Theorem resqcld 14040

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  2c2 12217  ↑cexp 13977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-seq 13917  df-exp 13978

This theorem is referenced by:  zzlesq  14120  cjmulge0  15043  01sqrexlem1  15139  01sqrexlem6  15144  01sqrexlem7  15145  absrele  15205  abstri  15227  amgm2  15266  sinbnd  16073  cosbnd  16074  cos01bnd  16079  cos01gt0  16084  absefi  16089  pythagtriplem10  16703  pockthg  16789  prmreclem1  16799  4sqlem12  16839  4sqlem15  16842  4sqlem16  16843  prmlem1  16991  prmlem2  17003  cphnmf  24596  reipcl  24598  ipcau2  24635  csbren  24800  trirn  24801  rrxmval  24806  rrxmet  24809  rrxdstprj1  24810  rrxdsfi  24812  ehl1eudis  24821  ehl2eudis  24823  minveclem2  24827  minveclem3b  24829  minveclem3  24830  minveclem4  24833  minveclem6  24835  minveclem7  24836  pjthlem1  24838  itgabs  25236  dveflem  25380  tangtx  25899  tanregt0  25932  cxpsqrt  26095  lawcoslem1  26202  birthdaylem3  26340  cxp2limlem  26362  basellem8  26474  bposlem6  26674  2sqblem  26816  2sqmod  26821  2sqreulem1  26831  2sqreunnlem1  26834  rplogsumlem2  26870  logdivsum  26918  mulog2sumlem1  26919  mulog2sumlem2  26920  vmalogdivsum2  26923  log2sumbnd  26929  selberglem2  26931  logdivbnd  26941  pntpbnd1a  26970  pntlemb  26982  pntlemr  26987  pntlemk  26991  pntlemo  26992  eqeelen  27916  brbtwn2  27917  colinearalglem4  27921  axcgrid  27928  axsegconlem2  27930  axsegconlem3  27931  axsegconlem9  27937  ax5seglem1  27940  ax5seglem2  27941  ax5seglem3  27943  ax5seg  27950  ipval2lem2  29709  minvecolem2  29880  minvecolem3  29881  minvecolem4  29885  minvecolem5  29886  minvecolem6  29887  minvecolem7  29888  normpyc  30151  pjhthlem1  30396  chscllem2  30643  pjssposi  31177  hstle1  31231  hst1h  31232  hstle  31235  hstoh  31237  strlem3a  31257  sqsscirc1  32578  hgt750lemf  33355  hgt750leme  33360  tgoldbachgtde  33362  sinccvglem  34347  itgabsnc  36220  dvasin  36235  areacirclem1  36239  areacirclem2  36240  areacirclem4  36242  areacirc  36244  cntotbnd  36328  rrnmet  36361  rrndstprj1  36362  rrndstprj2  36363  3lexlogpow2ineq2  40589  aks4d1p1p2  40600  aks4d1p1p4  40601  aks4d1p1p6  40603  aks4d1p1p7  40604  aks4d1p1p5  40605  aks4d1p1  40606  aks4d1p9  40618  3cubeslem1  41065  3cubeslem2  41066  pellexlem2  41211  pellexlem6  41215  pell14qrgt0  41240  pell1qrgaplem  41254  rmspecnonsq  41288  rmspecpos  41298  jm3.1lem2  41400  sqrtcval  42035  sqrlearg  43911  dvdivbd  44284  stirlinglem10  44444  fourierdlem56  44523  fourierdlem57  44524  rrxtopnfi  44648  rrndistlt  44651  hoiqssbllem2  44984  smfmullem1  45152  requad01  45933  requad1  45934  requad2  45935  resum2sqcl  46912  resum2sqgt0  46913  2sphere  46955  itsclc0lem3  46964  itscnhlc0yqe  46965  itsclc0yqsollem2  46969  itsclc0yqsol  46970  itscnhlc0xyqsol  46971  itschlc0xyqsol1  46972  itsclquadb  46982  2itscp  46987  itscnhlinecirc02plem1  46988  itscnhlinecirc02plem3  46990  itscnhlinecirc02p  46991