Theorem resqcld 14066

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14065	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  2c2 12217  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  zzlesq  14147  cjmulge0  15088  01sqrexlem1  15184  01sqrexlem6  15189  01sqrexlem7  15190  absrele  15250  abstri  15273  amgm2  15312  sinbnd  16124  cosbnd  16125  cos01bnd  16130  cos01gt0  16135  absefi  16140  pythagtriplem10  16767  pockthg  16853  prmreclem1  16863  4sqlem12  16903  4sqlem15  16906  4sqlem16  16907  prmlem1  17054  prmlem2  17066  cphnmf  25128  reipcl  25130  ipcau2  25167  csbren  25332  trirn  25333  rrxmval  25338  rrxmet  25341  rrxdstprj1  25342  rrxdsfi  25344  ehl1eudis  25353  ehl2eudis  25355  minveclem2  25359  minveclem3b  25361  minveclem3  25362  minveclem4  25365  minveclem6  25367  minveclem7  25368  pjthlem1  25370  itgabs  25769  dveflem  25916  tangtx  26447  tanregt0  26481  cxpsqrt  26645  lawcoslem1  26758  birthdaylem3  26896  cxp2limlem  26919  basellem8  27031  bposlem6  27233  2sqblem  27375  2sqmod  27380  2sqreulem1  27390  2sqreunnlem1  27393  rplogsumlem2  27429  logdivsum  27477  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  vmalogdivsum2  27482  log2sumbnd  27488  selberglem2  27490  logdivbnd  27500  pntpbnd1a  27529  pntlemb  27541  pntlemr  27546  pntlemk  27550  pntlemo  27551  eqeelen  28884  brbtwn2  28885  colinearalglem4  28889  axcgrid  28896  axsegconlem2  28898  axsegconlem3  28899  axsegconlem9  28905  ax5seglem1  28908  ax5seglem2  28909  ax5seglem3  28911  ax5seg  28918  ipval2lem2  30683  minvecolem2  30854  minvecolem3  30855  minvecolem4  30859  minvecolem5  30860  minvecolem6  30861  minvecolem7  30862  normpyc  31125  pjhthlem1  31370  chscllem2  31617  pjssposi  32151  hstle1  32205  hst1h  32206  hstle  32209  hstoh  32211  strlem3a  32231  receqid  32718  expevenpos  32821  cos9thpiminplylem1  33765  sqsscirc1  33891  hgt750lemf  34637  hgt750leme  34642  tgoldbachgtde  34644  sinccvglem  35652  itgabsnc  37676  dvasin  37691  areacirclem1  37695  areacirclem2  37696  areacirclem4  37698  areacirc  37700  cntotbnd  37783  rrnmet  37816  rrndstprj1  37817  rrndstprj2  37818  3lexlogpow2ineq2  42040  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p1  42057  aks4d1p9  42069  aks6d1c3  42104  aks6d1c7lem1  42161  readvrec2  42342  3cubeslem1  42665  3cubeslem2  42666  pellexlem2  42811  pellexlem6  42815  pell14qrgt0  42840  pell1qrgaplem  42854  rmspecnonsq  42888  rmspecpos  42898  jm3.1lem2  43000  sqrtcval  43623  sqrlearg  45544  dvdivbd  45914  stirlinglem10  46074  fourierdlem56  46153  fourierdlem57  46154  rrxtopnfi  46278  rrndistlt  46281  hoiqssbllem2  46614  smfmullem1  46782  requad01  47615  requad1  47616  requad2  47617  resum2sqcl  48688  resum2sqgt0  48689  2sphere  48731  itsclc0lem3  48740  itscnhlc0yqe  48741  itsclc0yqsollem2  48745  itsclc0yqsol  48746  itscnhlc0xyqsol  48747  itschlc0xyqsol1  48748  itsclquadb  48758  2itscp  48763  itscnhlinecirc02plem1  48764  itscnhlinecirc02plem3  48766  itscnhlinecirc02p  48767