Theorem resqcld 14175

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  2c2 12348  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  zzlesq  14255  cjmulge0  15195  01sqrexlem1  15291  01sqrexlem6  15296  01sqrexlem7  15297  absrele  15357  abstri  15379  amgm2  15418  sinbnd  16228  cosbnd  16229  cos01bnd  16234  cos01gt0  16239  absefi  16244  pythagtriplem10  16867  pockthg  16953  prmreclem1  16963  4sqlem12  17003  4sqlem15  17006  4sqlem16  17007  prmlem1  17155  prmlem2  17167  cphnmf  25248  reipcl  25250  ipcau2  25287  csbren  25452  trirn  25453  rrxmval  25458  rrxmet  25461  rrxdstprj1  25462  rrxdsfi  25464  ehl1eudis  25473  ehl2eudis  25475  minveclem2  25479  minveclem3b  25481  minveclem3  25482  minveclem4  25485  minveclem6  25487  minveclem7  25488  pjthlem1  25490  itgabs  25890  dveflem  26037  tangtx  26565  tanregt0  26599  cxpsqrt  26763  lawcoslem1  26876  birthdaylem3  27014  cxp2limlem  27037  basellem8  27149  bposlem6  27351  2sqblem  27493  2sqmod  27498  2sqreulem1  27508  2sqreunnlem1  27511  rplogsumlem2  27547  logdivsum  27595  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  vmalogdivsum2  27600  log2sumbnd  27606  selberglem2  27608  logdivbnd  27618  pntpbnd1a  27647  pntlemb  27659  pntlemr  27664  pntlemk  27668  pntlemo  27669  eqeelen  28937  brbtwn2  28938  colinearalglem4  28942  axcgrid  28949  axsegconlem2  28951  axsegconlem3  28952  axsegconlem9  28958  ax5seglem1  28961  ax5seglem2  28962  ax5seglem3  28964  ax5seg  28971  ipval2lem2  30736  minvecolem2  30907  minvecolem3  30908  minvecolem4  30912  minvecolem5  30913  minvecolem6  30914  minvecolem7  30915  normpyc  31178  pjhthlem1  31423  chscllem2  31670  pjssposi  32204  hstle1  32258  hst1h  32259  hstle  32262  hstoh  32264  strlem3a  32284  sqsscirc1  33854  hgt750lemf  34630  hgt750leme  34635  tgoldbachgtde  34637  sinccvglem  35640  itgabsnc  37649  dvasin  37664  areacirclem1  37668  areacirclem2  37669  areacirclem4  37671  areacirc  37673  cntotbnd  37756  rrnmet  37789  rrndstprj1  37790  rrndstprj2  37791  3lexlogpow2ineq2  42016  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p9  42045  aks6d1c3  42080  aks6d1c7lem1  42137  3cubeslem1  42640  3cubeslem2  42641  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  pell14qrgt0  42815  pell1qrgaplem  42829  rmspecnonsq  42863  rmspecpos  42873  jm3.1lem2  42975  sqrtcval  43603  sqrlearg  45471  dvdivbd  45844  stirlinglem10  46004  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  rrxtopnfi  46208  rrndistlt  46211  hoiqssbllem2  46544  smfmullem1  46712  requad01  47495  requad1  47496  requad2  47497  resum2sqcl  48440  resum2sqgt0  48441  2sphere  48483  itsclc0lem3  48492  itscnhlc0yqe  48493  itsclc0yqsollem2  48497  itsclc0yqsol  48498  itscnhlc0xyqsol  48499  itschlc0xyqsol1  48500  itsclquadb  48510  2itscp  48515  itscnhlinecirc02plem1  48516  itscnhlinecirc02plem3  48518  itscnhlinecirc02p  48519