Theorem resqcld 14090

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14089	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  2c2 12267  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  zzlesq  14170  cjmulge0  15093  01sqrexlem1  15189  01sqrexlem6  15194  01sqrexlem7  15195  absrele  15255  abstri  15277  amgm2  15316  sinbnd  16123  cosbnd  16124  cos01bnd  16129  cos01gt0  16134  absefi  16139  pythagtriplem10  16753  pockthg  16839  prmreclem1  16849  4sqlem12  16889  4sqlem15  16892  4sqlem16  16893  prmlem1  17041  prmlem2  17053  cphnmf  24712  reipcl  24714  ipcau2  24751  csbren  24916  trirn  24917  rrxmval  24922  rrxmet  24925  rrxdstprj1  24926  rrxdsfi  24928  ehl1eudis  24937  ehl2eudis  24939  minveclem2  24943  minveclem3b  24945  minveclem3  24946  minveclem4  24949  minveclem6  24951  minveclem7  24952  pjthlem1  24954  itgabs  25352  dveflem  25496  tangtx  26015  tanregt0  26048  cxpsqrt  26211  lawcoslem1  26320  birthdaylem3  26458  cxp2limlem  26480  basellem8  26592  bposlem6  26792  2sqblem  26934  2sqmod  26939  2sqreulem1  26949  2sqreunnlem1  26952  rplogsumlem2  26988  logdivsum  27036  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  vmalogdivsum2  27041  log2sumbnd  27047  selberglem2  27049  logdivbnd  27059  pntpbnd1a  27088  pntlemb  27100  pntlemr  27105  pntlemk  27109  pntlemo  27110  eqeelen  28193  brbtwn2  28194  colinearalglem4  28198  axcgrid  28205  axsegconlem2  28207  axsegconlem3  28208  axsegconlem9  28214  ax5seglem1  28217  ax5seglem2  28218  ax5seglem3  28220  ax5seg  28227  ipval2lem2  29988  minvecolem2  30159  minvecolem3  30160  minvecolem4  30164  minvecolem5  30165  minvecolem6  30166  minvecolem7  30167  normpyc  30430  pjhthlem1  30675  chscllem2  30922  pjssposi  31456  hstle1  31510  hst1h  31511  hstle  31514  hstoh  31516  strlem3a  31536  sqsscirc1  32919  hgt750lemf  33696  hgt750leme  33701  tgoldbachgtde  33703  sinccvglem  34688  itgabsnc  36605  dvasin  36620  areacirclem1  36624  areacirclem2  36625  areacirclem4  36627  areacirc  36629  cntotbnd  36712  rrnmet  36745  rrndstprj1  36746  rrndstprj2  36747  3lexlogpow2ineq2  40972  aks4d1p1p2  40983  aks4d1p1p4  40984  aks4d1p1p6  40986  aks4d1p1p7  40987  aks4d1p1p5  40988  aks4d1p1  40989  aks4d1p9  41001  3cubeslem1  41470  3cubeslem2  41471  pellexlem2  41616  pellexlem6  41620  pell14qrgt0  41645  pell1qrgaplem  41659  rmspecnonsq  41693  rmspecpos  41703  jm3.1lem2  41805  sqrtcval  42440  sqrlearg  44314  dvdivbd  44687  stirlinglem10  44847  fourierdlem56  44926  fourierdlem57  44927  rrxtopnfi  45051  rrndistlt  45054  hoiqssbllem2  45387  smfmullem1  45555  requad01  46337  requad1  46338  requad2  46339  resum2sqcl  47440  resum2sqgt0  47441  2sphere  47483  itsclc0lem3  47492  itscnhlc0yqe  47493  itsclc0yqsollem2  47497  itsclc0yqsol  47498  itscnhlc0xyqsol  47499  itschlc0xyqsol1  47500  itsclquadb  47510  2itscp  47515  itscnhlinecirc02plem1  47516  itscnhlinecirc02plem3  47518  itscnhlinecirc02p  47519