Theorem resqcld 13965

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqcl 13844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  2c2 12028  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  cjmulge0  14857  sqrlem1  14954  sqrlem6  14959  sqrlem7  14960  absrele  15020  abstri  15042  amgm2  15081  sinbnd  15889  cosbnd  15890  cos01bnd  15895  cos01gt0  15900  absefi  15905  pythagtriplem10  16521  pockthg  16607  prmreclem1  16617  4sqlem12  16657  4sqlem15  16660  4sqlem16  16661  prmlem1  16809  prmlem2  16821  cphnmf  24359  reipcl  24361  ipcau2  24398  csbren  24563  trirn  24564  rrxmval  24569  rrxmet  24572  rrxdstprj1  24573  rrxdsfi  24575  ehl1eudis  24584  ehl2eudis  24586  minveclem2  24590  minveclem3b  24592  minveclem3  24593  minveclem4  24596  minveclem6  24598  minveclem7  24599  pjthlem1  24601  itgabs  24999  dveflem  25143  tangtx  25662  tanregt0  25695  cxpsqrt  25858  lawcoslem1  25965  birthdaylem3  26103  cxp2limlem  26125  basellem8  26237  bposlem6  26437  2sqblem  26579  2sqmod  26584  2sqreulem1  26594  2sqreunnlem1  26597  rplogsumlem2  26633  logdivsum  26681  mulog2sumlem1  26682  mulog2sumlem2  26683  vmalogdivsum2  26686  log2sumbnd  26692  selberglem2  26694  logdivbnd  26704  pntpbnd1a  26733  pntlemb  26745  pntlemr  26750  pntlemk  26754  pntlemo  26755  eqeelen  27272  brbtwn2  27273  colinearalglem4  27277  axcgrid  27284  axsegconlem2  27286  axsegconlem3  27287  axsegconlem9  27293  ax5seglem1  27296  ax5seglem2  27297  ax5seglem3  27299  ax5seg  27306  ipval2lem2  29066  minvecolem2  29237  minvecolem3  29238  minvecolem4  29242  minvecolem5  29243  minvecolem6  29244  minvecolem7  29245  normpyc  29508  pjhthlem1  29753  chscllem2  30000  pjssposi  30534  hstle1  30588  hst1h  30589  hstle  30592  hstoh  30594  strlem3a  30614  sqsscirc1  31858  hgt750lemf  32633  hgt750leme  32638  tgoldbachgtde  32640  sinccvglem  33630  itgabsnc  35846  dvasin  35861  areacirclem1  35865  areacirclem2  35866  areacirclem4  35868  areacirc  35870  cntotbnd  35954  rrnmet  35987  rrndstprj1  35988  rrndstprj2  35989  3lexlogpow2ineq2  40067  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p4  40079  aks4d1p1p6  40081  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p1p5  40083  aks4d1p1  40084  aks4d1p9  40096  3cubeslem1  40506  3cubeslem2  40507  pellexlem2  40652  pellexlem6  40656  pell14qrgt0  40681  pell1qrgaplem  40695  rmspecnonsq  40729  rmspecpos  40738  jm3.1lem2  40840  sqrtcval  41249  sqrlearg  43091  dvdivbd  43464  stirlinglem10  43624  fourierdlem56  43703  fourierdlem57  43704  rrxtopnfi  43828  rrndistlt  43831  hoiqssbllem2  44161  smfmullem1  44325  requad01  45073  requad1  45074  requad2  45075  resum2sqcl  46052  resum2sqgt0  46053  2sphere  46095  itsclc0lem3  46104  itscnhlc0yqe  46105  itsclc0yqsollem2  46109  itsclc0yqsol  46110  itscnhlc0xyqsol  46111  itschlc0xyqsol1  46112  itsclquadb  46122  2itscp  46127  itscnhlinecirc02plem1  46128  itscnhlinecirc02plem3  46130  itscnhlinecirc02p  46131