Theorem resqcld 14222

Description: Closure of squaring in reals, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 14221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  2c2 12352  ↑cexp 14158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-seq 14099  df-exp 14159

This theorem is used by:  zzlesq  14303  cjmulge0  15266  01sqrexlem1  15362  01sqrexlem6  15367  01sqrexlem7  15368  absrele  15428  abstri  15451  amgm2  15490  sinbnd  16301  cosbnd  16302  cos01bnd  16307  cos01gt0  16312  absefi  16317  pythagtriplem10  16945  pockthg  17031  prmreclem1  17041  4sqlem12  17081  4sqlem15  17084  4sqlem16  17085  prmlem1  17232  prmlem2  17245  cphnmf  25463  reipcl  25465  ipcau2  25502  csbren  25667  trirn  25668  rrxmval  25673  rrxmet  25676  rrxdstprj1  25677  rrxdsfi  25679  ehl1eudis  25688  ehl2eudis  25690  minveclem2  25694  minveclem3b  25696  minveclem3  25697  minveclem4  25700  minveclem6  25702  minveclem7  25703  pjthlem1  25705  itgabs  26102  dveflem  26246  tangtx  26783  tanregt0  26816  cxpsqrt  26980  lawcoslem1  27092  birthdaylem3  27230  cxp2limlem  27252  basellem8  27364  bposlem6  27565  2sqblem  27707  2sqmod  27712  2sqreulem1  27722  2sqreunnlem1  27725  rplogsumlem2  27761  logdivsum  27809  mulog2sumlem1  27810  mulog2sumlem2  27811  vmalogdivsum2  27814  log2sumbnd  27820  selberglem2  27822  logdivbnd  27832  pntpbnd1a  27861  pntlemb  27873  pntlemr  27878  pntlemk  27882  pntlemo  27883  eqeelen  29401  brbtwn2  29402  colinearalglem4  29406  axcgrid  29413  axsegconlem2  29415  axsegconlem3  29416  axsegconlem9  29422  ax5seglem1  29425  ax5seglem2  29426  ax5seglem3  29428  ax5seg  29435  ipval2lem2  31225  minvecolem2  31396  minvecolem3  31397  minvecolem4  31401  minvecolem5  31402  minvecolem6  31403  minvecolem7  31404  normpyc  31667  pjhthlem1  31912  chscllem2  32159  pjssposi  32693  hstle1  32747  hst1h  32748  hstle  32751  hstoh  32753  strlem3a  32773  receqid  33255  expevenpos  33345  cos9thpiminplylem1  34333  sqsscirc1  34459  hgt750lemf  35202  hgt750leme  35207  tgoldbachgtde  35209  sinccvglem  36352  itgabsnc  38521  dvasin  38536  areacirclem1  38540  areacirclem2  38541  areacirclem4  38543  areacirc  38545  cntotbnd  38644  rrnmet  38677  rrndstprj1  38678  rrndstprj2  38679  3lexlogpow2ineq2  43023  aks4d1p1p2  43034  aks4d1p1p4  43035  aks4d1p1p6  43037  aks4d1p1p7  43038  aks4d1p1p5  43039  aks4d1p1  43040  aks4d1p9  43052  aks6d1c3  43087  aks6d1c7lem1  43144  readvrec2  43334  3cubeslem1  43627  3cubeslem2  43628  pellexlem2  43769  pellexlem6  43773  pell14qrgt0  43798  pell1qrgaplem  43812  rmspecnonsq  43846  rmspecpos  43855  jm3.1lem2  43957  sqrtcval  44579  sqrlearg  46481  dvdivbd  46849  stirlinglem10  47009  fourierdlem56  47088  fourierdlem57  47089  rrxtopnfi  47213  rrndistlt  47216  hoiqssbllem2  47549  smfmullem1  47717  requad01  48635  requad1  48636  requad2  48637  resum2sqcl  49734  resum2sqgt0  49735  2sphere  49777  itsclc0lem3  49786  itscnhlc0yqe  49787  itsclc0yqsollem2  49791  itsclc0yqsol  49792  itscnhlc0xyqsol  49793  itschlc0xyqsol1  49794  itsclquadb  49804  2itscp  49809  itscnhlinecirc02plem1  49810  itscnhlinecirc02plem3  49812  itscnhlinecirc02p  49813  veronesefvcl  50888  veronesev1lem  50889  veronesev2lem  50890  veronesev3lem  50891  veroquadgsumlem  50899