Theorem resqcld 14143

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  2c2 12295  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  zzlesq  14224  cjmulge0  15165  01sqrexlem1  15261  01sqrexlem6  15266  01sqrexlem7  15267  absrele  15327  abstri  15349  amgm2  15388  sinbnd  16198  cosbnd  16199  cos01bnd  16204  cos01gt0  16209  absefi  16214  pythagtriplem10  16840  pockthg  16926  prmreclem1  16936  4sqlem12  16976  4sqlem15  16979  4sqlem16  16980  prmlem1  17127  prmlem2  17139  cphnmf  25147  reipcl  25149  ipcau2  25186  csbren  25351  trirn  25352  rrxmval  25357  rrxmet  25360  rrxdstprj1  25361  rrxdsfi  25363  ehl1eudis  25372  ehl2eudis  25374  minveclem2  25378  minveclem3b  25380  minveclem3  25381  minveclem4  25384  minveclem6  25386  minveclem7  25387  pjthlem1  25389  itgabs  25788  dveflem  25935  tangtx  26466  tanregt0  26500  cxpsqrt  26664  lawcoslem1  26777  birthdaylem3  26915  cxp2limlem  26938  basellem8  27050  bposlem6  27252  2sqblem  27394  2sqmod  27399  2sqreulem1  27409  2sqreunnlem1  27412  rplogsumlem2  27448  logdivsum  27496  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  log2sumbnd  27507  selberglem2  27509  logdivbnd  27519  pntpbnd1a  27548  pntlemb  27560  pntlemr  27565  pntlemk  27569  pntlemo  27570  eqeelen  28883  brbtwn2  28884  colinearalglem4  28888  axcgrid  28895  axsegconlem2  28897  axsegconlem3  28898  axsegconlem9  28904  ax5seglem1  28907  ax5seglem2  28908  ax5seglem3  28910  ax5seg  28917  ipval2lem2  30685  minvecolem2  30856  minvecolem3  30857  minvecolem4  30861  minvecolem5  30862  minvecolem6  30863  minvecolem7  30864  normpyc  31127  pjhthlem1  31372  chscllem2  31619  pjssposi  32153  hstle1  32207  hst1h  32208  hstle  32211  hstoh  32213  strlem3a  32233  receqid  32722  expevenpos  32825  cos9thpiminplylem1  33816  sqsscirc1  33939  hgt750lemf  34685  hgt750leme  34690  tgoldbachgtde  34692  sinccvglem  35694  itgabsnc  37713  dvasin  37728  areacirclem1  37732  areacirclem2  37733  areacirclem4  37735  areacirc  37737  cntotbnd  37820  rrnmet  37853  rrndstprj1  37854  rrndstprj2  37855  3lexlogpow2ineq2  42072  aks4d1p1p2  42083  aks4d1p1p4  42084  aks4d1p1p6  42086  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p1p5  42088  aks4d1p1  42089  aks4d1p9  42101  aks6d1c3  42136  aks6d1c7lem1  42193  readvrec2  42404  3cubeslem1  42707  3cubeslem2  42708  pellexlem2  42853  pellexlem6  42857  pell14qrgt0  42882  pell1qrgaplem  42896  rmspecnonsq  42930  rmspecpos  42940  jm3.1lem2  43042  sqrtcval  43665  sqrlearg  45582  dvdivbd  45952  stirlinglem10  46112  fourierdlem56  46191  fourierdlem57  46192  rrxtopnfi  46316  rrndistlt  46319  hoiqssbllem2  46652  smfmullem1  46820  requad01  47635  requad1  47636  requad2  47637  resum2sqcl  48686  resum2sqgt0  48687  2sphere  48729  itsclc0lem3  48738  itscnhlc0yqe  48739  itsclc0yqsollem2  48743  itsclc0yqsol  48744  itscnhlc0xyqsol  48745  itschlc0xyqsol1  48746  itsclquadb  48756  2itscp  48761  itscnhlinecirc02plem1  48762  itscnhlinecirc02plem3  48764  itscnhlinecirc02p  48765