Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0yqsol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0yqsol 47730
Description: Lemma for itsclc0 47737. Solutions of the quadratic equations for the y-coordinate of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itsclc0yqsol.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqsol ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))

Proof of Theorem itsclc0yqsol
StepHypRef Expression
1 itscnhlc0yqe.q . . . . 5 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
2 eqid 2726 . . . . 5 -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
3 eqid 2726 . . . . 5 ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
41, 2, 3itsclc0yqe 47727 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0))
543adant1r 1174 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0))
653adant2r 1176 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0))
7 3simpa 1145 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
87adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
91resum2sqcl 47672 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
11103ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1211recnd 11246 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
13 simpr1 1191 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
14 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
15 simpr2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
161resum2sqgt0 47673 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„)
1713, 14, 15, 16syl21anc 835 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐‘„)
1817ex 412 . . . . . . . . 9 (๐ด โ‰  0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„))
19 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
20 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
21 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2))
2322resum2sqgt0 47673 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
2419, 20, 21, 23syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
25 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2625recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2726sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
28 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2928recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3029sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3127, 30addcomd 11420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
331, 32eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
3424, 33breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โ‰  0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐‘„)
3534ex 412 . . . . . . . . 9 (๐ต โ‰  0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„))
3618, 35jaoi 854 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐‘„))
3736impcom 407 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 < ๐‘„)
3837gt0ne0d 11782 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
39383ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
40 2cnd 12294 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
41 recn 11202 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42413ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
45 recn 11202 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
46453ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4746adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
48473ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4944, 48mulcld 11238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5040, 49mulcld 11238 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
5150negcld 11562 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
5248sqcld 14114 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
53 recn 11202 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54533ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
56553ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5756sqcld 14114 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
58 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
5958rpcnd 13024 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
60593ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6160sqcld 14114 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6257, 61mulcld 11238 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6352, 62subcld 11575 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
64 recn 11202 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
6564adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
66653ad2ant3 1132 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
67 eqidd 2727 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
6812, 39, 51, 63, 66, 67quad 26727 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0 โ†” (๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โˆจ ๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)))))
6953abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
7069recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
71703ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
74 itsclc0yqsol.d . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
7558rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
76753ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
7776resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
7877, 11remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
79 simp1l3 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8079resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
8178, 80resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
8274, 81eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
8382recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8483sqrtcld 15390 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
8540, 73, 84mulassd 11241 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
8685oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
8750negnegd 11566 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ --(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
88 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
89883ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
90 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
911, 2, 3, 74itsclc0yqsollem2 47729 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
9289, 76, 90, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))) = ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
9387, 92oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
9473, 84mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9540, 49, 94adddid 11242 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
9686, 93, 953eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
9796oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)))
9849, 94addcld 11237 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
99 2ne0 12320 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
10099a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ 2 โ‰  0)
10198, 12, 40, 39, 100divcan5d 12020 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
10297, 101eqtrd 2766 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
103102eqeq2d 2737 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
10485oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
10587, 92oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
10640, 49, 94subdid 11674 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
107104, 105, 1063eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
108107oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)))
10949, 94subcld 11575 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
110109, 12, 40, 39, 100divcan5d 12020 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
111108, 110eqtrd 2766 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
112111eqeq2d 2737 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
113103, 112orbi12d 915 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„)) โˆจ ๐‘Œ = ((--(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (โˆšโ€˜((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) / (2 ยท ๐‘„))) โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
11468, 113bitrd 279 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0 โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
115 absid 15249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
116115ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
1171163ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
1191183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด))
120119impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
121120oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
122121oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
123122oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
124123eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
125121oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
126125oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
127126eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
128124, 127orbi12d 915 . . . . 5 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
129 pm1.4 866 . . . . 5 ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
130128, 129syl6bi 253 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
13149adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
13294adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
133131, 132subnegd 11582 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
13473adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
13584adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
136134, 135mulneg1d 11671 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (-(absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
13789simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
138137adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
139 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
140 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
141139, 140ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ด))
142 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
143140, 142mpdan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
144141, 143sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
1451443ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
1471463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค 0))
148147impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
149138, 148absnidd 15366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (absโ€˜๐ด) = -๐ด)
150149negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ -(absโ€˜๐ด) = --๐ด)
15156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
152151negnegd 11566 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ --๐ด = ๐ด)
153150, 152eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ -(absโ€˜๐ด) = ๐ด)
154153oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (-(absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
155136, 154eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
156155oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
157133, 156eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
158157oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
159158eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
160131, 132negsubd 11581 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
161155oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + -((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
162160, 161eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
163162oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
164163eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†” ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
165159, 164orbi12d 915 . . . . 5 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†” (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
166165biimpd 228 . . . 4 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โˆง (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
167130, 166pm2.61ian 809 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
168114, 167sylbid 239 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) ยท ๐‘Œ) + ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = 0 โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
1696, 168syld 47 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆจ ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  โ„+crp 12980  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  itscnhlc0xyqsol  47731  itschlc0xyqsol1  47732
  Copyright terms: Public domain W3C validator