Theorem resqcld 13703

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 13582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7170  ℝcr 10614  2c2 11771  ↑cexp 13521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-seq 13461  df-exp 13522

This theorem is referenced by:  cjmulge0  14595  sqrlem1  14692  sqrlem6  14697  sqrlem7  14698  absrele  14758  abstri  14780  amgm2  14819  sinbnd  15625  cosbnd  15626  cos01bnd  15631  cos01gt0  15636  absefi  15641  pythagtriplem10  16257  pockthg  16342  prmreclem1  16352  4sqlem12  16392  4sqlem15  16395  4sqlem16  16396  prmlem1  16544  prmlem2  16556  cphnmf  23947  reipcl  23949  ipcau2  23986  csbren  24151  trirn  24152  rrxmval  24157  rrxmet  24160  rrxdstprj1  24161  rrxdsfi  24163  ehl1eudis  24172  ehl2eudis  24174  minveclem2  24178  minveclem3b  24180  minveclem3  24181  minveclem4  24184  minveclem6  24186  minveclem7  24187  pjthlem1  24189  itgabs  24587  dveflem  24731  tangtx  25250  tanregt0  25283  cxpsqrt  25446  lawcoslem1  25553  birthdaylem3  25691  cxp2limlem  25713  basellem8  25825  bposlem6  26025  2sqblem  26167  2sqmod  26172  2sqreulem1  26182  2sqreunnlem1  26185  rplogsumlem2  26221  logdivsum  26269  mulog2sumlem1  26270  mulog2sumlem2  26271  vmalogdivsum2  26274  log2sumbnd  26280  selberglem2  26282  logdivbnd  26292  pntpbnd1a  26321  pntlemb  26333  pntlemr  26338  pntlemk  26342  pntlemo  26343  eqeelen  26850  brbtwn2  26851  colinearalglem4  26855  axcgrid  26862  axsegconlem2  26864  axsegconlem3  26865  axsegconlem9  26871  ax5seglem1  26874  ax5seglem2  26875  ax5seglem3  26877  ax5seg  26884  ipval2lem2  28639  minvecolem2  28810  minvecolem3  28811  minvecolem4  28815  minvecolem5  28816  minvecolem6  28817  minvecolem7  28818  normpyc  29081  pjhthlem1  29326  chscllem2  29573  pjssposi  30107  hstle1  30161  hst1h  30162  hstle  30165  hstoh  30167  strlem3a  30187  sqsscirc1  31430  hgt750lemf  32203  hgt750leme  32208  tgoldbachgtde  32210  sinccvglem  33201  itgabsnc  35469  dvasin  35484  areacirclem1  35488  areacirclem2  35489  areacirclem4  35491  areacirc  35493  cntotbnd  35577  rrnmet  35610  rrndstprj1  35611  rrndstprj2  35612  3lexlogpow2ineq2  39687  aks4d1p1p2  39697  aks4d1p1p4  39698  aks4d1p1p6  39700  aks4d1p1p7  39701  aks4d1p1p5  39702  aks4d1p1  39703  3cubeslem1  40078  3cubeslem2  40079  pellexlem2  40224  pellexlem6  40228  pell14qrgt0  40253  pell1qrgaplem  40267  rmspecnonsq  40301  rmspecpos  40310  jm3.1lem2  40412  sqrtcval  40794  sqrlearg  42631  dvdivbd  43006  stirlinglem10  43166  fourierdlem56  43245  fourierdlem57  43246  rrxtopnfi  43370  rrndistlt  43373  hoiqssbllem2  43703  smfmullem1  43864  requad01  44607  requad1  44608  requad2  44609  resum2sqcl  45586  resum2sqgt0  45587  2sphere  45629  itsclc0lem3  45638  itscnhlc0yqe  45639  itsclc0yqsollem2  45643  itsclc0yqsol  45644  itscnhlc0xyqsol  45645  itschlc0xyqsol1  45646  itsclquadb  45656  2itscp  45661  itscnhlinecirc02plem1  45662  itscnhlinecirc02plem3  45664  itscnhlinecirc02p  45665