Theorem resqcld 14052

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  2c2 12204  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-seq 13929  df-exp 13989

This theorem is referenced by:  zzlesq  14133  cjmulge0  15073  01sqrexlem1  15169  01sqrexlem6  15174  01sqrexlem7  15175  absrele  15235  abstri  15258  amgm2  15297  sinbnd  16109  cosbnd  16110  cos01bnd  16115  cos01gt0  16120  absefi  16125  pythagtriplem10  16752  pockthg  16838  prmreclem1  16848  4sqlem12  16888  4sqlem15  16891  4sqlem16  16892  prmlem1  17039  prmlem2  17051  cphnmf  25155  reipcl  25157  ipcau2  25194  csbren  25359  trirn  25360  rrxmval  25365  rrxmet  25368  rrxdstprj1  25369  rrxdsfi  25371  ehl1eudis  25380  ehl2eudis  25382  minveclem2  25386  minveclem3b  25388  minveclem3  25389  minveclem4  25392  minveclem6  25394  minveclem7  25395  pjthlem1  25397  itgabs  25796  dveflem  25943  tangtx  26474  tanregt0  26508  cxpsqrt  26672  lawcoslem1  26785  birthdaylem3  26923  cxp2limlem  26946  basellem8  27058  bposlem6  27260  2sqblem  27402  2sqmod  27407  2sqreulem1  27417  2sqreunnlem1  27420  rplogsumlem2  27456  logdivsum  27504  mulog2sumlem1  27505  mulog2sumlem2  27506  vmalogdivsum2  27509  log2sumbnd  27515  selberglem2  27517  logdivbnd  27527  pntpbnd1a  27556  pntlemb  27568  pntlemr  27573  pntlemk  27577  pntlemo  27578  eqeelen  28981  brbtwn2  28982  colinearalglem4  28986  axcgrid  28993  axsegconlem2  28995  axsegconlem3  28996  axsegconlem9  29002  ax5seglem1  29005  ax5seglem2  29006  ax5seglem3  29008  ax5seg  29015  ipval2lem2  30783  minvecolem2  30954  minvecolem3  30955  minvecolem4  30959  minvecolem5  30960  minvecolem6  30961  minvecolem7  30962  normpyc  31225  pjhthlem1  31470  chscllem2  31717  pjssposi  32251  hstle1  32305  hst1h  32306  hstle  32309  hstoh  32311  strlem3a  32331  receqid  32826  expevenpos  32929  cos9thpiminplylem1  33941  sqsscirc1  34067  hgt750lemf  34812  hgt750leme  34817  tgoldbachgtde  34819  sinccvglem  35868  itgabsnc  37892  dvasin  37907  areacirclem1  37911  areacirclem2  37912  areacirclem4  37914  areacirc  37916  cntotbnd  37999  rrnmet  38032  rrndstprj1  38033  rrndstprj2  38034  3lexlogpow2ineq2  42381  aks4d1p1p2  42392  aks4d1p1p4  42393  aks4d1p1p6  42395  aks4d1p1p7  42396  aks4d1p1p5  42397  aks4d1p1  42398  aks4d1p9  42410  aks6d1c3  42445  aks6d1c7lem1  42502  readvrec2  42683  3cubeslem1  42993  3cubeslem2  42994  pellexlem2  43139  pellexlem6  43143  pell14qrgt0  43168  pell1qrgaplem  43182  rmspecnonsq  43216  rmspecpos  43225  jm3.1lem2  43327  sqrtcval  43949  sqrlearg  45866  dvdivbd  46234  stirlinglem10  46394  fourierdlem56  46473  fourierdlem57  46474  rrxtopnfi  46598  rrndistlt  46601  hoiqssbllem2  46934  smfmullem1  47102  requad01  47934  requad1  47935  requad2  47936  resum2sqcl  49019  resum2sqgt0  49020  2sphere  49062  itsclc0lem3  49071  itscnhlc0yqe  49072  itsclc0yqsollem2  49076  itsclc0yqsol  49077  itscnhlc0xyqsol  49078  itschlc0xyqsol1  49079  itsclquadb  49089  2itscp  49094  itscnhlinecirc02plem1  49095  itscnhlinecirc02plem3  49097  itscnhlinecirc02p  49098