Theorem resqcld 14140

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  2c2 12274  ↑cexp 14076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-seq 14017  df-exp 14077

This theorem is referenced by:  zzlesq  14221  cjmulge0  15175  01sqrexlem1  15271  01sqrexlem6  15276  01sqrexlem7  15277  absrele  15337  abstri  15360  amgm2  15399  sinbnd  16214  cosbnd  16215  cos01bnd  16220  cos01gt0  16225  absefi  16230  pythagtriplem10  16858  pockthg  16944  prmreclem1  16954  4sqlem12  16994  4sqlem15  16997  4sqlem16  16998  prmlem1  17145  prmlem2  17158  cphnmf  25259  reipcl  25261  ipcau2  25298  csbren  25463  trirn  25464  rrxmval  25469  rrxmet  25472  rrxdstprj1  25473  rrxdsfi  25475  ehl1eudis  25484  ehl2eudis  25486  minveclem2  25490  minveclem3b  25492  minveclem3  25493  minveclem4  25496  minveclem6  25498  minveclem7  25499  pjthlem1  25501  itgabs  25899  dveflem  26043  tangtx  26572  tanregt0  26606  cxpsqrt  26770  lawcoslem1  26882  birthdaylem3  27020  cxp2limlem  27042  basellem8  27154  bposlem6  27355  2sqblem  27497  2sqmod  27502  2sqreulem1  27512  2sqreunnlem1  27515  rplogsumlem2  27551  logdivsum  27599  mulog2sumlem1  27600  mulog2sumlem2  27601  vmalogdivsum2  27604  log2sumbnd  27610  selberglem2  27612  logdivbnd  27622  pntpbnd1a  27651  pntlemb  27663  pntlemr  27668  pntlemk  27672  pntlemo  27673  eqeelen  29107  brbtwn2  29108  colinearalglem4  29112  axcgrid  29119  axsegconlem2  29121  axsegconlem3  29122  axsegconlem9  29128  ax5seglem1  29131  ax5seglem2  29132  ax5seglem3  29134  ax5seg  29141  ipval2lem2  30909  minvecolem2  31080  minvecolem3  31081  minvecolem4  31085  minvecolem5  31086  minvecolem6  31087  minvecolem7  31088  normpyc  31351  pjhthlem1  31596  chscllem2  31843  pjssposi  32377  hstle1  32431  hst1h  32432  hstle  32435  hstoh  32437  strlem3a  32457  receqid  32948  expevenpos  33039  cos9thpiminplylem1  34081  sqsscirc1  34207  hgt750lemf  34949  hgt750leme  34954  tgoldbachgtde  34956  sinccvglem  36027  itgabsnc  38193  dvasin  38208  areacirclem1  38212  areacirclem2  38213  areacirclem4  38215  areacirc  38217  cntotbnd  38300  rrnmet  38333  rrndstprj1  38334  rrndstprj2  38335  3lexlogpow2ineq2  42681  aks4d1p1p2  42692  aks4d1p1p4  42693  aks4d1p1p6  42695  aks4d1p1p7  42696  aks4d1p1p5  42697  aks4d1p1  42698  aks4d1p9  42710  aks6d1c3  42745  aks6d1c7lem1  42802  readvrec2  42975  3cubeslem1  43270  3cubeslem2  43271  pellexlem2  43412  pellexlem6  43416  pell14qrgt0  43441  pell1qrgaplem  43455  rmspecnonsq  43489  rmspecpos  43498  jm3.1lem2  43600  sqrtcval  44222  sqrlearg  46134  dvdivbd  46502  stirlinglem10  46662  fourierdlem56  46741  fourierdlem57  46742  rrxtopnfi  46866  rrndistlt  46869  hoiqssbllem2  47202  smfmullem1  47370  requad01  48248  requad1  48249  requad2  48250  resum2sqcl  49333  resum2sqgt0  49334  2sphere  49376  itsclc0lem3  49385  itscnhlc0yqe  49386  itsclc0yqsollem2  49390  itsclc0yqsol  49391  itscnhlc0xyqsol  49392  itschlc0xyqsol1  49393  itsclquadb  49403  2itscp  49408  itscnhlinecirc02plem1  49409  itscnhlinecirc02plem3  49411  itscnhlinecirc02p  49412