MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqcld 13595
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqcl 13474 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7130  cr 10513  2c2 11670  cexp 13413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-exp 13414
This theorem is referenced by:  cjmulge0  14484  sqrlem1  14581  sqrlem6  14586  sqrlem7  14587  absrele  14647  abstri  14669  amgm2  14708  sinbnd  15512  cosbnd  15513  cos01bnd  15518  cos01gt0  15523  absefi  15528  pythagtriplem10  16134  pockthg  16219  prmreclem1  16229  4sqlem12  16269  4sqlem15  16272  4sqlem16  16273  prmlem1  16419  prmlem2  16431  cphnmf  23778  reipcl  23780  ipcau2  23816  csbren  23981  trirn  23982  rrxmval  23987  rrxmet  23990  rrxdstprj1  23991  rrxdsfi  23993  ehl1eudis  24002  ehl2eudis  24004  minveclem2  24008  minveclem3b  24010  minveclem3  24011  minveclem4  24014  minveclem6  24016  minveclem7  24017  pjthlem1  24019  itgabs  24416  dveflem  24560  tangtx  25076  tanregt0  25109  cxpsqrt  25272  lawcoslem1  25379  birthdaylem3  25517  cxp2limlem  25539  basellem8  25651  bposlem6  25851  2sqblem  25993  2sqmod  25998  2sqreulem1  26008  2sqreunnlem1  26011  rplogsumlem2  26047  logdivsum  26095  mulog2sumlem1  26096  mulog2sumlem2  26097  vmalogdivsum2  26100  log2sumbnd  26106  selberglem2  26108  logdivbnd  26118  pntpbnd1a  26147  pntlemb  26159  pntlemr  26164  pntlemk  26168  pntlemo  26169  eqeelen  26676  brbtwn2  26677  colinearalglem4  26681  axcgrid  26688  axsegconlem2  26690  axsegconlem3  26691  axsegconlem9  26697  ax5seglem1  26700  ax5seglem2  26701  ax5seglem3  26703  ax5seg  26710  ipval2lem2  28465  minvecolem2  28636  minvecolem3  28637  minvecolem4  28641  minvecolem5  28642  minvecolem6  28643  minvecolem7  28644  normpyc  28907  pjhthlem1  29152  chscllem2  29399  pjssposi  29933  hstle1  29987  hst1h  29988  hstle  29991  hstoh  29993  strlem3a  30013  sqsscirc1  31158  hgt750lemf  31931  hgt750leme  31936  tgoldbachgtde  31938  sinccvglem  32922  itgabsnc  35006  dvasin  35021  areacirclem1  35025  areacirclem2  35026  areacirclem4  35028  areacirc  35030  cntotbnd  35114  rrnmet  35147  rrndstprj1  35148  rrndstprj2  35149  3cubeslem1  39422  3cubeslem2  39423  pellexlem2  39568  pellexlem6  39572  pell14qrgt0  39597  pell1qrgaplem  39611  rmspecnonsq  39645  rmspecpos  39654  jm3.1lem2  39756  sqrlearg  41983  dvdivbd  42358  stirlinglem10  42518  fourierdlem56  42597  fourierdlem57  42598  rrxtopnfi  42722  rrndistlt  42725  hoiqssbllem2  43055  smfmullem1  43216  requad01  43933  requad1  43934  requad2  43935  resum2sqcl  44882  resum2sqgt0  44883  2sphere  44925  itsclc0lem3  44934  itscnhlc0yqe  44935  itsclc0yqsollem2  44939  itsclc0yqsol  44940  itscnhlc0xyqsol  44941  itschlc0xyqsol1  44942  itsclquadb  44952  2itscp  44957  itscnhlinecirc02plem1  44958  itscnhlinecirc02plem3  44960  itscnhlinecirc02p  44961
  Copyright terms: Public domain W3C validator