Theorem resqcld 14168

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  2c2 12301  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  zzlesq  14249  cjmulge0  15204  01sqrexlem1  15300  01sqrexlem6  15305  01sqrexlem7  15306  absrele  15366  abstri  15389  amgm2  15428  sinbnd  16242  cosbnd  16243  cos01bnd  16248  cos01gt0  16253  absefi  16258  pythagtriplem10  16886  pockthg  16972  prmreclem1  16982  4sqlem12  17022  4sqlem15  17025  4sqlem16  17026  prmlem1  17173  prmlem2  17186  cphnmf  25365  reipcl  25367  ipcau2  25404  csbren  25569  trirn  25570  rrxmval  25575  rrxmet  25578  rrxdstprj1  25579  rrxdsfi  25581  ehl1eudis  25590  ehl2eudis  25592  minveclem2  25596  minveclem3b  25598  minveclem3  25599  minveclem4  25602  minveclem6  25604  minveclem7  25605  pjthlem1  25607  itgabs  26005  dveflem  26149  tangtx  26681  tanregt0  26715  cxpsqrt  26879  lawcoslem1  26991  birthdaylem3  27129  cxp2limlem  27151  basellem8  27263  bposlem6  27464  2sqblem  27606  2sqmod  27611  2sqreulem1  27621  2sqreunnlem1  27624  rplogsumlem2  27660  logdivsum  27708  mulog2sumlem1  27709  mulog2sumlem2  27710  vmalogdivsum2  27713  log2sumbnd  27719  selberglem2  27721  logdivbnd  27731  pntpbnd1a  27760  pntlemb  27772  pntlemr  27777  pntlemk  27781  pntlemo  27782  eqeelen  29265  brbtwn2  29266  colinearalglem4  29270  axcgrid  29277  axsegconlem2  29279  axsegconlem3  29280  axsegconlem9  29286  ax5seglem1  29289  ax5seglem2  29290  ax5seglem3  29292  ax5seg  29299  ipval2lem2  31067  minvecolem2  31238  minvecolem3  31239  minvecolem4  31243  minvecolem5  31244  minvecolem6  31245  minvecolem7  31246  normpyc  31509  pjhthlem1  31754  chscllem2  32001  pjssposi  32535  hstle1  32589  hst1h  32590  hstle  32593  hstoh  32595  strlem3a  32615  receqid  33100  expevenpos  33190  cos9thpiminplylem1  34181  sqsscirc1  34307  hgt750lemf  35049  hgt750leme  35054  tgoldbachgtde  35056  sinccvglem  36172  itgabsnc  38368  dvasin  38383  areacirclem1  38387  areacirclem2  38388  areacirclem4  38390  areacirc  38392  cntotbnd  38475  rrnmet  38508  rrndstprj1  38509  rrndstprj2  38510  3lexlogpow2ineq2  42854  aks4d1p1p2  42865  aks4d1p1p4  42866  aks4d1p1p6  42868  aks4d1p1p7  42869  aks4d1p1p5  42870  aks4d1p1  42871  aks4d1p9  42883  aks6d1c3  42918  aks6d1c7lem1  42975  readvrec2  43150  3cubeslem1  43443  3cubeslem2  43444  pellexlem2  43585  pellexlem6  43589  pell14qrgt0  43614  pell1qrgaplem  43628  rmspecnonsq  43662  rmspecpos  43671  jm3.1lem2  43773  sqrtcval  44395  sqrlearg  46297  dvdivbd  46665  stirlinglem10  46825  fourierdlem56  46904  fourierdlem57  46905  rrxtopnfi  47029  rrndistlt  47032  hoiqssbllem2  47365  smfmullem1  47533  requad01  48414  requad1  48415  requad2  48416  resum2sqcl  49514  resum2sqgt0  49515  2sphere  49557  itsclc0lem3  49566  itscnhlc0yqe  49567  itsclc0yqsollem2  49571  itsclc0yqsol  49572  itscnhlc0xyqsol  49573  itschlc0xyqsol1  49574  itsclquadb  49584  2itscp  49589  itscnhlinecirc02plem1  49590  itscnhlinecirc02plem3  49592  itscnhlinecirc02p  49593