Theorem itsclc0yqsol 49876

Description: Lemma for itsclc0 49883. Solutions of the quadratic equations for the y-coordinate of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0yqsol.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsol	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))

Proof of Theorem itsclc0yqsol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlc0yqe.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ -(2 · (𝐵 · 𝐶)) = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
4	1, 2, 3	itsclc0yqe 49873	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + (( -(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
5	4	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + (( -(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
6	5	3adant2r 1198	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + (( -(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
7		3simpa 1166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
9	1	resum2sqcl 49818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℝ)
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ∈ ℂ)
13		simpr1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
15		simpr2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	1	resum2sqgt0 49819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
17	13, 14, 15, 16	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝑄)
18	17	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄))
19		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
21		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))
23	22	resum2sqgt0 49819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
24	19, 20, 21, 23	syl21anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
25		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
28		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	sqcld 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
31	27, 30	addcomd 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
33	1, 32	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
34	24, 33	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝑄)
35	34	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄))
36	18, 35	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄))
37	36	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
38	37	gt0ne0d 11880	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑄 ≠ 0)
39	38	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 ≠ 0)
40		2cnd 12421	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
41		recn 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
45		recn 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
46	45	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48	47	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
49	44, 48	mulcld 11329	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
50	40, 49	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
51	50	negcld 11656	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -(2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
52	48	sqcld 14287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
53		recn 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	55	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	56	sqcld 14287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
58		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ+)
59	58	rpcnd 13166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
60	59	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
61	60	sqcld 14287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
62	57, 61	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
63	52, 62	subcld 11669	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
64		recn 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ∈ ℂ)
65	64	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
66	65	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
67		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))) = (( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))
68	12, 39, 51, 63, 66, 67	quad 27168	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + (( -(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (𝑌 = (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ∨ 𝑌 = (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)))))
69	53	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
71	70	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
72	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
73	72	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74		itsclc0yqsol.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
75	58	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
76	75	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ ℝ)
77	76	resqcld 14268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
78	77, 11	remulcld 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
79		simp1l3 1287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
80	79	resqcld 14268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
81	78, 80	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
82	74, 81	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
83	82	recnd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
84	83	sqrtcld 15607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
85	40, 73, 84	mulassd 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)) = (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))))
86	85	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
87	50	negnegd 11660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) = (2 · (𝐵 · 𝐶)))
88		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
89	88	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
90		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 0 ≤ 𝐷)
91	1, 2, 3, 74	itsclc0yqsollem2 49875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
92	89, 76, 90, 91	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷)))
93	87, 92	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))))
94	73, 84	mulcld 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
95	40, 49, 94	adddid 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
96	86, 93, 95	3eqtr4d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
97	96	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = ((2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)))
98	49, 94	addcld 11328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
99		2ne0 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ≠ 0)
101	98, 12, 40, 39, 100	divcan5d 12119	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
102	97, 101	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
103	102	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 = (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
104	85	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
105	87, 92	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − ((2 · (abs‘𝐴)) · (√‘𝐷))))
106	40, 49, 94	subdid 11772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) − (2 · ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
107	104, 105, 106	3eqtr4d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))))
108	107	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = ((2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)))
109	49, 94	subcld 11669	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
110	109, 12, 40, 39, 100	divcan5d 12119	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
111	108, 110	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
112	111	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌 = (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
113	103, 112	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑌 = (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) + (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄)) ∨ 𝑌 = (( - -(2 · (𝐵 · 𝐶)) − (√‘(( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (𝑄 · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))))) / (2 · 𝑄))) ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
114	68, 113	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + (( -(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
115		absid 15463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
116	115	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
117	116	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
118	117	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
119	118	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝐴 → (abs‘𝐴) = 𝐴))
120	119	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
121	120	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (√‘𝐷)))
122	121	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))
123	122	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
124	123	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
125	121	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
126	125	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
127	126	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
128	124, 127	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
129		pm1.4 883	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
130	128, 129	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
131	49	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
132	94	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
133	131, 132	subnegd 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))))
134	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
135	84	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
136	134, 135	mulneg1d 11769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ( -(abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)))
137	89	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
138	137	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
139		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
140		0red 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
141	139, 140	ltnled 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
142		ltle 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
143	140, 142	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
144	141, 143	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ≤ 0))
145	144	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ≤ 0))
146	145	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ≤ 0))
147	146	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ≤ 0))
148	147	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐴 ≤ 0)
149	138, 148	absnidd 15581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
150	149	negeqd 11551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → -(abs‘𝐴) = - -𝐴)
151	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
152	151	negnegd 11660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → - -𝐴 = 𝐴)
153	150, 152	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → -(abs‘𝐴) = 𝐴)
154	153	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ( -(abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (√‘𝐷)))
155	136, 154	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (√‘𝐷)))
156	155	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
157	133, 156	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
158	157	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
159	158	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
160	131, 132	negsubd 11675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))))
161	155	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) + -((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))
162	160, 161	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))))
163	162	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
164	163	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
165	159, 164	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ↔ (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
166	165	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐴 ∧ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
167	130, 166	pm2.61ian 824	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − ((abs‘𝐴) · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
168	114, 167	sylbid 243	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + (( -(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
169	6, 168	syld 48	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  4c4 12399  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  √csqrt 15400  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  itscnhlc0xyqsol  49877  itschlc0xyqsol1  49878