Theorem resqcld 14161

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  2c2 12318  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  zzlesq  14241  cjmulge0  15181  01sqrexlem1  15277  01sqrexlem6  15282  01sqrexlem7  15283  absrele  15343  abstri  15365  amgm2  15404  sinbnd  16212  cosbnd  16213  cos01bnd  16218  cos01gt0  16223  absefi  16228  pythagtriplem10  16853  pockthg  16939  prmreclem1  16949  4sqlem12  16989  4sqlem15  16992  4sqlem16  16993  prmlem1  17141  prmlem2  17153  cphnmf  25242  reipcl  25244  ipcau2  25281  csbren  25446  trirn  25447  rrxmval  25452  rrxmet  25455  rrxdstprj1  25456  rrxdsfi  25458  ehl1eudis  25467  ehl2eudis  25469  minveclem2  25473  minveclem3b  25475  minveclem3  25476  minveclem4  25479  minveclem6  25481  minveclem7  25482  pjthlem1  25484  itgabs  25884  dveflem  26031  tangtx  26561  tanregt0  26595  cxpsqrt  26759  lawcoslem1  26872  birthdaylem3  27010  cxp2limlem  27033  basellem8  27145  bposlem6  27347  2sqblem  27489  2sqmod  27494  2sqreulem1  27504  2sqreunnlem1  27507  rplogsumlem2  27543  logdivsum  27591  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  vmalogdivsum2  27596  log2sumbnd  27602  selberglem2  27604  logdivbnd  27614  pntpbnd1a  27643  pntlemb  27655  pntlemr  27660  pntlemk  27664  pntlemo  27665  eqeelen  28933  brbtwn2  28934  colinearalglem4  28938  axcgrid  28945  axsegconlem2  28947  axsegconlem3  28948  axsegconlem9  28954  ax5seglem1  28957  ax5seglem2  28958  ax5seglem3  28960  ax5seg  28967  ipval2lem2  30732  minvecolem2  30903  minvecolem3  30904  minvecolem4  30908  minvecolem5  30909  minvecolem6  30910  minvecolem7  30911  normpyc  31174  pjhthlem1  31419  chscllem2  31666  pjssposi  32200  hstle1  32254  hst1h  32255  hstle  32258  hstoh  32260  strlem3a  32280  sqsscirc1  33868  hgt750lemf  34646  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  sinccvglem  35656  itgabsnc  37675  dvasin  37690  areacirclem1  37694  areacirclem2  37695  areacirclem4  37697  areacirc  37699  cntotbnd  37782  rrnmet  37815  rrndstprj1  37816  rrndstprj2  37817  3lexlogpow2ineq2  42040  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p1  42057  aks4d1p9  42069  aks6d1c3  42104  aks6d1c7lem1  42161  readvrec2  42369  3cubeslem1  42671  3cubeslem2  42672  pellexlem2  42817  pellexlem6  42821  pell14qrgt0  42846  pell1qrgaplem  42860  rmspecnonsq  42894  rmspecpos  42904  jm3.1lem2  43006  sqrtcval  43630  sqrlearg  45505  dvdivbd  45878  stirlinglem10  46038  fourierdlem56  46117  fourierdlem57  46118  rrxtopnfi  46242  rrndistlt  46245  hoiqssbllem2  46578  smfmullem1  46746  requad01  47545  requad1  47546  requad2  47547  resum2sqcl  48555  resum2sqgt0  48556  2sphere  48598  itsclc0lem3  48607  itscnhlc0yqe  48608  itsclc0yqsollem2  48612  itsclc0yqsol  48613  itscnhlc0xyqsol  48614  itschlc0xyqsol1  48615  itsclquadb  48625  2itscp  48630  itscnhlinecirc02plem1  48631  itscnhlinecirc02plem3  48633  itscnhlinecirc02p  48634