Theorem resqcld 14062

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  2c2 12214  ↑cexp 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-seq 13939  df-exp 13999

This theorem is referenced by:  zzlesq  14143  cjmulge0  15083  01sqrexlem1  15179  01sqrexlem6  15184  01sqrexlem7  15185  absrele  15245  abstri  15268  amgm2  15307  sinbnd  16119  cosbnd  16120  cos01bnd  16125  cos01gt0  16130  absefi  16135  pythagtriplem10  16762  pockthg  16848  prmreclem1  16858  4sqlem12  16898  4sqlem15  16901  4sqlem16  16902  prmlem1  17049  prmlem2  17061  cphnmf  25168  reipcl  25170  ipcau2  25207  csbren  25372  trirn  25373  rrxmval  25378  rrxmet  25381  rrxdstprj1  25382  rrxdsfi  25384  ehl1eudis  25393  ehl2eudis  25395  minveclem2  25399  minveclem3b  25401  minveclem3  25402  minveclem4  25405  minveclem6  25407  minveclem7  25408  pjthlem1  25410  itgabs  25809  dveflem  25956  tangtx  26487  tanregt0  26521  cxpsqrt  26685  lawcoslem1  26798  birthdaylem3  26936  cxp2limlem  26959  basellem8  27071  bposlem6  27273  2sqblem  27415  2sqmod  27420  2sqreulem1  27430  2sqreunnlem1  27433  rplogsumlem2  27469  logdivsum  27517  mulog2sumlem1  27518  mulog2sumlem2  27519  vmalogdivsum2  27522  log2sumbnd  27528  selberglem2  27530  logdivbnd  27540  pntpbnd1a  27569  pntlemb  27581  pntlemr  27586  pntlemk  27590  pntlemo  27591  eqeelen  28995  brbtwn2  28996  colinearalglem4  29000  axcgrid  29007  axsegconlem2  29009  axsegconlem3  29010  axsegconlem9  29016  ax5seglem1  29019  ax5seglem2  29020  ax5seglem3  29022  ax5seg  29029  ipval2lem2  30798  minvecolem2  30969  minvecolem3  30970  minvecolem4  30974  minvecolem5  30975  minvecolem6  30976  minvecolem7  30977  normpyc  31240  pjhthlem1  31485  chscllem2  31732  pjssposi  32266  hstle1  32320  hst1h  32321  hstle  32324  hstoh  32326  strlem3a  32346  receqid  32841  expevenpos  32944  cos9thpiminplylem1  33966  sqsscirc1  34092  hgt750lemf  34837  hgt750leme  34842  tgoldbachgtde  34844  sinccvglem  35894  itgabsnc  37969  dvasin  37984  areacirclem1  37988  areacirclem2  37989  areacirclem4  37991  areacirc  37993  cntotbnd  38076  rrnmet  38109  rrndstprj1  38110  rrndstprj2  38111  3lexlogpow2ineq2  42458  aks4d1p1p2  42469  aks4d1p1p4  42470  aks4d1p1p6  42472  aks4d1p1p7  42473  aks4d1p1p5  42474  aks4d1p1  42475  aks4d1p9  42487  aks6d1c3  42522  aks6d1c7lem1  42579  readvrec2  42760  3cubeslem1  43070  3cubeslem2  43071  pellexlem2  43216  pellexlem6  43220  pell14qrgt0  43245  pell1qrgaplem  43259  rmspecnonsq  43293  rmspecpos  43302  jm3.1lem2  43404  sqrtcval  44026  sqrlearg  45942  dvdivbd  46310  stirlinglem10  46470  fourierdlem56  46549  fourierdlem57  46550  rrxtopnfi  46674  rrndistlt  46677  hoiqssbllem2  47010  smfmullem1  47178  requad01  48010  requad1  48011  requad2  48012  resum2sqcl  49095  resum2sqgt0  49096  2sphere  49138  itsclc0lem3  49147  itscnhlc0yqe  49148  itsclc0yqsollem2  49152  itsclc0yqsol  49153  itscnhlc0xyqsol  49154  itschlc0xyqsol1  49155  itsclquadb  49165  2itscp  49170  itscnhlinecirc02plem1  49171  itscnhlinecirc02plem3  49173  itscnhlinecirc02p  49174