Theorem resqcld 13612

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 13491	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  2c2 11693  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  cjmulge0  14505  sqrlem1  14602  sqrlem6  14607  sqrlem7  14608  absrele  14668  abstri  14690  amgm2  14729  sinbnd  15533  cosbnd  15534  cos01bnd  15539  cos01gt0  15544  absefi  15549  pythagtriplem10  16157  pockthg  16242  prmreclem1  16252  4sqlem12  16292  4sqlem15  16295  4sqlem16  16296  prmlem1  16441  prmlem2  16453  cphnmf  23799  reipcl  23801  ipcau2  23837  csbren  24002  trirn  24003  rrxmval  24008  rrxmet  24011  rrxdstprj1  24012  rrxdsfi  24014  ehl1eudis  24023  ehl2eudis  24025  minveclem2  24029  minveclem3b  24031  minveclem3  24032  minveclem4  24035  minveclem6  24037  minveclem7  24038  pjthlem1  24040  itgabs  24435  dveflem  24576  tangtx  25091  tanregt0  25123  cxpsqrt  25286  lawcoslem1  25393  birthdaylem3  25531  cxp2limlem  25553  basellem8  25665  bposlem6  25865  2sqblem  26007  2sqmod  26012  2sqreulem1  26022  2sqreunnlem1  26025  rplogsumlem2  26061  logdivsum  26109  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  vmalogdivsum2  26114  log2sumbnd  26120  selberglem2  26122  logdivbnd  26132  pntpbnd1a  26161  pntlemb  26173  pntlemr  26178  pntlemk  26182  pntlemo  26183  eqeelen  26690  brbtwn2  26691  colinearalglem4  26695  axcgrid  26702  axsegconlem2  26704  axsegconlem3  26705  axsegconlem9  26711  ax5seglem1  26714  ax5seglem2  26715  ax5seglem3  26717  ax5seg  26724  ipval2lem2  28481  minvecolem2  28652  minvecolem3  28653  minvecolem4  28657  minvecolem5  28658  minvecolem6  28659  minvecolem7  28660  normpyc  28923  pjhthlem1  29168  chscllem2  29415  pjssposi  29949  hstle1  30003  hst1h  30004  hstle  30007  hstoh  30009  strlem3a  30029  sqsscirc1  31151  hgt750lemf  31924  hgt750leme  31929  tgoldbachgtde  31931  sinccvglem  32915  itgabsnc  34976  dvasin  34993  areacirclem1  34997  areacirclem2  34998  areacirclem4  35000  areacirc  35002  cntotbnd  35089  rrnmet  35122  rrndstprj1  35123  rrndstprj2  35124  3cubeslem1  39330  3cubeslem2  39331  pellexlem2  39476  pellexlem6  39480  pell14qrgt0  39505  pell1qrgaplem  39519  rmspecnonsq  39553  rmspecpos  39562  jm3.1lem2  39664  sqrlearg  41878  dvdivbd  42257  stirlinglem10  42417  fourierdlem56  42496  fourierdlem57  42497  rrxtopnfi  42621  rrndistlt  42624  hoiqssbllem2  42954  smfmullem1  43115  requad01  43835  requad1  43836  requad2  43837  resum2sqcl  44742  resum2sqgt0  44743  2sphere  44785  itsclc0lem3  44794  itscnhlc0yqe  44795  itsclc0yqsollem2  44799  itsclc0yqsol  44800  itscnhlc0xyqsol  44801  itschlc0xyqsol1  44802  itsclquadb  44812  2itscp  44817  itscnhlinecirc02plem1  44818  itscnhlinecirc02plem3  44820  itscnhlinecirc02p  44821