Theorem resqcld 14032

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14031	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  2c2 12180  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  zzlesq  14113  cjmulge0  15053  01sqrexlem1  15149  01sqrexlem6  15154  01sqrexlem7  15155  absrele  15215  abstri  15238  amgm2  15277  sinbnd  16089  cosbnd  16090  cos01bnd  16095  cos01gt0  16100  absefi  16105  pythagtriplem10  16732  pockthg  16818  prmreclem1  16828  4sqlem12  16868  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  prmlem1  17019  prmlem2  17031  cphnmf  25122  reipcl  25124  ipcau2  25161  csbren  25326  trirn  25327  rrxmval  25332  rrxmet  25335  rrxdstprj1  25336  rrxdsfi  25338  ehl1eudis  25347  ehl2eudis  25349  minveclem2  25353  minveclem3b  25355  minveclem3  25356  minveclem4  25359  minveclem6  25361  minveclem7  25362  pjthlem1  25364  itgabs  25763  dveflem  25910  tangtx  26441  tanregt0  26475  cxpsqrt  26639  lawcoslem1  26752  birthdaylem3  26890  cxp2limlem  26913  basellem8  27025  bposlem6  27227  2sqblem  27369  2sqmod  27374  2sqreulem1  27384  2sqreunnlem1  27387  rplogsumlem2  27423  logdivsum  27471  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  vmalogdivsum2  27476  log2sumbnd  27482  selberglem2  27484  logdivbnd  27494  pntpbnd1a  27523  pntlemb  27535  pntlemr  27540  pntlemk  27544  pntlemo  27545  eqeelen  28882  brbtwn2  28883  colinearalglem4  28887  axcgrid  28894  axsegconlem2  28896  axsegconlem3  28897  axsegconlem9  28903  ax5seglem1  28906  ax5seglem2  28907  ax5seglem3  28909  ax5seg  28916  ipval2lem2  30684  minvecolem2  30855  minvecolem3  30856  minvecolem4  30860  minvecolem5  30861  minvecolem6  30862  minvecolem7  30863  normpyc  31126  pjhthlem1  31371  chscllem2  31618  pjssposi  32152  hstle1  32206  hst1h  32207  hstle  32210  hstoh  32212  strlem3a  32232  receqid  32728  expevenpos  32829  cos9thpiminplylem1  33795  sqsscirc1  33921  hgt750lemf  34666  hgt750leme  34671  tgoldbachgtde  34673  sinccvglem  35716  itgabsnc  37728  dvasin  37743  areacirclem1  37747  areacirclem2  37748  areacirclem4  37750  areacirc  37752  cntotbnd  37835  rrnmet  37868  rrndstprj1  37869  rrndstprj2  37870  3lexlogpow2ineq2  42151  aks4d1p1p2  42162  aks4d1p1p4  42163  aks4d1p1p6  42165  aks4d1p1p7  42166  aks4d1p1p5  42167  aks4d1p1  42168  aks4d1p9  42180  aks6d1c3  42215  aks6d1c7lem1  42272  readvrec2  42453  3cubeslem1  42776  3cubeslem2  42777  pellexlem2  42922  pellexlem6  42926  pell14qrgt0  42951  pell1qrgaplem  42965  rmspecnonsq  42999  rmspecpos  43008  jm3.1lem2  43110  sqrtcval  43733  sqrlearg  45652  dvdivbd  46020  stirlinglem10  46180  fourierdlem56  46259  fourierdlem57  46260  rrxtopnfi  46384  rrndistlt  46387  hoiqssbllem2  46720  smfmullem1  46888  requad01  47720  requad1  47721  requad2  47722  resum2sqcl  48806  resum2sqgt0  48807  2sphere  48849  itsclc0lem3  48858  itscnhlc0yqe  48859  itsclc0yqsollem2  48863  itsclc0yqsol  48864  itscnhlc0xyqsol  48865  itschlc0xyqsol1  48866  itsclquadb  48876  2itscp  48881  itscnhlinecirc02plem1  48882  itscnhlinecirc02plem3  48884  itscnhlinecirc02p  48885