Theorem resqcld 14191

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  2c2 12322  ↑cexp 14127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-exp 14128

This theorem is used by:  zzlesq  14272  cjmulge0  15235  01sqrexlem1  15331  01sqrexlem6  15336  01sqrexlem7  15337  absrele  15397  abstri  15420  amgm2  15459  sinbnd  16272  cosbnd  16273  cos01bnd  16278  cos01gt0  16283  absefi  16288  pythagtriplem10  16916  pockthg  17002  prmreclem1  17012  4sqlem12  17052  4sqlem15  17055  4sqlem16  17056  prmlem1  17203  prmlem2  17216  cphnmf  25424  reipcl  25426  ipcau2  25463  csbren  25628  trirn  25629  rrxmval  25634  rrxmet  25637  rrxdstprj1  25638  rrxdsfi  25640  ehl1eudis  25649  ehl2eudis  25651  minveclem2  25655  minveclem3b  25657  minveclem3  25658  minveclem4  25661  minveclem6  25663  minveclem7  25664  pjthlem1  25666  itgabs  26064  dveflem  26208  tangtx  26740  tanregt0  26774  cxpsqrt  26938  lawcoslem1  27050  birthdaylem3  27188  cxp2limlem  27210  basellem8  27322  bposlem6  27523  2sqblem  27665  2sqmod  27670  2sqreulem1  27680  2sqreunnlem1  27683  rplogsumlem2  27719  logdivsum  27767  mulog2sumlem1  27768  mulog2sumlem2  27769  vmalogdivsum2  27772  log2sumbnd  27778  selberglem2  27780  logdivbnd  27790  pntpbnd1a  27819  pntlemb  27831  pntlemr  27836  pntlemk  27840  pntlemo  27841  eqeelen  29347  brbtwn2  29348  colinearalglem4  29352  axcgrid  29359  axsegconlem2  29361  axsegconlem3  29362  axsegconlem9  29368  ax5seglem1  29371  ax5seglem2  29372  ax5seglem3  29374  ax5seg  29381  ipval2lem2  31171  minvecolem2  31342  minvecolem3  31343  minvecolem4  31347  minvecolem5  31348  minvecolem6  31349  minvecolem7  31350  normpyc  31613  pjhthlem1  31858  chscllem2  32105  pjssposi  32639  hstle1  32693  hst1h  32694  hstle  32697  hstoh  32699  strlem3a  32719  receqid  33202  expevenpos  33292  cos9thpiminplylem1  34279  sqsscirc1  34405  hgt750lemf  35148  hgt750leme  35153  tgoldbachgtde  35155  sinccvglem  36238  itgabsnc  38425  dvasin  38440  areacirclem1  38444  areacirclem2  38445  areacirclem4  38447  areacirc  38449  cntotbnd  38533  rrnmet  38566  rrndstprj1  38567  rrndstprj2  38568  3lexlogpow2ineq2  42912  aks4d1p1p2  42923  aks4d1p1p4  42924  aks4d1p1p6  42926  aks4d1p1p7  42927  aks4d1p1p5  42928  aks4d1p1  42929  aks4d1p9  42941  aks6d1c3  42976  aks6d1c7lem1  43033  readvrec2  43223  3cubeslem1  43516  3cubeslem2  43517  pellexlem2  43658  pellexlem6  43662  pell14qrgt0  43687  pell1qrgaplem  43701  rmspecnonsq  43735  rmspecpos  43744  jm3.1lem2  43846  sqrtcval  44468  sqrlearg  46370  dvdivbd  46738  stirlinglem10  46898  fourierdlem56  46977  fourierdlem57  46978  rrxtopnfi  47102  rrndistlt  47105  hoiqssbllem2  47438  smfmullem1  47606  requad01  48524  requad1  48525  requad2  48526  resum2sqcl  49623  resum2sqgt0  49624  2sphere  49666  itsclc0lem3  49675  itscnhlc0yqe  49676  itsclc0yqsollem2  49680  itsclc0yqsol  49681  itscnhlc0xyqsol  49682  itschlc0xyqsol1  49683  itsclquadb  49693  2itscp  49698  itscnhlinecirc02plem1  49699  itscnhlinecirc02plem3  49701  itscnhlinecirc02p  49702  veronesefvcl  50792  veronesev1lem  50793  veronesev2lem  50794  veronesev3lem  50795  veroquadgsumlem  50803