Theorem ringid 19728

Description: The multiplication operation of a unital ring has (one or more) identity elements. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑋   𝑢, ·

Proof of Theorem ringid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19722	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
6	5	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋))
7		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑋 · 𝑢) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑋 · 𝑢) = 𝑋 ↔ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋) ↔ (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)))
11		ringid.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	1, 11, 2	ringidmlem 19724	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋))
13	4, 10, 12	rspcedvd 3555	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑢) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  1_rcur 19652  Ringcrg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700

This theorem is referenced by:  ringadd2  19729