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Theorem itsclc0yqsol 48614
Description: Lemma for itsclc0 48621. Solutions of the quadratic equations for the y-coordinate of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0yqsol.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqsol ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))

Proof of Theorem itsclc0yqsol
StepHypRef Expression
1 itscnhlc0yqe.q . . . . 5 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2 eqid 2735 . . . . 5 -(2 · (𝐵 · 𝐶)) = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
3 eqid 2735 . . . . 5 ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
41, 2, 3itsclc0yqe 48611 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
543adant1r 1176 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
653adant2r 1178 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
7 3simpa 1147 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
87adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
91resum2sqcl 48556 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℝ)
11103ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ∈ ℝ)
1211recnd 11287 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ∈ ℂ)
13 simpr1 1193 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
15 simpr2 1194 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
161resum2sqgt0 48557 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
1713, 14, 15, 16syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝑄)
1817ex 412 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄))
19 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
21 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))
2322resum2sqgt0 48557 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
2419, 20, 21, 23syl21anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
25 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2625recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2726sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
28 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2928recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3127, 30addcomd 11461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
331, 32eqtrid 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
3424, 33breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝑄)
3534ex 412 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄))
3618, 35jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄))
3736impcom 407 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
3837gt0ne0d 11825 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑄 ≠ 0)
39383ad2ant1 1132 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ≠ 0)
40 2cnd 12342 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
41 recn 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42413ad2ant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
44433ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
45 recn 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
46453ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48473ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4944, 48mulcld 11279 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5040, 49mulcld 11279 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
5150negcld 11605 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -(2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
5248sqcld 14181 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
53 recn 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54533ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56553ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5756sqcld 14181 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
58 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ+)
5958rpcnd 13077 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
60593ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
6160sqcld 14181 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
6257, 61mulcld 11279 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
6352, 62subcld 11618 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
64 recn 11243 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ∈ ℂ)
6564adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
66653ad2ant3 1134 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
67 eqidd 2736 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))
6812, 39, 51, 63, 66, 67quad 26898 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (𝑌 = ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ∨ 𝑌 = ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)))))
6953abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7069recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
71703ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
73723ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74 itsclc0yqsol.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
7558rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
76753ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ ℝ)
7776resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
7877, 11remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
79 simp1l3 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8079resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
8178, 80resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
8274, 81eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8382recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
8483sqrtcld 15473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
8540, 73, 84mulassd 11282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)) = (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))))
8685oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
8750negnegd 11609 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → --(2 · (𝐵 · 𝐶)) = (2 · (𝐵 · 𝐶)))
88 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
89883ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
90 simp2r 1199 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 0 ≤ 𝐷)
911, 2, 3, 74itsclc0yqsollem2 48613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
9289, 76, 90, 91syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
9387, 92oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))))
9473, 84mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
9540, 49, 94adddid 11283 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
9686, 93, 953eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
9796oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = ((2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)))
9849, 94addcld 11278 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
99 2ne0 12368 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ≠ 0)
10198, 12, 40, 39, 100divcan5d 12067 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
10297, 101eqtrd 2775 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
103102eqeq2d 2746 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 = ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
10485oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
10587, 92oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))))
10640, 49, 94subdid 11717 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
107104, 105, 1063eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
108107oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = ((2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)))
10949, 94subcld 11618 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
110109, 12, 40, 39, 100divcan5d 12067 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
111108, 110eqtrd 2775 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
112111eqeq2d 2746 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 = ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
113103, 112orbi12d 918 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑌 = ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ∨ 𝑌 = ((--(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘((-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄))) ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
11468, 113bitrd 279 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
115 absid 15332 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
116115ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
1171163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
1191183ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
120119impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
121120oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (√‘𝐷)))
122121oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))
123122oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
124123eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
125121oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
126125oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
127126eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
128124, 127orbi12d 918 . . . . 5 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
129 pm1.4 869 . . . . 5 ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
130128, 129biimtrdi 253 . . . 4 ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
13149adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
13294adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
133131, 132subnegd 11625 . . . . . . . . 9 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))))
13473adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13584adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
136134, 135mulneg1d 11714 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (-(abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))
13789simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
138137adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
139 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
140 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
141139, 140ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
142 ltle 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
143140, 142mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
144141, 143sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
1451443ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
1471463ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
148147impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐴 ≤ 0)
149138, 148absnidd 15449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
150149negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → -(abs‘𝐴) = --𝐴)
15156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
152151negnegd 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → --𝐴 = 𝐴)
153150, 152eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → -(abs‘𝐴) = 𝐴)
154153oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (-(abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (√‘𝐷)))
155136, 154eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (√‘𝐷)))
156155oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
157133, 156eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
158157oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
159158eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
160131, 132negsubd 11624 . . . . . . . . 9 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))))
161155oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))
162160, 161eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))
163162oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
164163eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
165159, 164orbi12d 918 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
166165biimpd 229 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
167130, 166pm2.61ian 812 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
168114, 167sylbid 240 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
1696, 168syld 47 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  +crp 13032  cexp 14099  csqrt 15269  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  itscnhlc0xyqsol  48615  itschlc0xyqsol1  48616
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