Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0yqsol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0yqsol 46940
Description: Lemma for itsclc0 46947. Solutions of the quadratic equations for the y-coordinate of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itsclc0yqsol.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqsol ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))

Proof of Theorem itsclc0yqsol
StepHypRef Expression
1 itscnhlc0yqe.q . . . . 5 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
2 eqid 2733 . . . . 5 -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
3 eqid 2733 . . . . 5 ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
41, 2, 3itsclc0yqe 46937 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0))
543adant1r 1178 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0))
653adant2r 1180 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0))
7 3simpa 1149 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
87adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
91resum2sqcl 46882 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
11103ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1211recnd 11191 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
13 simpr1 1195 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
14 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
15 simpr2 1196 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
161resum2sqgt0 46883 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„)
1713, 14, 15, 16syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐‘„)
1817ex 414 . . . . . . . . 9 (๐ด โ‰  0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„))
19 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
20 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
21 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2))
2322resum2sqgt0 46883 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
2419, 20, 21, 23syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
25 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2625recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2726sqcld 14058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
28 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2928recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3029sqcld 14058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3127, 30addcomd 11365 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
331, 32eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
3424, 33breqtrrd 5137 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐‘„)
3534ex 414 . . . . . . . . 9 (๐ต โ‰  0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„))
3618, 35jaoi 856 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„))
3736impcom 409 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 < ๐‘„)
3837gt0ne0d 11727 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
39383ad2ant1 1134 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
40 2cnd 12239 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
41 recn 11149 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4342adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
45 recn 11149 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
46453ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
48473ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4944, 48mulcld 11183 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5040, 49mulcld 11183 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
5150negcld 11507 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
5248sqcld 14058 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
53 recn 11149 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54533ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5554adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
56553ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5756sqcld 14058 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
58 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
5958rpcnd 12967 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
60593ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6160sqcld 14058 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6257, 61mulcld 11183 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6352, 62subcld 11520 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
64 recn 11149 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
6564adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
66653ad2ant3 1136 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
67 eqidd 2734 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
6812, 39, 51, 63, 66, 67quad 26213 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0 โ†” (๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โˆจ ๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)))))
6953abscld 15330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
7069recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
71703ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
74 itsclc0yqsol.d . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
7558rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
76753ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
7776resqcld 14039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
7877, 11remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
79 simp1l3 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8079resqcld 14039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
8178, 80resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
8274, 81eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
8382recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8483sqrtcld 15331 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
8540, 73, 84mulassd 11186 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
8685oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
8750negnegd 11511 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ --(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
88 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
89883ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
90 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
911, 2, 3, 74itsclc0yqsollem2 46939 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
9289, 76, 90, 91syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
9387, 92oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
9473, 84mulcld 11183 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9540, 49, 94adddid 11187 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
9686, 93, 953eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
9796oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)))
9849, 94addcld 11182 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
99 2ne0 12265 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ 2 โ‰  0)
10198, 12, 40, 39, 100divcan5d 11965 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
10297, 101eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
103102eqeq2d 2744 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
10485oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
10587, 92oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
10640, 49, 94subdid 11619 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
107104, 105, 1063eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
108107oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)))
10949, 94subcld 11520 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
110109, 12, 40, 39, 100divcan5d 11965 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
111108, 110eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
112111eqeq2d 2744 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
113103, 112orbi12d 918 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โˆจ ๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„))) โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
11468, 113bitrd 279 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0 โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
115 absid 15190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
116115ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
1171163ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
1191183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
120119impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
121120oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
122121oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
123122oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
124123eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
125121oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
126125oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
127126eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
128124, 127orbi12d 918 . . . . 5 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
129 pm1.4 868 . . . . 5 ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
130128, 129syl6bi 253 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
13149adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
13294adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
133131, 132subnegd 11527 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
13473adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
13584adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
136134, 135mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (-(absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
13789simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
138137adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
139 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
140 0red 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
141139, 140ltnled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ด))
142 ltle 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
143140, 142mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
144141, 143sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
1451443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
146145adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
1471463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
148147impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
149138, 148absnidd 15307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (absโ€˜๐ด) = -๐ด)
150149negeqd 11403 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ -(absโ€˜๐ด) = --๐ด)
15156adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
152151negnegd 11511 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ --๐ด = ๐ด)
153150, 152eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ -(absโ€˜๐ด) = ๐ด)
154153oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (-(absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
155136, 154eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
156155oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
157133, 156eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
158157oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
159158eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
160131, 132negsubd 11526 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
161155oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
162160, 161eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
163162oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
164163eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
165159, 164orbi12d 918 . . . . 5 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
166165biimpd 228 . . . 4 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
167130, 166pm2.61ian 811 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
168114, 167sylbid 239 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0 โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
1696, 168syld 47 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  2c2 12216  4c4 12218  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127  abscabs 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  itscnhlc0xyqsol  46941  itschlc0xyqsol1  46942
  Copyright terms: Public domain W3C validator