Theorem resqcld 14050

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  2c2 12202  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  zzlesq  14131  cjmulge0  15071  01sqrexlem1  15167  01sqrexlem6  15172  01sqrexlem7  15173  absrele  15233  abstri  15256  amgm2  15295  sinbnd  16107  cosbnd  16108  cos01bnd  16113  cos01gt0  16118  absefi  16123  pythagtriplem10  16750  pockthg  16836  prmreclem1  16846  4sqlem12  16886  4sqlem15  16889  4sqlem16  16890  prmlem1  17037  prmlem2  17049  cphnmf  25153  reipcl  25155  ipcau2  25192  csbren  25357  trirn  25358  rrxmval  25363  rrxmet  25366  rrxdstprj1  25367  rrxdsfi  25369  ehl1eudis  25378  ehl2eudis  25380  minveclem2  25384  minveclem3b  25386  minveclem3  25387  minveclem4  25390  minveclem6  25392  minveclem7  25393  pjthlem1  25395  itgabs  25794  dveflem  25941  tangtx  26472  tanregt0  26506  cxpsqrt  26670  lawcoslem1  26783  birthdaylem3  26921  cxp2limlem  26944  basellem8  27056  bposlem6  27258  2sqblem  27400  2sqmod  27405  2sqreulem1  27415  2sqreunnlem1  27418  rplogsumlem2  27454  logdivsum  27502  mulog2sumlem1  27503  mulog2sumlem2  27504  vmalogdivsum2  27507  log2sumbnd  27513  selberglem2  27515  logdivbnd  27525  pntpbnd1a  27554  pntlemb  27566  pntlemr  27571  pntlemk  27575  pntlemo  27576  eqeelen  28958  brbtwn2  28959  colinearalglem4  28963  axcgrid  28970  axsegconlem2  28972  axsegconlem3  28973  axsegconlem9  28979  ax5seglem1  28982  ax5seglem2  28983  ax5seglem3  28985  ax5seg  28992  ipval2lem2  30760  minvecolem2  30931  minvecolem3  30932  minvecolem4  30936  minvecolem5  30937  minvecolem6  30938  minvecolem7  30939  normpyc  31202  pjhthlem1  31447  chscllem2  31694  pjssposi  32228  hstle1  32282  hst1h  32283  hstle  32286  hstoh  32288  strlem3a  32308  receqid  32803  expevenpos  32906  cos9thpiminplylem1  33918  sqsscirc1  34044  hgt750lemf  34789  hgt750leme  34794  tgoldbachgtde  34796  sinccvglem  35845  itgabsnc  37859  dvasin  37874  areacirclem1  37878  areacirclem2  37879  areacirclem4  37881  areacirc  37883  cntotbnd  37966  rrnmet  37999  rrndstprj1  38000  rrndstprj2  38001  3lexlogpow2ineq2  42348  aks4d1p1p2  42359  aks4d1p1p4  42360  aks4d1p1p6  42362  aks4d1p1p7  42363  aks4d1p1p5  42364  aks4d1p1  42365  aks4d1p9  42377  aks6d1c3  42412  aks6d1c7lem1  42469  readvrec2  42653  3cubeslem1  42963  3cubeslem2  42964  pellexlem2  43109  pellexlem6  43113  pell14qrgt0  43138  pell1qrgaplem  43152  rmspecnonsq  43186  rmspecpos  43195  jm3.1lem2  43297  sqrtcval  43919  sqrlearg  45836  dvdivbd  46204  stirlinglem10  46364  fourierdlem56  46443  fourierdlem57  46444  rrxtopnfi  46568  rrndistlt  46571  hoiqssbllem2  46904  smfmullem1  47072  requad01  47904  requad1  47905  requad2  47906  resum2sqcl  48989  resum2sqgt0  48990  2sphere  49032  itsclc0lem3  49041  itscnhlc0yqe  49042  itsclc0yqsollem2  49046  itsclc0yqsol  49047  itscnhlc0xyqsol  49048  itschlc0xyqsol1  49049  itsclquadb  49059  2itscp  49064  itscnhlinecirc02plem1  49065  itscnhlinecirc02plem3  49067  itscnhlinecirc02p  49068