Theorem resqcld 14292

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  2c2 12421  ↑cexp 14228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229

This theorem is used by:  zzlesq  14374  cjmulge0  15339  01sqrexlem1  15435  01sqrexlem6  15440  01sqrexlem7  15441  absrele  15501  abstri  15524  amgm2  15563  sinbnd  16374  cosbnd  16375  cos01bnd  16380  cos01gt0  16385  absefi  16390  pythagtriplem10  17024  pockthg  17110  prmreclem1  17120  4sqlem12  17160  4sqlem15  17163  4sqlem16  17164  prmlem1  17311  prmlem2  17324  cphnmf  25543  reipcl  25545  ipcau2  25582  csbren  25747  trirn  25748  rrxmval  25753  rrxmet  25756  rrxdstprj1  25757  rrxdsfi  25759  ehl1eudis  25768  ehl2eudis  25770  minveclem2  25774  minveclem3b  25776  minveclem3  25777  minveclem4  25780  minveclem6  25782  minveclem7  25783  pjthlem1  25785  itgabs  26182  dveflem  26326  tangtx  26861  tanregt0  26894  cxpsqrt  27058  lawcoslem1  27170  birthdaylem3  27308  cxp2limlem  27330  basellem8  27442  bposlem6  27643  2sqblem  27785  2sqmod  27790  2sqreulem1  27800  2sqreunnlem1  27803  rplogsumlem2  27839  logdivsum  27887  mulog2sumlem1  27888  mulog2sumlem2  27889  vmalogdivsum2  27892  log2sumbnd  27898  selberglem2  27900  logdivbnd  27910  pntpbnd1a  27939  pntlemb  27951  pntlemr  27956  pntlemk  27960  pntlemo  27961  eqeelen  29509  brbtwn2  29510  colinearalglem4  29514  axcgrid  29521  axsegconlem2  29523  axsegconlem3  29524  axsegconlem9  29530  ax5seglem1  29533  ax5seglem2  29534  ax5seglem3  29536  ax5seg  29543  ipval2lem2  31333  minvecolem2  31504  minvecolem3  31505  minvecolem4  31509  minvecolem5  31510  minvecolem6  31511  minvecolem7  31512  normpyc  31775  pjhthlem1  32020  chscllem2  32267  pjssposi  32801  hstle1  32855  hst1h  32856  hstle  32859  hstoh  32861  strlem3a  32881  receqid  33403  expevenpos  33493  cos9thpiminplylem1  34481  sqsscirc1  34607  hgt750lemf  35349  hgt750leme  35354  tgoldbachgtde  35356  sinccvglem  36603  itgabsnc  38798  dvasin  38813  areacirclem1  38817  areacirclem2  38818  areacirclem4  38820  areacirc  38822  cntotbnd  38921  rrnmet  38954  rrndstprj1  38955  rrndstprj2  38956  3lexlogpow2ineq2  43300  aks4d1p1p2  43311  aks4d1p1p4  43312  aks4d1p1p6  43314  aks4d1p1p7  43315  aks4d1p1p5  43316  aks4d1p1  43317  aks4d1p9  43329  aks6d1c3  43364  aks6d1c7lem1  43421  readvrec2  43603  3cubeslem1  43885  3cubeslem2  43886  pellexlem2  44028  pellexlem6  44032  pell14qrgt0  44057  pell1qrgaplem  44071  rmspecnonsq  44105  rmspecpos  44114  jm3.1lem2  44216  sqrtcval  44831  sqrlearg  46768  dvdivbd  47136  stirlinglem10  47296  fourierdlem56  47375  fourierdlem57  47376  rrxtopnfi  47500  rrndistlt  47503  hoiqssbllem2  47836  smfmullem1  48004  requad01  48922  requad1  48923  requad2  48924  resum2sqcl  50021  resum2sqgt0  50022  2sphere  50064  itsclc0lem3  50073  itscnhlc0yqe  50074  itsclc0yqsollem2  50078  itsclc0yqsol  50079  itscnhlc0xyqsol  50080  itschlc0xyqsol1  50081  itsclquadb  50091  2itscp  50096  itscnhlinecirc02plem1  50097  itscnhlinecirc02plem3  50099  itscnhlinecirc02p  50100  veronesefvcl  51250  veronesev1lem  51251  veronesev2lem  51252  veronesev3lem  51253  veroquadgsumlem  51261