Theorem resqcld 14161

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  2c2 12295  ↑cexp 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-seq 14038  df-exp 14098

This theorem is referenced by:  zzlesq  14242  cjmulge0  15197  01sqrexlem1  15293  01sqrexlem6  15298  01sqrexlem7  15299  absrele  15359  abstri  15382  amgm2  15421  sinbnd  16236  cosbnd  16237  cos01bnd  16242  cos01gt0  16247  absefi  16252  pythagtriplem10  16880  pockthg  16966  prmreclem1  16976  4sqlem12  17016  4sqlem15  17019  4sqlem16  17020  prmlem1  17167  prmlem2  17180  cphnmf  25323  reipcl  25325  ipcau2  25362  csbren  25527  trirn  25528  rrxmval  25533  rrxmet  25536  rrxdstprj1  25537  rrxdsfi  25539  ehl1eudis  25548  ehl2eudis  25550  minveclem2  25554  minveclem3b  25556  minveclem3  25557  minveclem4  25560  minveclem6  25562  minveclem7  25563  pjthlem1  25565  itgabs  25963  dveflem  26107  tangtx  26636  tanregt0  26670  cxpsqrt  26834  lawcoslem1  26946  birthdaylem3  27084  cxp2limlem  27106  basellem8  27218  bposlem6  27419  2sqblem  27561  2sqmod  27566  2sqreulem1  27576  2sqreunnlem1  27579  rplogsumlem2  27615  logdivsum  27663  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  vmalogdivsum2  27668  log2sumbnd  27674  selberglem2  27676  logdivbnd  27686  pntpbnd1a  27715  pntlemb  27727  pntlemr  27732  pntlemk  27736  pntlemo  27737  eqeelen  29195  brbtwn2  29196  colinearalglem4  29200  axcgrid  29207  axsegconlem2  29209  axsegconlem3  29210  axsegconlem9  29216  ax5seglem1  29219  ax5seglem2  29220  ax5seglem3  29222  ax5seg  29229  ipval2lem2  30997  minvecolem2  31168  minvecolem3  31169  minvecolem4  31173  minvecolem5  31174  minvecolem6  31175  minvecolem7  31176  normpyc  31439  pjhthlem1  31684  chscllem2  31931  pjssposi  32465  hstle1  32519  hst1h  32520  hstle  32523  hstoh  32525  strlem3a  32545  receqid  33030  expevenpos  33120  cos9thpiminplylem1  34117  sqsscirc1  34243  hgt750lemf  34985  hgt750leme  34990  tgoldbachgtde  34992  sinccvglem  36097  itgabsnc  38263  dvasin  38278  areacirclem1  38282  areacirclem2  38283  areacirclem4  38285  areacirc  38287  cntotbnd  38370  rrnmet  38403  rrndstprj1  38404  rrndstprj2  38405  3lexlogpow2ineq2  42751  aks4d1p1p2  42762  aks4d1p1p4  42763  aks4d1p1p6  42765  aks4d1p1p7  42766  aks4d1p1p5  42767  aks4d1p1  42768  aks4d1p9  42780  aks6d1c3  42815  aks6d1c7lem1  42872  readvrec2  43047  3cubeslem1  43342  3cubeslem2  43343  pellexlem2  43484  pellexlem6  43488  pell14qrgt0  43513  pell1qrgaplem  43527  rmspecnonsq  43561  rmspecpos  43570  jm3.1lem2  43672  sqrtcval  44294  sqrlearg  46196  dvdivbd  46564  stirlinglem10  46724  fourierdlem56  46803  fourierdlem57  46804  rrxtopnfi  46928  rrndistlt  46931  hoiqssbllem2  47264  smfmullem1  47432  requad01  48310  requad1  48311  requad2  48312  resum2sqcl  49406  resum2sqgt0  49407  2sphere  49449  itsclc0lem3  49458  itscnhlc0yqe  49459  itsclc0yqsollem2  49463  itsclc0yqsol  49464  itscnhlc0xyqsol  49465  itschlc0xyqsol1  49466  itsclquadb  49476  2itscp  49481  itscnhlinecirc02plem1  49482  itscnhlinecirc02plem3  49484  itscnhlinecirc02p  49485