Theorem resqcld 14165

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  2c2 12321  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  zzlesq  14245  cjmulge0  15185  01sqrexlem1  15281  01sqrexlem6  15286  01sqrexlem7  15287  absrele  15347  abstri  15369  amgm2  15408  sinbnd  16216  cosbnd  16217  cos01bnd  16222  cos01gt0  16227  absefi  16232  pythagtriplem10  16858  pockthg  16944  prmreclem1  16954  4sqlem12  16994  4sqlem15  16997  4sqlem16  16998  prmlem1  17145  prmlem2  17157  cphnmf  25229  reipcl  25231  ipcau2  25268  csbren  25433  trirn  25434  rrxmval  25439  rrxmet  25442  rrxdstprj1  25443  rrxdsfi  25445  ehl1eudis  25454  ehl2eudis  25456  minveclem2  25460  minveclem3b  25462  minveclem3  25463  minveclem4  25466  minveclem6  25468  minveclem7  25469  pjthlem1  25471  itgabs  25870  dveflem  26017  tangtx  26547  tanregt0  26581  cxpsqrt  26745  lawcoslem1  26858  birthdaylem3  26996  cxp2limlem  27019  basellem8  27131  bposlem6  27333  2sqblem  27475  2sqmod  27480  2sqreulem1  27490  2sqreunnlem1  27493  rplogsumlem2  27529  logdivsum  27577  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  vmalogdivsum2  27582  log2sumbnd  27588  selberglem2  27590  logdivbnd  27600  pntpbnd1a  27629  pntlemb  27641  pntlemr  27646  pntlemk  27650  pntlemo  27651  eqeelen  28919  brbtwn2  28920  colinearalglem4  28924  axcgrid  28931  axsegconlem2  28933  axsegconlem3  28934  axsegconlem9  28940  ax5seglem1  28943  ax5seglem2  28944  ax5seglem3  28946  ax5seg  28953  ipval2lem2  30723  minvecolem2  30894  minvecolem3  30895  minvecolem4  30899  minvecolem5  30900  minvecolem6  30901  minvecolem7  30902  normpyc  31165  pjhthlem1  31410  chscllem2  31657  pjssposi  32191  hstle1  32245  hst1h  32246  hstle  32249  hstoh  32251  strlem3a  32271  sqsscirc1  33907  hgt750lemf  34668  hgt750leme  34673  tgoldbachgtde  34675  sinccvglem  35677  itgabsnc  37696  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirclem2  37716  areacirclem4  37718  areacirc  37720  cntotbnd  37803  rrnmet  37836  rrndstprj1  37837  rrndstprj2  37838  3lexlogpow2ineq2  42060  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p1  42077  aks4d1p9  42089  aks6d1c3  42124  aks6d1c7lem1  42181  readvrec2  42391  3cubeslem1  42695  3cubeslem2  42696  pellexlem2  42841  pellexlem6  42845  pell14qrgt0  42870  pell1qrgaplem  42884  rmspecnonsq  42918  rmspecpos  42928  jm3.1lem2  43030  sqrtcval  43654  sqrlearg  45566  dvdivbd  45938  stirlinglem10  46098  fourierdlem56  46177  fourierdlem57  46178  rrxtopnfi  46302  rrndistlt  46305  hoiqssbllem2  46638  smfmullem1  46806  requad01  47608  requad1  47609  requad2  47610  resum2sqcl  48627  resum2sqgt0  48628  2sphere  48670  itsclc0lem3  48679  itscnhlc0yqe  48680  itsclc0yqsollem2  48684  itsclc0yqsol  48685  itscnhlc0xyqsol  48686  itschlc0xyqsol1  48687  itsclquadb  48697  2itscp  48702  itscnhlinecirc02plem1  48703  itscnhlinecirc02plem3  48705  itscnhlinecirc02p  48706