Theorem resqcld 13356

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 13249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  2c2 11430  ↑cexp 13178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-seq 13120  df-exp 13179

This theorem is referenced by:  cjmulge0  14293  sqrlem1  14390  sqrlem6  14395  sqrlem7  14396  absrele  14455  abstri  14477  amgm2  14516  sinbnd  15312  cosbnd  15313  cos01bnd  15318  cos01gt0  15323  absefi  15328  pythagtriplem10  15929  pockthg  16014  prmreclem1  16024  4sqlem12  16064  4sqlem15  16067  4sqlem16  16068  prmlem1  16213  prmlem2  16225  cphnmf  23402  reipcl  23404  ipcau2  23440  csbren  23605  trirn  23606  rrxmval  23611  rrxmet  23614  rrxdstprj1  23615  rrxdsfi  23617  ehl1eudis  23626  ehl2eudis  23628  minveclem2  23632  minveclem3b  23634  minveclem3  23635  minveclem4  23638  minveclem6  23640  minveclem7  23641  pjthlem1  23643  itgabs  24038  dveflem  24179  tangtx  24695  tanregt0  24723  cxpsqrt  24886  lawcoslem1  24993  birthdaylem3  25132  cxp2limlem  25154  basellem8  25266  bposlem6  25466  2sqblem  25608  rplogsumlem2  25626  logdivsum  25674  mulog2sumlem1  25675  mulog2sumlem2  25676  vmalogdivsum2  25679  log2sumbnd  25685  selberglem2  25687  logdivbnd  25697  pntpbnd1a  25726  pntlemb  25738  pntlemr  25743  pntlemk  25747  pntlemo  25748  eqeelen  26253  brbtwn2  26254  colinearalglem4  26258  axcgrid  26265  axsegconlem2  26267  axsegconlem3  26268  axsegconlem9  26274  ax5seglem1  26277  ax5seglem2  26278  ax5seglem3  26280  ax5seg  26287  ipval2lem2  28131  minvecolem2  28303  minvecolem3  28304  minvecolem4  28308  minvecolem5  28309  minvecolem6  28310  minvecolem7  28311  normpyc  28575  pjhthlem1  28822  chscllem2  29069  pjssposi  29603  hstle1  29657  hst1h  29658  hstle  29661  hstoh  29663  strlem3a  29683  2sqmod  30210  sqsscirc1  30552  hgt750lemf  31333  hgt750leme  31338  tgoldbachgtde  31340  sinccvglem  32163  itgabsnc  34106  dvasin  34123  areacirclem1  34127  areacirclem2  34128  areacirclem4  34130  areacirc  34132  cntotbnd  34221  rrnmet  34254  rrndstprj1  34255  rrndstprj2  34256  pellexlem2  38358  pellexlem6  38362  pell14qrgt0  38387  pell1qrgaplem  38401  rmspecnonsq  38435  rmspecpos  38444  jm3.1lem2  38548  sqrlearg  40692  dvdivbd  41070  stirlinglem10  41231  fourierdlem56  41310  fourierdlem57  41311  rrxtopnfi  41435  rrndistlt  41438  hoiqssbllem2  41768  smfmullem1  41929  requad01  42563  requad1  42564  requad2  42565  resum2sqcl  43446  resum2sqgt0  43447  2sphere  43489  itsclc0lem3  43498  itscnhlc0yqe  43499  itsclc0yqsollem2  43503  itsclc0yqsol  43504  itscnhlc0xyqsol  43505  itschlc0xyqsol1  43506  itsclquadb  43516  2itscp  43521  itscnhlinecirc02plem1  43522  itscnhlinecirc02plem3  43524  itscnhlinecirc02p  43525