Theorem resqcld 13893

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 13772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  2c2 11958  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  cjmulge0  14785  sqrlem1  14882  sqrlem6  14887  sqrlem7  14888  absrele  14948  abstri  14970  amgm2  15009  sinbnd  15817  cosbnd  15818  cos01bnd  15823  cos01gt0  15828  absefi  15833  pythagtriplem10  16449  pockthg  16535  prmreclem1  16545  4sqlem12  16585  4sqlem15  16588  4sqlem16  16589  prmlem1  16737  prmlem2  16749  cphnmf  24264  reipcl  24266  ipcau2  24303  csbren  24468  trirn  24469  rrxmval  24474  rrxmet  24477  rrxdstprj1  24478  rrxdsfi  24480  ehl1eudis  24489  ehl2eudis  24491  minveclem2  24495  minveclem3b  24497  minveclem3  24498  minveclem4  24501  minveclem6  24503  minveclem7  24504  pjthlem1  24506  itgabs  24904  dveflem  25048  tangtx  25567  tanregt0  25600  cxpsqrt  25763  lawcoslem1  25870  birthdaylem3  26008  cxp2limlem  26030  basellem8  26142  bposlem6  26342  2sqblem  26484  2sqmod  26489  2sqreulem1  26499  2sqreunnlem1  26502  rplogsumlem2  26538  logdivsum  26586  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  vmalogdivsum2  26591  log2sumbnd  26597  selberglem2  26599  logdivbnd  26609  pntpbnd1a  26638  pntlemb  26650  pntlemr  26655  pntlemk  26659  pntlemo  26660  eqeelen  27175  brbtwn2  27176  colinearalglem4  27180  axcgrid  27187  axsegconlem2  27189  axsegconlem3  27190  axsegconlem9  27196  ax5seglem1  27199  ax5seglem2  27200  ax5seglem3  27202  ax5seg  27209  ipval2lem2  28967  minvecolem2  29138  minvecolem3  29139  minvecolem4  29143  minvecolem5  29144  minvecolem6  29145  minvecolem7  29146  normpyc  29409  pjhthlem1  29654  chscllem2  29901  pjssposi  30435  hstle1  30489  hst1h  30490  hstle  30493  hstoh  30495  strlem3a  30515  sqsscirc1  31760  hgt750lemf  32533  hgt750leme  32538  tgoldbachgtde  32540  sinccvglem  33530  itgabsnc  35773  dvasin  35788  areacirclem1  35792  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  areacirc  35797  cntotbnd  35881  rrnmet  35914  rrndstprj1  35915  rrndstprj2  35916  3lexlogpow2ineq2  39995  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1p5  40011  aks4d1p1  40012  aks4d1p9  40024  3cubeslem1  40422  3cubeslem2  40423  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  pell14qrgt0  40597  pell1qrgaplem  40611  rmspecnonsq  40645  rmspecpos  40654  jm3.1lem2  40756  sqrtcval  41138  sqrlearg  42981  dvdivbd  43354  stirlinglem10  43514  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  rrxtopnfi  43718  rrndistlt  43721  hoiqssbllem2  44051  smfmullem1  44212  requad01  44961  requad1  44962  requad2  44963  resum2sqcl  45940  resum2sqgt0  45941  2sphere  45983  itsclc0lem3  45992  itscnhlc0yqe  45993  itsclc0yqsollem2  45997  itsclc0yqsol  45998  itscnhlc0xyqsol  45999  itschlc0xyqsol1  46000  itsclquadb  46010  2itscp  46015  itscnhlinecirc02plem1  46016  itscnhlinecirc02plem3  46018  itscnhlinecirc02p  46019