Theorem resqcld 14068

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14067	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11045  2c2 12219  ↑cexp 14004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13945  df-exp 14005

This theorem is referenced by:  zzlesq  14149  cjmulge0  15089  01sqrexlem1  15185  01sqrexlem6  15190  01sqrexlem7  15191  absrele  15251  abstri  15274  amgm2  15313  sinbnd  16125  cosbnd  16126  cos01bnd  16131  cos01gt0  16136  absefi  16141  pythagtriplem10  16768  pockthg  16854  prmreclem1  16864  4sqlem12  16904  4sqlem15  16907  4sqlem16  16908  prmlem1  17055  prmlem2  17067  cphnmf  25129  reipcl  25131  ipcau2  25168  csbren  25333  trirn  25334  rrxmval  25339  rrxmet  25342  rrxdstprj1  25343  rrxdsfi  25345  ehl1eudis  25354  ehl2eudis  25356  minveclem2  25360  minveclem3b  25362  minveclem3  25363  minveclem4  25366  minveclem6  25368  minveclem7  25369  pjthlem1  25371  itgabs  25770  dveflem  25917  tangtx  26448  tanregt0  26482  cxpsqrt  26646  lawcoslem1  26759  birthdaylem3  26897  cxp2limlem  26920  basellem8  27032  bposlem6  27234  2sqblem  27376  2sqmod  27381  2sqreulem1  27391  2sqreunnlem1  27394  rplogsumlem2  27430  logdivsum  27478  mulog2sumlem1  27479  mulog2sumlem2  27480  vmalogdivsum2  27483  log2sumbnd  27489  selberglem2  27491  logdivbnd  27501  pntpbnd1a  27530  pntlemb  27542  pntlemr  27547  pntlemk  27551  pntlemo  27552  eqeelen  28885  brbtwn2  28886  colinearalglem4  28890  axcgrid  28897  axsegconlem2  28899  axsegconlem3  28900  axsegconlem9  28906  ax5seglem1  28909  ax5seglem2  28910  ax5seglem3  28912  ax5seg  28919  ipval2lem2  30684  minvecolem2  30855  minvecolem3  30856  minvecolem4  30860  minvecolem5  30861  minvecolem6  30862  minvecolem7  30863  normpyc  31126  pjhthlem1  31371  chscllem2  31618  pjssposi  32152  hstle1  32206  hst1h  32207  hstle  32210  hstoh  32212  strlem3a  32232  receqid  32719  expevenpos  32822  cos9thpiminplylem1  33766  sqsscirc1  33892  hgt750lemf  34638  hgt750leme  34643  tgoldbachgtde  34645  sinccvglem  35653  itgabsnc  37677  dvasin  37692  areacirclem1  37696  areacirclem2  37697  areacirclem4  37699  areacirc  37701  cntotbnd  37784  rrnmet  37817  rrndstprj1  37818  rrndstprj2  37819  3lexlogpow2ineq2  42041  aks4d1p1p2  42052  aks4d1p1p4  42053  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  aks4d1p1  42058  aks4d1p9  42070  aks6d1c3  42105  aks6d1c7lem1  42162  readvrec2  42343  3cubeslem1  42666  3cubeslem2  42667  pellexlem2  42812  pellexlem6  42816  pell14qrgt0  42841  pell1qrgaplem  42855  rmspecnonsq  42889  rmspecpos  42899  jm3.1lem2  43001  sqrtcval  43624  sqrlearg  45545  dvdivbd  45915  stirlinglem10  46075  fourierdlem56  46154  fourierdlem57  46155  rrxtopnfi  46279  rrndistlt  46282  hoiqssbllem2  46615  smfmullem1  46783  requad01  47616  requad1  47617  requad2  47618  resum2sqcl  48689  resum2sqgt0  48690  2sphere  48732  itsclc0lem3  48741  itscnhlc0yqe  48742  itsclc0yqsollem2  48746  itsclc0yqsol  48747  itscnhlc0xyqsol  48748  itschlc0xyqsol1  48749  itsclquadb  48759  2itscp  48764  itscnhlinecirc02plem1  48765  itscnhlinecirc02plem3  48767  itscnhlinecirc02p  48768