  vmalogdivsum2  27505  log2sumbnd  27511  selberglem2  27513  logdivbnd  27523  pntpbnd1a  27552  pntlemb  27564  pntlemr  27569  pntlemk  27573  pntlemo  27574  eqeelen  28977  brbtwn2  28978  colinearalglem4  28982  axcgrid  28989  axsegconlem2  28991  axsegconlem3  28992  axsegconlem9  28998  ax5seglem1  29001  ax5seglem2  29002  ax5seglem3  29004  ax5seg  29011  ipval2lem2  30779  minvecolem2  30950  minvecolem3  30951  minvecolem4  30955  minvecolem5  30956  minvecolem6  30957  minvecolem7  30958  normpyc  31221  pjhthlem1  31466  chscllem2  31713  pjssposi  32247  hstle1  32301  hst1h  32302  hstle  32305  hstoh  32307  strlem3a  32327  receqid  32824  expevenpos  32927  cos9thpiminplylem1  33939  sqsscirc1  34065  hgt750lemf  34810  hgt750leme  34815  tgoldbachgtde  34817  sinccvglem  35866  itgabsnc  37890  dvasin  37905  areacirclem1  37909  areacirclem2  37910  areacirclem4  37912  areacirc  37914  cntotbnd  37997  rrnmet  38030  rrndstprj1  38031  rrndstprj2  38032  3lexlogpow2ineq2  42313  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  aks4d1p9  42342  aks6d1c3  42377  aks6d1c7lem1  42434  readvrec2  42616  3cubeslem1  42926  3cubeslem2  42927  pellexlem2  43072  pellexlem6  43076  pell14qrgt0  43101  pell1qrgaplem  43115  rmspecnonsq  43149  rmspecpos  43158  jm3.1lem2  43260  sqrtcval  43882  sqrlearg  45799  dvdivbd  46167  stirlinglem10  46327  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  rrxtopnfi  46531  rrndistlt  46534  hoiqssbllem2  46867  smfmullem1  47035  requad01  47867  requad1  47868  requad2  47869  resum2sqcl  48952  resum2sqgt0  48953  2sphere  48995  itsclc0lem3  49004  itscnhlc0yqe  49005  itsclc0yqsollem2  49009  itsclc0yqsol  49010  itscnhlc0xyqsol  49011  itschlc0xyqsol1  49012  itsclquadb  49022  2itscp  49027  itscnhlinecirc02plem1  49028  itscnhlinecirc02plem3  49030  itscnhlinecirc02p  49031