Theorem resqcld 13607

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 13486	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  2c2 11680  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  cjmulge0  14497  sqrlem1  14594  sqrlem6  14599  sqrlem7  14600  absrele  14660  abstri  14682  amgm2  14721  sinbnd  15525  cosbnd  15526  cos01bnd  15531  cos01gt0  15536  absefi  15541  pythagtriplem10  16147  pockthg  16232  prmreclem1  16242  4sqlem12  16282  4sqlem15  16285  4sqlem16  16286  prmlem1  16433  prmlem2  16445  cphnmf  23800  reipcl  23802  ipcau2  23838  csbren  24003  trirn  24004  rrxmval  24009  rrxmet  24012  rrxdstprj1  24013  rrxdsfi  24015  ehl1eudis  24024  ehl2eudis  24026  minveclem2  24030  minveclem3b  24032  minveclem3  24033  minveclem4  24036  minveclem6  24038  minveclem7  24039  pjthlem1  24041  itgabs  24438  dveflem  24582  tangtx  25098  tanregt0  25131  cxpsqrt  25294  lawcoslem1  25401  birthdaylem3  25539  cxp2limlem  25561  basellem8  25673  bposlem6  25873  2sqblem  26015  2sqmod  26020  2sqreulem1  26030  2sqreunnlem1  26033  rplogsumlem2  26069  logdivsum  26117  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem2  26119  vmalogdivsum2  26122  log2sumbnd  26128  selberglem2  26130  logdivbnd  26140  pntpbnd1a  26169  pntlemb  26181  pntlemr  26186  pntlemk  26190  pntlemo  26191  eqeelen  26698  brbtwn2  26699  colinearalglem4  26703  axcgrid  26710  axsegconlem2  26712  axsegconlem3  26713  axsegconlem9  26719  ax5seglem1  26722  ax5seglem2  26723  ax5seglem3  26725  ax5seg  26732  ipval2lem2  28487  minvecolem2  28658  minvecolem3  28659  minvecolem4  28663  minvecolem5  28664  minvecolem6  28665  minvecolem7  28666  normpyc  28929  pjhthlem1  29174  chscllem2  29421  pjssposi  29955  hstle1  30009  hst1h  30010  hstle  30013  hstoh  30015  strlem3a  30035  sqsscirc1  31261  hgt750lemf  32034  hgt750leme  32039  tgoldbachgtde  32041  sinccvglem  33028  itgabsnc  35126  dvasin  35141  areacirclem1  35145  areacirclem2  35146  areacirclem4  35148  areacirc  35150  cntotbnd  35234  rrnmet  35267  rrndstprj1  35268  rrndstprj2  35269  3cubeslem1  39625  3cubeslem2  39626  pellexlem2  39771  pellexlem6  39775  pell14qrgt0  39800  pell1qrgaplem  39814  rmspecnonsq  39848  rmspecpos  39857  jm3.1lem2  39959  sqrtcval  40341  sqrlearg  42190  dvdivbd  42565  stirlinglem10  42725  fourierdlem56  42804  fourierdlem57  42805  rrxtopnfi  42929  rrndistlt  42932  hoiqssbllem2  43262  smfmullem1  43423  requad01  44139  requad1  44140  requad2  44141  resum2sqcl  45120  resum2sqgt0  45121  2sphere  45163  itsclc0lem3  45172  itscnhlc0yqe  45173  itsclc0yqsollem2  45177  itsclc0yqsol  45178  itscnhlc0xyqsol  45179  itschlc0xyqsol1  45180  itsclquadb  45190  2itscp  45195  itscnhlinecirc02plem1  45196  itscnhlinecirc02plem3  45198  itscnhlinecirc02p  45199